IMO 2018

[gbaloglou]

Πρόβλημα 3

Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .



Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;

Με παίδεψε πολύ αυτή η άσκηση ...

Ορέστη δεν είσαι ο μόνος: βλέπω εδώ ότι ... το πρόβλημα αυτό λύθηκε (5/7 - 7/7) από 10 διαγωνιζόμενους, ενώ πχ το P-6 από 25 διαγωνιζόμενους

[harrisp]

Πρόβλημα 3

Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .



Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;

Με παίδεψε πολύ αυτή η άσκηση ...

Ορέστη δεν είσαι ο μόνος: βλέπω εδώ ότι ... το πρόβλημα αυτό λύθηκε (5/7 - 7/7) από 10 διαγωνιζόμενους, ενώ πχ το P-6 από 25 διαγωνιζόμενους

Ενδιαφέρον έχει και ενα pdf που ψάρεψα από το AoPS. Στις σελίδες 2-4 η λύση του προβλήματος P3 και μερικές ακόμα περιπτώσεις.

[gbaloglou]

Πρόβλημα 3

Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .



Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;

Με παίδεψε πολύ αυτή η άσκηση ...

Ορέστη δεν είσαι ο μόνος: βλέπω εδώ ότι ... το πρόβλημα αυτό λύθηκε (5/7 - 7/7) από 10 διαγωνιζόμενους, ενώ πχ το P-6 από 25 διαγωνιζόμενους

Ενδιαφέρον έχει και ενα pdf που ψάρεψα από το AoPS. Στις σελίδες 2-4 η λύση του προβλήματος P3 και μερικές ακόμα περιπτώσεις.

Πολύ ενδιαφέρον, η σύντομη λύση του Ορέστη έχει και ιστορικό ενδιαφέρον: 'απολυτοδιαφορική' τοποθέτηση των μπαλών του μπιλιάρδου από τον George Sicherman το 1976, μοναδική και επομένως ακριβώς ίδια με αυτήν που χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα στην λύση του P-3 από τον Ορέστη! Βεβαίως το P-3 ρωτάει για , o Sicherman το έκανε για , ο Ορέστης απέδειξε ότι δεν γίνεται για με , το άρθρο των Chen-Fu-Liu-Sicherman-Taylor-Wu αποδεικνύει ότι δεν γίνεται για με : με δυο λόγια, ο George Sicherman ... ήταν πολύ τυχερός που σκέφθηκε αυτό το πρόβλημα παρακολουθώντας μία παρτίδα μπιλιάρδου στο Buffalo το 1976 [Σημειώνω πάντως, διαβάζοντας πιο προσεκτικά το άρθρο, ότι η περίπτωση είχε διερευνηθεί επιτυχώς και από τον ταγματάρχη Sicherman το 1976 και από τον Chen το 2008, μαθητή τετάρτης δημοτικού τότε! (Τι άραγε να κάνει ο Brian δέκα χρόνια αργότερα;)]

[Ελέγχεται πάντως η επιτροπή για την επιλογή του συγκεκριμένου προβλήματος ... λόγω της ύπαρξης του παραπάνω άρθρου ... που θα χαρακτήριζα 'ημιδημοσιευμένο'...]

[gbaloglou]

Πρόβλημα 3

Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που περιέχει κάθε αριθμό από το ως το .



Υπάρχει τρίγωνο αντι-Πασκάλ με σειρές το οποίο να περιέχει κάθε ακέραιο από το ως το ;

Με παίδεψε πολύ αυτή η άσκηση ...

Ορέστη δεν είσαι ο μόνος: βλέπω εδώ ότι ... το πρόβλημα αυτό λύθηκε (5/7 - 7/7) από 10 διαγωνιζόμενους, ενώ πχ το P-6 από 25 διαγωνιζόμενους

Ενδιαφέρον έχει και ενα pdf που ψάρεψα από το AoPS. Στις σελίδες 2-4 η λύση του προβλήματος P3 και μερικές ακόμα περιπτώσεις.

Πολύ ενδιαφέρον, η σύντομη λύση του Ορέστη έχει και ιστορικό ενδιαφέρον: 'απολυτοδιαφορική' τοποθέτηση των μπαλών του μπιλιάρδου από τον George Sicherman το 1976, μοναδική και επομένως ακριβώς ίδια με αυτήν που χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα στην λύση του P-3 από τον Ορέστη! Βεβαίως το P-3 ρωτάει για , o Sicherman το έκανε για , ο Ορέστης απέδειξε ότι δεν γίνεται για με , το άρθρο των Chen-Fu-Liu-Sicherman-Taylor-Wu αποδεικνύει ότι δεν γίνεται για με :

Ουσιαστικά ο Ορέστης απέδειξε ότι δεν γίνεται για , όπως δείχνει και η αναλυτική παρουσίαση της απόδειξης του από τον seoneo στο AoPS

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = . Σημείο στο εσωτερικό του είναι τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .

Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου στο εσωτερικό του τέτοιου ώστε και ,
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι .
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .

Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);

[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ... ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.

Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:

So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.

[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]

Φίλε Γιώργο δεν ξέχασα, βέβαια να σου απαντήσω, αφού κατάλαβες πράγματι τι εννοούσα με τη παρέμβαση μου. Εννοούσα ότι για να λυθεί το πρόβλημα αυτό, αλλά επί της ουσίας για να λυθεί κάθε πρόβλημα, αρκεί να μπεί ο λύτης στον πυρήνα της κατασκευής του. Εδώ λοιπόν το "κόλπο" είναι η κατασκευή του σημείου . Αν λοιπόν αυτό ζητούνταν δηλαδή η ύπαρξη του σημείου σε " περιβάλλον Brocard ", το πρόβλημα θα ήταν πιό "τίμιο", αφού τώρα θα έπρεπε ο λύτης να περάσει από το σημείο αυτό, κάτι που κατά την άποψη μου δεν είναι απόλυτα εφικτό στον συγγεκριμένο χρόνο, εκτός και αν στο παρελθόν υπήρξαν ραντεβού του με τέτοιες καταστάσεις.
Επανέρχομαι λοιπόν τώρα Γιώργο, και αμέσως μετά τη σκέψη του κατασκευαστή που έκρυψε τελικά την κατασκευαστική στιγμή του
Αν μου επιτραπεί λοιπόν η γώμη μου: Διαφωνώ κάθετα, σε επίπεδο θεμάτων τέτοιων διαγωνισμών, με κρυψίματα διαδικασιών ύπαρξης, αφού η απόδειξη ύπαρξης θα πρέπει να υπάρχει ή να ζητείται, ώστε να αναπτυχθεί η λυτική ικανότητα των διαγωνιζόμενων. Κατά τα άλλα πράγματι πρόκειται για ένα άριστο δυνατό γεωμετρικό πρόβλημα, που μάλλον θα μπορούσε στο μέλλον να ανήκει στα θεωρήματα, προσωπικά μου άρεσε πολύ. Επίσης μου άρεσε πολύ που ο κατσκευστής του παρουσίασε ευθέως με επιστημονικό θάρος την πορεία της κατασκευής του, ιδέα - ικασίες - υλοποίηση. Μετά ταύτα θεωρώ τον κατασκευαστή δυνατό άριστο μαθηματικό, τελικά πολλά ειλικρινή μπράβο του.

Υ.Γ. Το "... αν και μόνο αν ..." ισχύει στο περιβάλλον του προβλήματος αυτού;

Σωτήρη ρωτάς (Υ.Γ.) αν η αρμονικότητα έπεται από τις τρεις σχέσεις γωνιών (δύο δοθείσες και μία ζητούμενη), σωστά;

Η θέση σου κατά της απόκρυψης διαδικασιών ύπαρξης πολύ ενδιαφέρουσα, φοβάμαι όμως ότι, όπως υπαινίχθηκα και στο προηγούμενο μήνυμα μου, η συνεχής ζήτηση για νέα, δύσκολα προβλήματα οδηγεί αναπόφευκτα σε τέτοιες καταστάσεις. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι φανερό ότι δεν υπάρχει σημείο με τις ζητούμενες ιδιότητες σε τυχόν τετράπλευρο, αναρωτιέμαι αν υπάρχει σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο. Για να πάμε και στο θέμα της κατασκευής, ας εξετάσουμε και την πολύ ειδική περίπτωση ενός αρμονικού τραπεζίου (με και ), όπου, χρησιμοποιώντας ΚΑΙ το ζητούμενο (και το αντίστροφο που νομίζω ότι θέτεις), μία χαρακτηριστική ιδιότητα του είναι να είναι η ευθεία διχοτόμος της γωνίας , οπότε το είναι κατασκευάσιμο.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 17-7-2018 10 πμ: συντομεύτηκε δραστικά η τελευταία πρόταση!

Έτυχε να βρω αυτό το Link. Είναι από μια παρεμφερή συζήτηση πάνω σε αυτό το θέμα και από ότι φαίνεται είναι 14 χρόνια παλιά! Άρα μάλλον το πρόβλημα αυτό δεν ήταν και 100% πρωτότυπο!

[gbaloglou]

Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = . Σημείο στο εσωτερικό του είναι τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .

Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου στο εσωτερικό του τέτοιου ώστε και ,
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι .
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .

Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);

[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ... ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.

Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:

So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.

[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]

Φίλε Γιώργο δεν ξέχασα, βέβαια να σου απαντήσω, αφού κατάλαβες πράγματι τι εννοούσα με τη παρέμβαση μου. Εννοούσα ότι για να λυθεί το πρόβλημα αυτό, αλλά επί της ουσίας για να λυθεί κάθε πρόβλημα, αρκεί να μπεί ο λύτης στον πυρήνα της κατασκευής του. Εδώ λοιπόν το "κόλπο" είναι η κατασκευή του σημείου . Αν λοιπόν αυτό ζητούνταν δηλαδή η ύπαρξη του σημείου σε " περιβάλλον Brocard ", το πρόβλημα θα ήταν πιό "τίμιο", αφού τώρα θα έπρεπε ο λύτης να περάσει από το σημείο αυτό, κάτι που κατά την άποψη μου δεν είναι απόλυτα εφικτό στον συγγεκριμένο χρόνο, εκτός και αν στο παρελθόν υπήρξαν ραντεβού του με τέτοιες καταστάσεις.
Επανέρχομαι λοιπόν τώρα Γιώργο, και αμέσως μετά τη σκέψη του κατασκευαστή που έκρυψε τελικά την κατασκευαστική στιγμή του
Αν μου επιτραπεί λοιπόν η γώμη μου: Διαφωνώ κάθετα, σε επίπεδο θεμάτων τέτοιων διαγωνισμών, με κρυψίματα διαδικασιών ύπαρξης, αφού η απόδειξη ύπαρξης θα πρέπει να υπάρχει ή να ζητείται, ώστε να αναπτυχθεί η λυτική ικανότητα των διαγωνιζόμενων. Κατά τα άλλα πράγματι πρόκειται για ένα άριστο δυνατό γεωμετρικό πρόβλημα, που μάλλον θα μπορούσε στο μέλλον να ανήκει στα θεωρήματα, προσωπικά μου άρεσε πολύ. Επίσης μου άρεσε πολύ που ο κατσκευστής του παρουσίασε ευθέως με επιστημονικό θάρος την πορεία της κατασκευής του, ιδέα - ικασίες - υλοποίηση. Μετά ταύτα θεωρώ τον κατασκευαστή δυνατό άριστο μαθηματικό, τελικά πολλά ειλικρινή μπράβο του.

Υ.Γ. Το "... αν και μόνο αν ..." ισχύει στο περιβάλλον του προβλήματος αυτού;

Σωτήρη ρωτάς (Υ.Γ.) αν η αρμονικότητα έπεται από τις τρεις σχέσεις γωνιών (δύο δοθείσες και μία ζητούμενη), σωστά;

Η θέση σου κατά της απόκρυψης διαδικασιών ύπαρξης πολύ ενδιαφέρουσα, φοβάμαι όμως ότι, όπως υπαινίχθηκα και στο προηγούμενο μήνυμα μου, η συνεχής ζήτηση για νέα, δύσκολα προβλήματα οδηγεί αναπόφευκτα σε τέτοιες καταστάσεις. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι φανερό ότι δεν υπάρχει σημείο με τις ζητούμενες ιδιότητες σε τυχόν τετράπλευρο, αναρωτιέμαι αν υπάρχει σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο. Για να πάμε και στο θέμα της κατασκευής, ας εξετάσουμε και την πολύ ειδική περίπτωση ενός αρμονικού τραπεζίου (με και ), όπου, χρησιμοποιώντας ΚΑΙ το ζητούμενο (και το αντίστροφο που νομίζω ότι θέτεις), μία χαρακτηριστική ιδιότητα του είναι να είναι η ευθεία διχοτόμος της γωνίας , οπότε το είναι κατασκευάσιμο.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 17-7-2018 10 πμ: συντομεύτηκε δραστικά η τελευταία πρόταση!

Έτυχε να βρω αυτό το Link. Είναι από μια παρεμφερή συζήτηση πάνω σε αυτό το θέμα και από ότι φαίνεται είναι 14 χρόνια παλιά! Άρα μάλλον το πρόβλημα αυτό δεν ήταν και 100% πρωτότυπο!

Διονύση όχι ακριβώς: τα παραπάνω -- χωρίς τον πολύτιμο σύνδεσμο που δίνεις -- τα αναφέρει ο ίδιος ο δημιουργός του P6, η μεγάλη αλλαγή είναι ότι αντί για 4 ίσες γωνίες ζητήθηκαν/δόθηκαν τώρα 2 ζεύγη ίσων γωνιών.

[[Ακόμη: πριν 14 χρόνια ο Geoff Millin απέδειξε ότι υπάρχει σημείο που δημιουργεί 4 ίσες γωνίες αν και μόνον αν το δοθέν εγγράψιμο τετράπλευρο είναι επίσης αρμονικό, τώρα ο timon92 ζήτησε να αποδειχθεί ότι αν το δοθέν κυρτό τετράπλευρο είναι αρμονικό και αν υπάρχει σημείο που δημιουργεί 2 ζεύγη ίσων γωνιών τότε σχηματίζονται γύρω από το σημείο αυτό 2 ζεύγη παραπληρωματικών γωνιών.]

[gbaloglou]

Πρόβλημα 6
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = . Σημείο στο εσωτερικό του είναι τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .

Προσωπικά στη διαπραγμάτευση για την επιλογή των προβλημάτων θα ζητούσα το πρόβλημα αυτό να είχε δύο ερωτήματα:
1) Αποδείξτε την ύπαρξη τουλάχιστον ενός σημείου στο εσωτερικό του τέτοιου ώστε και ,
2) Για το σημείο αυτό να δειχθεί ότι .
Άλλως η εκφώνηση θα έπρεπε να ήταν:
Ένα κυρτό τετράπλευρο ικανοποιεί = και είναι τέτοιο που να υπάρχει σημείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε και .
Να δειχθεί ότι .

Σωτήρη ... υπονοούν κάτι τα παραπάνω ... ή έτσι μου φαίνεται; Υπάρχει περίπτωση οι συνθήκες του προβλήματος* να είναι 'οριακά δυνατές' (όπως ίσως δείχνει η δεύτερη διατύπωση παραπάνω) ή δεν είναι και τόσο ακραίες (όπως ίσως συνάγεται από την πρώτη διατύπωση);

[Προσπάθησα να διερευνήσω το παραπάνω ερώτημα ... ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ, αλλά δεν με βοήθησε όσο χρειάζονταν το WolframAlpha... (Σχετικά με οριακά δυνατές συνθήκες σε κατά τα άλλα ενδιαφέρον πρόβλημα ... ιδού ένα πρόσφατο σχετικά παράδειγμα!]

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.

Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Στην παραπάνω σελίδα δίνεται -- από τον δημιουργό του προβλήματος timon92 -- και το ιστορικό δημιουργίας του προβλήματος:

So, my friend Burii told me about the fact that in an inscribed quadrilateral Brocard point exists if and only if the quadrilateral is harmonic. Then I started playing around with similar configurations and then a miracle happened and the problem was created.

[Ο φίλος μου ο Burii μού είπε ότι υπάρχει σημείο Brocard σε εγγράψιμο τετράπλευρο αν και μόνον αν το τετράπλευρο είναι αρμονικό. Τότε άρχισα να πειραματίζομαι με παρόμοιες καταστάσεις και τότε συνέβη ένα θαύμα και δημιουργήθηκε το πρόβλημα.]

Φίλε Γιώργο δεν ξέχασα, βέβαια να σου απαντήσω, αφού κατάλαβες πράγματι τι εννοούσα με τη παρέμβαση μου. Εννοούσα ότι για να λυθεί το πρόβλημα αυτό, αλλά επί της ουσίας για να λυθεί κάθε πρόβλημα, αρκεί να μπεί ο λύτης στον πυρήνα της κατασκευής του. Εδώ λοιπόν το "κόλπο" είναι η κατασκευή του σημείου . Αν λοιπόν αυτό ζητούνταν δηλαδή η ύπαρξη του σημείου σε " περιβάλλον Brocard ", το πρόβλημα θα ήταν πιό "τίμιο", αφού τώρα θα έπρεπε ο λύτης να περάσει από το σημείο αυτό, κάτι που κατά την άποψη μου δεν είναι απόλυτα εφικτό στον συγγεκριμένο χρόνο, εκτός και αν στο παρελθόν υπήρξαν ραντεβού του με τέτοιες καταστάσεις.
Επανέρχομαι λοιπόν τώρα Γιώργο, και αμέσως μετά τη σκέψη του κατασκευαστή που έκρυψε τελικά την κατασκευαστική στιγμή του
Αν μου επιτραπεί λοιπόν η γώμη μου: Διαφωνώ κάθετα, σε επίπεδο θεμάτων τέτοιων διαγωνισμών, με κρυψίματα διαδικασιών ύπαρξης, αφού η απόδειξη ύπαρξης θα πρέπει να υπάρχει ή να ζητείται, ώστε να αναπτυχθεί η λυτική ικανότητα των διαγωνιζόμενων. Κατά τα άλλα πράγματι πρόκειται για ένα άριστο δυνατό γεωμετρικό πρόβλημα, που μάλλον θα μπορούσε στο μέλλον να ανήκει στα θεωρήματα, προσωπικά μου άρεσε πολύ. Επίσης μου άρεσε πολύ που ο κατσκευστής του παρουσίασε ευθέως με επιστημονικό θάρος την πορεία της κατασκευής του, ιδέα - ικασίες - υλοποίηση. Μετά ταύτα θεωρώ τον κατασκευαστή δυνατό άριστο μαθηματικό, τελικά πολλά ειλικρινή μπράβο του.

Υ.Γ. Το "... αν και μόνο αν ..." ισχύει στο περιβάλλον του προβλήματος αυτού;

Σωτήρη ρωτάς (Υ.Γ.) αν η αρμονικότητα έπεται από τις τρεις σχέσεις γωνιών (δύο δοθείσες και μία ζητούμενη), σωστά;

Η θέση σου κατά της απόκρυψης διαδικασιών ύπαρξης πολύ ενδιαφέρουσα, φοβάμαι όμως ότι, όπως υπαινίχθηκα και στο προηγούμενο μήνυμα μου, η συνεχής ζήτηση για νέα, δύσκολα προβλήματα οδηγεί αναπόφευκτα σε τέτοιες καταστάσεις. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι φανερό ότι δεν υπάρχει σημείο με τις ζητούμενες ιδιότητες σε τυχόν τετράπλευρο, αναρωτιέμαι αν υπάρχει σε κάθε αρμονικό τετράπλευρο. Για να πάμε και στο θέμα της κατασκευής, ας εξετάσουμε και την πολύ ειδική περίπτωση ενός αρμονικού τραπεζίου (με και ), όπου, χρησιμοποιώντας ΚΑΙ το ζητούμενο (και το αντίστροφο που νομίζω ότι θέτεις), μία χαρακτηριστική ιδιότητα του είναι να είναι η ευθεία διχοτόμος της γωνίας , οπότε το είναι κατασκευάσιμο.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 17-7-2018 10 πμ: συντομεύτηκε δραστικά η τελευταία πρόταση!

Το κατασκευαστικό μέρος του προβλήματος έχει μάλλον διαλευκανθεί πλήρως στο AoPS από τον armpist (#31 εδώ), που δίνει ΔΥΟ σημεία με τις ζητούμενες ισότητες γωνιών (ένα, που μας ενδιαφέρει άμεσα, εντός του τετραπλεύρου, και ένα εκτός) ως τομές δύο πολύ συγκεκριμένων κύκλων. (Αν και στο εκτός του τετραπλεύρου σημείο ... η ισότητα για το ένα από τα δύο ζεύγη γωνιών δεν έχει επιτευχθεί!)

Χωρίς να έχω πλήρη εποπτεία του προβλήματος, και σε αντίθεση με όσα είχα γράψει παραπάνω, πιστεύω ότι η κατασκευή αυτή γενικεύεται σε τυχόν κυρτό τετράπλευρο. Εξετάζοντας μάλιστα το πρόβλημα από την δική μου μη γεωμετρική σκοπιά έφτασα σε δύο αναγκαίες, εκτός απροόπτου ΚΑΙ ικανές, συνθήκες για την ύπαρξη σε τυχόν κυρτό τετράπλευρο (γωνιών ) σημείου τέτοιου ώστε και :





Οι παραπάνω συνθήκες, απλές σχετικά συνέπειες του Νόμου των Ημιτόνων, επιβεβαιώνονται στο αρμονικό τετράπλευρο , με , , , , , , , , , , . ΔΕΝ βοηθούν στην επίλυση του αρχικού προβλήματος, αλλά 'εξηγούν' την ύπαρξη και μοναδικότητα (εντός του τετραπλεύρου) του σημείου . (Το δεξιό σκέλος της πρώτης συνθήκης, εκτεινόμενο από το μηδέν ως το άπειρο, είναι αύξουσα συνάρτηση του , και σ' αυτό βοηθά, προκύπτοντας από την δεύτερη συνθήκη, το ότι το φθίνει ως συνάρτηση του -- αρκεί να παρατηρηθεί ότι είναι αύξουσες οι .)

[gbaloglou]

Έτυχε να βρω αυτό το Link. Είναι από μια παρεμφερή συζήτηση πάνω σε αυτό το θέμα και από ότι φαίνεται είναι 14 χρόνια παλιά! Άρα μάλλον το πρόβλημα αυτό δεν ήταν και 100% πρωτότυπο!

Διονύση όχι ακριβώς: τα παραπάνω -- χωρίς τον πολύτιμο σύνδεσμο που δίνεις -- τα αναφέρει ο ίδιος ο δημιουργός του P6, η μεγάλη αλλαγή είναι ότι αντί για 4 ίσες γωνίες ζητήθηκαν/δόθηκαν τώρα 2 ζεύγη ίσων γωνιών.

[[Ακόμη: πριν 14 χρόνια ο Geoff Millin απέδειξε ότι υπάρχει σημείο που δημιουργεί 4 ίσες γωνίες αν και μόνον αν το δοθέν εγγράψιμο τετράπλευρο είναι επίσης αρμονικό, τώρα ο timon92 ζήτησε να αποδειχθεί ότι αν το δοθέν κυρτό τετράπλευρο είναι αρμονικό και αν υπάρχει σημείο που δημιουργεί 2 ζεύγη ίσων γωνιών τότε σχηματίζονται γύρω από το σημείο αυτό 2 ζεύγη παραπληρωματικών γωνιών.]

Αν μάλιστα χρησιμοποιήσουμε το συμπέρασμα του P6 τότε ... είναι άμεσο ότι η ύπαρξη σημείου Brocard σε αρμονικό τετράπλευρο συνεπάγεται την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου: πράγματι λόγω των προφανών (και πάντοτε ισχυουσών) , , αλλά και της (IMO P6), η (Brocard) δίνει .