BMO 2025

Ορέστης Λιγνός · #1

Καλησπέρα σε όλους.

Σήμερα ξεκινάει η 42η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα, που διεξάγεται στο Σεράγεβο της Βοσνίας Ερζεγοβίνης από τις 25 έως και τις 30 Απριλίου. Η Ελληνική ομάδα είναι η εξής:

Κυριάκος Τσουρέκας
Σωκράτης Ηλιάδης
Ανδρέας Καβαλλάρης
Λάζαρος Καραγεωργίου

Κωνσταντίνος Κουτσουράκης
Νεκτάριος-Ραφαήλ Μπερκουτάκης.

Η Κυπριακή ομάδα είναι η εξής:

Αρά Μαχτεσσιάν
Φίλιππος Ρούβας
Qiyue Wang
Αλέξανδρος Λούκα
Platon Bykov
Άννα Ρούβα.

Οι συνοδοί των ομάδων είναι οι Αχιλλέας Συνεφακόπουλος και Δημήτρης Διαμαντίδης για την Ελλάδα και οι Δημήτρης Χριστοφίδης και Κυριάκος Χαραλάμπους για την Κύπρο.

Ο διαγωνισμός θα διεξαχθεί την Κυριακή, 27 Απριλίου. Καλή Επιτυχία σε όλους!

#2

Καλή Επιτυχία στην Ελληνική και στην Κυπριακή αποστολή

Τσιαλας Νικολαος · #3

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά. Είμαι ιδιαίτερα χαρούμενος αλλά και "αγχωμένος" γιατί για δεύτερη συνεχόμενη φορά μαθητής μου διαγωνίζεται στην BMO, ενώ άλλος ένα θα διαγωνιστεί παράλληλα στην Αθηνά. Αναμένουμε με αγωνία τα θέματα αλλά και τα αποτελέσματα!!

S.E.Louridas · #4

Εύχομαι από καρδιάς και εξαντλώντας όλη μου την υπερηφάνεια, Καλή Επιτυχία στους Έλληνες και Κύπριους Αδελφούς μας.
Καλή επάνοδο και Καλή Συνέχεια.

Ορέστης Λιγνός · #5

Ας δούμε τα σημερινά προβλήματα.

Πρόβλημα 1: Ένας ακέραιος αριθμός n>1

ονομάζεται καλός αν υπάρχει μετάθεση $a_1,a_2,\ldots,a_n$ των αριθμών $1,2,\ldots,n$ τέτοια, ώστε:

(1) ο a_i

και ο $a_{i+1}$ να έχουν διαφορετική αρτιότητα για κάθε $1 \leq i \leq n-1$
(2) το άθροισμα $a_1+a_2+\ldots+a_k$ να είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\pmod n$ για κάθε $1 \leq k \leq n$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι καλοί αριθμοί, καθώς και άπειροι αριθμοί οι οποίοι δεν είναι καλοί.

Πρόβλημα 2: Έστω ABC

ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο

και έστω

ένα οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο της πλευράς

. Τα σημεία

και

βρίσκονται στα ευθύγραμμα τμήματα

και

, αντίστοιχα, ώστε τα σημεία A,B,D,F

και

να είναι ομοκυκλικά. Τα ευθύγραμμα τμήματα

και

τέμνονται στο σημείο

. Το σημείο

είναι ένα σημείο πάνω στην

ώστε η ευθεία

να εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου PBC

στο σημείο

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία D,X

και

είναι συνευθειακά.

(Θεόκλητος Παραγυιού, Κύπρος)

Πρόβλημα 3: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που είναι τέτοιες, ώστε

f(x+yf(x))+y=xy+f(x+y)

,

για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς

και

.

(Γιάννης Γαλαμάτης, Ελλάδα)

Πρόβλημα 4: Υπάρχουν

πόλεις σε μια χώρα, όπου ο $n \geq 100$ είναι ένας ακέραιος. Κάποια ζεύγη πόλεων συνδέονται με απευθείας (διπλής διαδρομής) πτήσεις. Για δύο πόλεις

και

ορίζουμε:

(1) μια διαδρομή μεταξύ των

και

ως μια ακολουθία διακεκριμένων ανά δύο πόλεων $A = C_0, C_1, \dots, C_k, C_{k+1} = B$ , $k \geq 0$ , έτσι ώστε να υπάρχουν απευθείας πτήσεις μεταξύ των C_i

και $C_{i+1}$ για κάθε $0 \leq i \leq k$ ,
(2) μια μεγάλη διαδρομή μεταξύ των

και

ως μια διαδρομή μεταξύ των

και

τέτοια, ώστε καμιά άλλη διαδρομή μεταξύ των

και

να μην έχει περισσότερες πόλεις, και
(3) μια μικρή διαδρομή μεταξύ των

και

ως μια διαδρομή μεταξύ των

και

τέτοια, ώστε καμιά άλλη διαδρομή μεταξύ των

και

να μην έχει λιγότερες πόλεις.

Υποθέτουμε ότι για κάθε ζεύγος πόλεων

και

της χώρας υπάρχει μία μεγάλη διαδρομή και μία μικρή διαδρομή μεταξύ τους, οι οποίες δεν έχουν κοινές πόλεις (εκτός των

και

). Έστω

το συνολικό πλήθος των ζευγών πόλεων της χώρας οι οποίες συνδέονται με απευθείας πτήσεις. Να βρείτε, συναρτήσει του

, όλες τις πιθανές τιμές του

.

#6

Καλησπέρα σε όλους από το Σαράγεβο.

Το πρόβλημα 2 ήταν δημιουργία του Θεόκλητου Παραγυιού. Συγχαρητήρια στον Γιάννη Γαλαμάτη για το πανέμορφο Πρόβλημα 3.

konargyr14 · #7

Καλησπέρα. Για την γεωμετρία:
Έστω $\omega$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\triangle PBC$ και έστω G, I, K

τα ίχνη των υψών του $\triangle ABC$ από τις κορυφές A,B,C

αντίστοιχα. Θα δείξουμε ότι το

ανήκει στον $\omega$ . Είναι:

$\widehat{HBP} = 90^\circ - \widehat{BFI} = 90^\circ - \widehat{ADB} = \widehat{ADC} - 90^\circ =$

$=\widehat{AEC} - 90^\circ = 90^\circ - \widehat{KEC} = \widehat{HCP} \Longrightarrow HBCP$ εγγράψιμο.

Επιπλέον, το PDCF

είναι εγγράψιμο, αφού:

$\widehat{DCP} = \widehat{DCE} = \widehat{EAD} = \widehat{BAD} = \widehat{BFD}= \widehat{PFD}$

και όμοια προκύπτει εγγράψιμμο και το PDBE

.

Έστω η

τέμνει δεύτερη φορά τον $\omega$ στο

. Τότε:

$\widehat{HJP} = \widehat{HBF}$ και $\widehat{GDJ} = \widehat{PDC} = \widehat{BFI}$

Συνεπώς αν η

τέμνει την

στο

, τότε $\widehat{HG'D} = \widehat{HJP} + \widehat{GDJ} = \widehat{IBF} + \widehat{BFI} = 90^\circ = \widehat{HG'D}$ , οπότε τα σημεία H, G, J

και κατ' επέκταση τα L, A, H, G, J

είναι συνευθειακά.

Το ζητούμενο τώρα έπεται από την εκφυλισμένη περίπτωση του θεωρήματος του Pascal στο πεντάγωνο HJPCB

(με την διάταξη σημείων: $A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \longrightarrow HJPCCB$ ), οπότε αν $\epsilon$ η εφαπτομένη του $\omega$ στο

, θα έχουμε ότι τα σημεία τομής $HJ \cap \epsilon \equiv L$ , $JP \cap CB \equiv D$ και $PC \cap BH = X$ είναι συνευθειακά.

Κωνσταντίνος

: 3.PNG (66.28 KiB) Προβλήθηκε 3562 φορές

Ορέστης Λιγνός · #8

Η Ελληνική αποστολή κατέκτησε 2 αργυρά και 4 χάλκινα μετάλλια στην 42η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα. Συγχαρητήρια παιδιά! Αναλυτικά:

Κυριάκος Τσουρέκας: 30/40 - Αργυρό Μετάλλιο

Ανδρέας Καβαλλάρης: 24/40 - Αργυρό Μετάλλιο

Λάζαρος Καραγεωργίου: 22/40 - Χάλκινο Μετάλλιο

Νεκτάριος-Ραφαήλ Μπερκουτάκης: 20/40 - Χάλκινο Μετάλλιο

Σωκράτης Ηλιάδης: 18/40 - Χάλκινο Μετάλλιο

Κωνσταντίνος Κουτσουράκης: 17/40 - Χάλκινο Μετάλλιο

Τα cut-offs του διαγωνισμού ήταν 11/23/33. Το πρόβλημα 4 ήταν χωρίς αμφιβολία το πιο δύσκολο αλλά και το πιο όμορφο όλου του διαγωνισμού. Το πρότεινε ο Ρουμάνος David-Andrei Anghel. Να συγχαρώ όμως και τον Γιάννη και τον κ. Θεόκλητο για τα ωραία προβλήματα που πρότειναν.

Και επειδή αν δεν παινέψεις το σπίτι σου θα πέσει να σε πλακώσει, θα μου επιτρέψετε να συγχαρώ πιο ξεχωριστά κάποια από τα παιδιά. Να μου συγχωρεθεί ένας πιο προσωπικός τόνος, καθώς τα παιδιά αυτά τα ξέρω χρόνια και ήμασταν σε κάμποσους διαγωνισμούς μέλη της Ελληνικής Αποστολής. Έχουμε και λέμε:

Να συγχαρώ τον Κυριάκο, που πέρυσι μετά από μια άτυχη στιγμή δεν κατάφερε να προκριθεί στην Βαλκανιάδα αλλά επέστρεψε δριμύτερος στην ΙΜΟ (χρυσό!) και φέτος έκανε μια εμφάνιση κλάσης (10/10/10/0 από τα... αποδυτήρια

), τον Ανδρέα που είμαστε συγχωριανοί (αμφότεροι από τον Αστακό Αιτωλοακαρνανίας!) και άρα το μετάλλιό του χτυπάει κόκκινο στους εσωτερικούς δείκτες ντοπιοσύνης μου, τον Λάζαρο γιατί (παρότι ΠΑΟΚτζής, άρα loser) επανήλθε μετά την περσινή ατυχία να μείνει εκτός για μισή μονάδα από την ομάδα της ΙΜΟ (με ποδοσφαιρικούς όρους, ήταν σαν να έχασε ματς στα χαρτιά 0-3

) και τον Σωκράτη που αναγκάζει τις στοιχηματικές να ρίξουν την απόδοση για 4ο σερί χάλκινο μετάλλιο στο Λύκειο στην επερχόμενη ΙΜΟ στο 1.001.

Καλή επιτυχία στην ΙΜΟ, παιδιά!

Τσιαλας Νικολαος · #9

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!! Next station.... IMO!!

#10

Πολλά πολλά ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ στην αποστολή μας!

Άλλη μια εξαιρετική εμφάνιση στην οποία είχαν τη χαρά να κερδίσουν μετάλλιο όλοι οι μαθητές! Είναι τιμή για τη χώρα να υπάρχουν αυτά τα παιδιά! Ιδιαίτερα αυτή τη δύσκολη από πολλές απόψεις εποχή, είναι αυτά τα πρότυπα παιδιών που χρειαζόμαστε για να πορευτούμε ως κοινωνία και είναι αυτά που πρέπει να προβάλλουμε στους νεότερους... ΜΠΡΑΒΟ ΣΑΣ!

Δε μπορώ να μην αναφερθώ ξεχωριστά στον Κυριάκο (

), στον Ανδρέα (

) και στον Σωκράτη (

) που έχω τη χαρά να γνωρίζω προσωπικά. Η προσωπικότητα, το ήθος, το πηγαίο ταλέντο τους και ο κόπος τους, τους έφεραν για άλλη μια φορά στην κορυφή! Είμαι βέβαιος ότι το ίδιο ισχύει και για τα υπόλοιπα τρία μέλη της αποστολής μας!

Γνωρίζοντας από πρώτο χέρι τον κόπο, την αγωνία, την κούραση και το ξενύχτι μέχρι να έρθει αυτή η στιγμή της έκδοσης των αποτελεσμάτων, θα ήθελα να συγχαρώ για τη δουλειά τους τόσο τον Αχιλλέα (αρχηγός) όσο και τον Δημήτρη (υπαρχηγός) για τη σκληρή δουλειά τους κατά τη διάρκεια της ΒΜΟ! Πρέπει όμως να αναφερθώ και στους ανθρώπους της επιτροπής διαγωνισμών που διοργάνωσαν με επιτυχία τους πανελλήνιους διαγωνισμούς της ΕΜΕ, τους συναδέλφους που συμμετείχαν στη διοργάνωσή τους και βοήθησαν στη διόρθωση των γραπτών, στους συναδέλφους που συμμετείχαν στα εθελοντικά μαθήματα που έγιναν πριν το διαγωνισμό αλλά και στους αφανείς ήρωες που είναι οι γονείς των μαθητών για την ΤΕΡΑΣΤΙΑ στήριξη των παιδιών τους!

Στην Κυπριακή αποστολή στέλνω επίσης τα συγχαρητήριά μου για τις διακρίσεις και συμμετοχές των παιδιών και στέλνω τα χαιρετίσματά μου στον Δημήτρη (Χριστοφίδη) για τη δουλειά που έκανε για την ομάδα της Κύπρου.

Τέλος, χάρηκα ιδιαίτερα για τα όμορφα προβλήματα τόσο του Γιάννη (που πέρυσι ήταν μέλος της ελληνικής αποστολής τόσο στην BMO όσο και στην IMO), όσο και του καλού φίλου Θεόκλητου από την Κύπρο που είχαν τη χαρά να δουν το πρόβλημά που κατασκεύασε ο καθένας τους ως πρόβλημα του διαγωνισμού!

Δε μπορώ να κρύψω ότι στενοχωρήθηκα που φέτος (και πιθανότατα και για τα επόμενα χρόνια) δε κατάφερα - λόγω δουλειάς - να βρίσκομαι "κοντά" στην αποστολή. Θεωρώ όμως πολύ καλή (έως επιβεβλημένη) την ανανέωση που υπάρχει καθώς ο Αχιλλέας είναι ένας από τους δυναμικότερους ανθρώπους της χώρας μας στο κομμάτι των διαγωνισμών! Ο Ορέστης μπορεί να μετρήσει με ακρίβεια τις φορές που με "ανέχτηκε" τα τελευταία χρόνια (

) γιατί εγώ έχω χάσει το λογαριασμό!

Αλέξανδρος

S.E.Louridas · #11

Πολλά - πολλά συγχαρητήρια καταρχήν σε όλους τους Διαγωνιζόμενους (Έλληνες και αδελφούς Κυπρίους). Εύχομαι από καρδιάς στους τροπαιούχους Καλή συνέχεια με Υγεία και Καλή Τύχη στο πανέμορφο Μαθηματικό οδοιπορικό του μέγιστου εκείνου επίπεδου των Μαθηματικών Διαγωνισμών. Επιτρέψτε μου να συγχαρώ τους Δημιουργούς των όμορφων θεμάτων της συναρτησιακής και της Γεωμετρίας Γιάννη και Θεόκλητο αντίστοιχα. Θα μου επιτρέψτε όμως να αναφερθώ ειδικότερα στον Θεόκλητο Παραγυιού, και αυτό επειδή έχω συνεργαστεί επιστημονικά μαζί του αρκετές φορές σε αντίστοιχους κορυφαίους διαγωνισμούς, να καταθέσω μετά λόγου γνώσης ότι είναι ένας Άριστος γενικότερα Μαθηματικός αλλά ταυτόχρονα και κορυφαίος Γεωμέτρης, με ασύλληπτη πολυετή προσφορά στην Εκπαίδευση.

#12

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και Καλή Συνέχεια στην ΙΜΟ!!!

S.E.Louridas · #13

Μία ερώτηση τελείως διαδικαστικού χαρακτήρα και επειδή στο mathematica έχουν υψηλή μαθηματική παρουσία Άριστοι συνάδελφοι που είναι κορυφαία μέλη της επιτροπής διαγωνισμών: Απλά και επειδή με ρωτούν συνάδελφοι, θα ανακοινωθούν οι βαθμολογίες των αναπληρωματικών που διαγωνίστηκαν και αυτοί εδώ στα γραφεία της Ε..Μ.Ε (αν δεν κάνω λάθος) και σε παράλληλο χρόνο στα θέματα της Βαλκανιάδας ΒΜΟ 2025;

(*) Αντί για την φράση (που από λάθος γράφηκε) ... τα θέματα της Βαλκανιάδας ΒΜΟ 2025;, τοποθετήθηκε η σωστή ... στα θέματα της Βαλκανιάδας ΒΜΟ 2025;

Τσιαλας Νικολαος · #14

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Απρ 29, 2025 3:36 pm
Μία ερώτηση τελείως διαδικαστικού χαρακτήρα και επειδή στο mathematica έχουν υψηλή μαθηματική παρουσία Άριστοι συνάδελφοι που είναι κορυφαία μέλη της επιτροπής διαγωνισμών: Απλά και επειδή με ρωτούν συνάδελφοι, θα ανακοινωθούν οι βαθμολογίες των αναπληρωματικών που διαγωνίστηκαν και αυτοί εδώ στα γραφεία της Ε..Μ.Ε (αν δεν κάνω λάθος) και σε παράλληλο χρόνο τα θέματα της Βαλκανιάδας ΒΜΟ 2025;

Καλησπέρα κύριε Λουρίδα. Τα θέματα είναι ήδη ανακοινωμένα και εδώ. Προφανώς και τα αποτελέσματα θα ανακοινωθούν αναλυτικά γιατί μπορεί κάποιο παιδί από τους αναπληρωματικούς να έχει πάρει θέση στην εθνική.

S.E.Louridas · #15

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 29, 2025 5:07 pm

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Απρ 29, 2025 3:36 pm
Μία ερώτηση τελείως διαδικαστικού χαρακτήρα και επειδή στο mathematica έχουν υψηλή μαθηματική παρουσία Άριστοι συνάδελφοι που είναι κορυφαία μέλη της επιτροπής διαγωνισμών: Απλά και επειδή με ρωτούν συνάδελφοι, θα ανακοινωθούν οι βαθμολογίες των αναπληρωματικών που διαγωνίστηκαν και αυτοί εδώ στα γραφεία της Ε..Μ.Ε (αν δεν κάνω λάθος) και σε παράλληλο χρόνο στα θέματα της Βαλκανιάδας ΒΜΟ 2025;
Καλησπέρα κύριε Λουρίδα. Τα θέματα είναι ήδη ανακοινωμένα και εδώ. Προφανώς και τα αποτελέσματα θα ανακοινωθούν αναλυτικά γιατί μπορεί κάποιο παιδί από τους αναπληρωματικούς να έχει πάρει θέση στην εθνική.

Σε ευχαριστώ Νίκο (Τσιαλα). Η λιτή απάντηση σου στο διαδικαστικό ερώτημα είναι απλή, σαφής και κατανοητή και δείχνει τόσο την δύναμη της ΕΜΕ,
όσο και την δύναμη του mathematica. Να είσαι πάντα καλά.

#16

Συγχαρητήρια παιδιά!!! Καλή συνέχεια και στον επόμενο διαγωνισμό.

mathematica.gr

BMO 2025

BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Re: BMO 2025

Μέλη σε σύνδεση