Θαλής 2013

#21

Οι λύσεις της ΕΜΕ στο συνημμένο !

KARKAR · #22

: Γεωμετρία Γ ΓΥΜΝ.png (17.78 KiB) Προβλήθηκε 3999 φορές

Και για τη Γ' Γυμνσίου ...

#23

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Οι λύσεις της ΕΜΕ στο συνημμένο !

Το εμβαδό του ρόμβου στη Γ γυμνασίου είναι σίγουρα $\dfrac{R^2}{2}$ ?

Φιλικά,

Αχιλλέας

kostas_zervos · #24

ΘΕΜΑ 2/Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Λίγο διαφορετικά...

Είναι $1\cdot\beta=\dfrac{\gamma}{a}\iff \gamma=a\beta$ και $a+\beta+\gamma=0$ .

Άρα $a\beta+\beta+\alpha=0\iff a\beta+\beta+\alpha+1=1\iff (a+1)(\beta+a)=1$ και επειδή είναι ακέραιοι , έχουμε:

a+1=1

και $b+1=1\iff a=b=0$ που απορρίπτεται.

ή

a+1=-1

και $\beta+1=-1\iff a=\beta=-2$ , άρα $\gamma=a\beta=4$

kostas_zervos · #25

2/Α' λυκείου

Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς και ισχύει ότι: $\displaystyle{z=2(x+y)}$ και $\displaystyle{z=3(x-y)}$ .
(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{y < x < z}$ .
(β) Να βρείτε την τριάδα $\displaystyle{(x, y, z)}$ για την οποία: $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=680}$ .

Διαφορετικά...

Λύση

α) $z=2(x-y)>0\Rightarrow x>y$ και $x<z\iff x<2(x+y)\iff 0<x+2y$ που ισχύει.

β)Είναι $2(x+y)=3(x-y)\iff x=5y$ και z=2(x+y)=12y

.

Άρα $x^2+y^2+z^2=680\iff 25y^2+y^2+144y^2=680\iff y^2=4\overset{y>0}{\iff} y=2$ , άρα $x=10\;,\;z=24$ .

Επομένως (x,y,z)=(10,2,24)

kostas_zervos · #26

ΘΕΜΑ 3/Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαφορετικά...

Είναι $x^2-x+2\neq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Έστω $\dfrac{2x^2+x-4}{x^2-x+2}=k\in\Bbb{N}^*$

Τότε $2x^2+x-4=kx^2-kx+2k\iff (k-2)x^2-(k+1)x+2k+4=0$ .

Αν $k\neq 2:$

Πρέπει $\Delta\geq 0\iff 7k^2-2k-33\leq 0\iff \dfrac{1-2\sqrt{58}}{7}\leq k\leq \dfrac{1+2\sqrt{58}}{7}$ και αφού $k\in\Bbb{N}^*$ , έχουμε

$0<k<\dfrac{1+2\sqrt{58}}{7}<\dfrac{1+2\cdot 8}{7}<3$ .

Αλλά $k\neq 2$ , άρα k=1

, όπου έχουμε $-x^2-2x+6=0\iff x=-1\pm\sqrt{7}$

Αν k=2

, τότε έχουμε $-3x+8=0\iff x=\dfrac{8}{3}$ .

raf616 · #27

achilleas έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Οι λύσεις της ΕΜΕ στο συνημμένο !
Το εμβαδό του ρόμβου στη Γ γυμνασίου είναι σίγουρα $\dfrac{R^2}{2}$ ?

Φιλικά,

Αχιλλέας

Και εγώ αυτήν την απορία έχω... Προσωπικά βρήκα $\displaystyle{\frac{R^2\sqrt{3}}{2}}$ ...

kleovoulos · #28

Επέστρεψα και εγώ από το Θαλή κατάτι απογοητευμένος (Α Λυκείου). Τα προβλήματα 1 και 2 ήταν αρκετά εύκολα και τα έλυσα σχετικά γρήγορα. Το 3ο πρόβλημα το έκανα με διαιρετότητες και όχι με συστήματα αλλά μάλλον κάτι μου ξέφυγε και δεν έβγαλα λύση x=6. Για τη γεωμετρία έκανα το σχηματάκι ομορφούτσικο και έκανα και μια-δυο πράξεις (2 ώρες) αλλά μάλλον τίποτα δεν έπιασα. Με υπολογίζω κάπου στο 15άρι... Οριακά ΙΣΩΣ και να πέρασα. Έχει κανείς το σχέδιο βαθμολόγησης για να επιβεβαιωθώ;

ArgirisM · #29

Ήταν λίγο δύσκολα της γ ή μόνο εμένα μου φάνηκε; Το πρώτο ήταν εντάξει, μπορούσε ένας μαθητής που στοιχειωδώς καταλάβε πέντε βασικά πράγματα από β λυκείου να το λύσει. Τα άλλα τρία όμως νομίζω πως θα μπορούσαν να είναι κάλλιστα θέματα ευκλείδη. Έπιασα να λύσω τη γεωμετρία, έτρεμε όμως το χέρι μου από το άγχος και δεν μπορούσα να κάνω το σχήμα! Όταν τελικά ηρέμησα και άρχισα τη λύση, μπορώ να πω ότι μου άρεσε! Το πρώτο υποερώτημα αμφιβάλλω αν ξάφνιασε οποιονδήποτε είχε ασχοληθεί με τα περισυνά θέματα και γνώριζε τις τεχνικές με τα συνευθειακά. Το δεύτερο όμως ήταν σκέτη απόλαυση! Έδειξα ότι ο C είναι κύκλος του Euler του ΚΤΝ, λέγοντας οτι διέρχεται από τα ίχνη των υψών του. Έτσι το Σ έβγαινε μέσον της ΚΝ και τέλειωνε το θέμα. Το δεύτερο μπορώ να πω πως με ξάφνιασε, μιας και δεν περίμενα θεωρία αριθμών στο Θαλή. Έθεσα A = (x + a)^2

και έβγαλα $B = (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x + 2a}{2})^2$ , έχοντας δείξει πρώτα ότι χ: άρτιος. Το τρίτο με έστειλε... στον Άρη! Είναι το μόνο που δεν έλυσα. Γενικά δεν πιστεύω η βάση να πάει πάνω απο 8. Συγχαρητήρια στην επιτροπή για τα θέματα και καλά αποτελέσματα σε όλους! Σας αφήνω τώρα γιατί έχω μάθημα...

Ηλιας Τρ. · #30

Γειά σας!! Εγω έδωσα για την Α λυκείου.. Σύμφωνα με τις λύσεις που έχετε δημοσίευση το 2ο και το 3ο θέμα τα έχω σωστά!!!! Μήπως υπάρχουν και αντίστοιχες ενδεικτικές λύσεις του 1ου και του 4ου από κάποιον??

vasilisth · #31

Πόσο υπολογίζετε να είναι η βάση στην Β' Λυκείου;;

nicklarissa · #32

Θέμα 2ο Γ Λυκείου
${a}^{2}+2b={k}^{2}\Leftrightarrow (k-a)(k+a)=2b$
Οπότε k,a

άρτιοι ή περιττοί άρα $k-a=2m\Leftrightarrow k=a+2m$
${a}^{2}+2b={k}^{2}={a}^{2}+4am+4{m}^{2}\Leftrightarrow b=2am+2{m}^{2}$
$B={a}^{2}+2am+2{m}^{2}={(a+m)}^{2}+{m}^{2}$

gavrilos · #33

Μπράβο στους θεματοδότες.Τα θέματα της Α' Λυκείου ήταν κατά τη γνώμη μου τα καλύτερα των τελευταίων ετών.Όσο για τις λύσεις μου,θα τις δώσω πολύ συνοπτικά για όποιον ενδιαφέρεται(είναι σωστές).

1. $\displaystyle{a=10,b=4}$ .

2. $\displaystyle{(x,y,z)=(10,2,24)}$ .

3. $\displaystyle{x=6}$ .

4. $\displaystyle{\hat{B\Delta Z}=70^{\circ}}$ .

Καλή επιτυχία σε όλους!

#34

raf616 έγραψε:
achilleas έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Οι λύσεις της ΕΜΕ στο συνημμένο !
Το εμβαδό του ρόμβου στη Γ γυμνασίου είναι σίγουρα $\dfrac{R^2}{2}$ ?

Φιλικά,

Αχιλλέας
Και εγώ αυτήν την απορία έχω... Προσωπικά βρήκα $\displaystyle{\frac{R^2\sqrt{3}}{2}}$ ...

Αχιλλέα και raf616, δεν πρόλαβα καν να δω τα θέματα του διαγωνισμού. Είχαμε απίστευτη προσέλευση (σχεδόν 300 παιδιά) και έπρεπε όλον αυτόν τον κόσμο , με τους επιτηρητές , να τους συντονίσουμε .Μόνο τις δύο γεωμετρίες Α΄και Γ΄έτυχε κάποια στιγμή να πάρω και να χαρώ και γω λίγο αυτή τη γιορτή των μαθηματικών !

Αφού όμως εσείς βρίσκετε άλλο αποτέλεσμα, σίγουρα υπάρχει κάποιο αριθμητικό, που φαντάζομαι θα διορθωθεί αργότερα στην ιστοσελίδα.

Μπάμπης

nicklarissa · #35

Μήπως υπάρχει το σχέδιο βαθμολόγησης;
Για Γ Λυκείου πόσο πιστεύετε ότι θα είναι η βάση;

gavrilos · #36

Το δεύτερο της Γ΄ Λυκείου είναι ΑΚΡΙΒΩΣ ίδιο με την άσκηση 2. σελ. 51 από τον Ευκλείδη Β' του Ιανουαρίου-Φεβρουαρίου-Μαρτίου 2010.Κι όμως.

#37

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
raf616 έγραψε:
achilleas έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Οι λύσεις της ΕΜΕ στο συνημμένο !
Το εμβαδό του ρόμβου στη Γ γυμνασίου είναι σίγουρα $\dfrac{R^2}{2}$ ?

Φιλικά,

Αχιλλέας
Και εγώ αυτήν την απορία έχω... Προσωπικά βρήκα $\displaystyle{\frac{R^2\sqrt{3}}{2}}$ ...
Αχιλλέα και raf616, δεν πρόλαβα καν να δω τα θέματα του διαγωνισμού. Είχαμε απίστευτη προσέλευση (σχεδόν 300 παιδιά) και έπρεπε όλον αυτόν τον κόσμο , με τους επιτηρητές , να τους συντονίσουμε .Μόνο τις δύο γεωμετρίες Α΄και Γ΄έτυχε κάποια στιγμή να πάρω και να χαρώ και γω λίγο αυτή τη γιορτή των μαθηματικών !

Αφού όμως εσείς βρίσκετε άλλο αποτέλεσμα, σίγουρα υπάρχει κάποιο αριθμητικό, που φαντάζομαι θα διορθωθεί αργότερα στην ιστοσελίδα.

Μπάμπης

Μπάμπη,

Η ερώτηση μου ήταν "ρητορική" αφού π.χ. ο ρόμβος του προβλήματος αυτού έχει εμβαδό ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δυο ισόπλευρων τριγώνων πλευράς

, δηλ.

$2\cdot \dfrac{\sqrt{3}R^2}{4}=\dfrac{\sqrt{3}R^2}{2}$ .

Η τελευταία σειρά της επίσημης λύσης είναι λανθασμένη.

Άλλωστε, και με τριγωνομετρία να το πάμε, θέλουμε το $\cos 30^{\circ}$ ή το $\sin 60^{\circ}$ για τον υπολογισμό του $\Gamma\Delta$ (που δεν αναφέρεται), κι όχι το $\sin 30^{\circ}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#38

Μια άλλη προσέγγιση στο 3ο Θέμα της Α' Λυκείου:

Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{x}$ για τους οποίους οι αριθμοί $\displaystyle{A = 8x +1 , B= 2x - 3}$
είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

Αν οι $\displaystyle{A,B}$ είναι τέλεια τετράγωνα, το ίδιο θα ισχύει και για τον $\displaystyle{AB.}$
Επίσης, θα είναι $\displaystyle{2x-3\geq 0\implies x\geq \frac{3}{2},}$ άρα $\displaystyle{x\geq 2.}$

Είναι

$\displaystyle{AB=16x^2-22x-3.}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{16x^2-22x-3<(4x-2)^2}$ (είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{6x+6>0}$ )

και

$\displaystyle{16x^2-22x-3>(4x-4)^2}$ (είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{x\geq 1,9}$ ).

Άρα

$\displaystyle{16x^2-22x-3=(4x-3)^2\implies x=6.}$

Πράγματι, για $\displaystyle{x=6}$ είναι $\displaystyle{A=49,B=9.}$

#39

Μια προσέγγιση για το 4ο Θέμα της Β΄Λυκείου:

Είναι

$\displaystyle{\angle {\rm K}{\rm B}\Gamma = \angle {\rm A}{\rm K}{\rm B} - \angle {\rm K}\Gamma {\rm B} = \angle {\rm B}{\rm A}{\rm K} - \angle {\rm A}\Gamma {\rm B} = \angle {\rm A} - \angle \Gamma }$

και

$\displaystyle{\angle \Lambda {\rm B}\Gamma = \angle \Lambda {\rm A}\Gamma = \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma - \angle {\rm B}{\rm A}\Lambda = \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma - \angle {\rm B}\Lambda {\rm A} = \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma - \angle {\rm B}\Gamma {\rm A} = \angle {\rm A} - \angle \Gamma ,}$

οπότε στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{{\rm B}{\rm K}\Lambda }$ η $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\angle {\rm K}{\rm B}\Lambda }$ και άρα $\displaystyle{\boxed{{\rm B}\Gamma \bot {\rm K}\Lambda }}$ .

Επίσης,

$\displaystyle{\angle {\rm M}\Gamma {\rm B} = \angle {\rm A}{\rm M}\Gamma - \angle {\rm A}{\rm B}\Gamma = \angle \Gamma {\rm A}{\rm M} - \angle {\rm A}{\rm B}\Gamma = \angle {\rm A} - \angle {\rm B}}$

και

$\displaystyle{\angle {\rm N}\Gamma {\rm B} = \angle {\rm N}{\rm A}{\rm B} = \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma - \angle {\rm N}{\rm A}\Gamma = \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma - \angle \Gamma {\rm N}{\rm A} = \angle {\rm B}{\rm A}\Gamma - \angle \Gamma {\rm B}{\rm A} = \angle {\rm A} - \angle {\rm B},}$

οπότε στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma {\rm M}{\rm N}}$ η $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\angle {\rm M}\Gamma {\rm N}}$ και άρα $\boxed{\displaystyle{{\rm B}\Gamma \bot {\rm M}{\rm N}}}$ .

Επομένως, είναι $\displaystyle{\boxed{{\rm K}\Lambda //{\rm M}{\rm N}}}$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ είναι μεσοκάθετος των $\displaystyle{{\rm K}\Lambda }$ και $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}.}$ Άρα, θα είναι $\displaystyle{\Gamma {\rm K} = \Gamma \Lambda }$ και $\displaystyle{\angle {\rm K}\Gamma {\rm M} = \angle \Lambda \Gamma {\rm N}.}$ Από το κριτήριο (Π-Γ-Π) τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm K}\Gamma {\rm M}}$ και $\displaystyle{\Lambda \Gamma {\rm N}}$ είναι ίσα, οπότε $\displaystyle{\boxed{{\rm K}{\rm M} = \Lambda {\rm N}}}$ και άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm N}{\rm M}}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

S.E.Louridas · #40

S.E.Louridas έγραψε:Καλή επιτυχία και καλή συνέχεια στους Διαγωνιζόμενους.
Θεωρώ ότι τα θέματα του Θαλή-2013 είναι πολύ καλά και με στόχευση θέματα. Προσωπικά μου άρεσαν ιδιαίτερα το θέμα της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου και το τρίτο θέμα της Γ΄Λυκείου.
Πολλά-πολλά εύσημα σε όλους εκείνους που συντελούν, ώστε οι διαγωνισμοί αυτοί αιχμής όπως οι διαγωνισμοί της Ε.Μ.Ε. να αποτελούν μία ηχηρή απάντηση στην πρόκληση της εποχής.

Επιτρέψτε μου να επανέλθω για να εξηγήσω γιατί ανέφερα ότι μου άρεσε το 3ο θέμα της Γ΄ Λυκείου (Για επίπεδο διαγωνισμού "Θαλή" βέβαια).

Αν προς «στιγμήν» θεωρήσουμε το πρώτο μέλος πολυώνυμο ως προς

παίρνουμε άμεσα:
$p\left( a \right) = xa^3 + \left( {x^2 + 1} \right)a^2 + 4x^2 \left( {x + 2} \right)a + 4x\left( {x + 2} \right)\left( {x^2 + 1} \right) =$ $a^2 \left( {ax + x^2 + 1} \right) + 4x\left( {x + 2} \right)\left( {ax + x^2 + 1} \right) = \left( {ax + x^2 + 1} \right)\left( {4x^2 + 8x + a^2 } \right).$

Edit: Απλά τοποθετήθηκε η παράθεση.

Θαλής 2013

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Re: ΘΑΛΗΣ 2013-2014,Θέματα και Λύσεις

Μέλη σε σύνδεση