IMO-2025

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Τα αποτελέσματα έχουν βγει,τα θέματα έχουν βγει.........
Καλό θα ήταν να δημοσιευθούν και εδώ.

[αρψ2400]

Δεύτερες πάλι οι USA. Και δε φταίνε οι Κινέζοι ...
https://www.imo-official.org/team_r.asp ... &year=2025

[Demetres]

Απολογούμαι για την καθυστέρηση στην ανάρτηση των θεμάτων.

Προβλημα 1: Μια ευθεία στο επίπεδο ονομάζεται παράκτια αν δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα των , τον άξονα των , ή προς την ευθεία . Δεδομένου ακεραίου , να προσδιορίσετε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους για τους οποίους υπάρχουν διακεκριμένες ευθείες του επιπέδου οι οποίες ικανοποιούν και τις δύο από τις ακόλουθες συνθήκες:
• Για όλους τους θετικούς ακεραίους και , με , το σημείο ανήκει σε τουλάχιστον μία από τις ευθείες.
• Ακριβώς από τις ευθείες είναι παράκτιες.

Προβλημα 2: Θεωρούμε τους κύκλους και με κέντρα τα σημεία και , αντίστοιχα, ώστε η ακτίνα του να είναι μικρότερη της ακτίνας του . Υποθέτουμε ότι οι κύκλοι και τέμνονται σε δύο διακεκριμένα σημεία και . Η ευθεία τέμνει τον στο σημείο και τον στο σημείο , ώστε τα σημεία και να βρίσκονται στην ευθεία με αυτήν τη σειρά. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου . Η ευθεία τέμνει τον στο σημείο και τον στο σημείο . Έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου . Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στην εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου . (Το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των υψών του.)

Πρόβλημα 3: Με συμβολίζουμε το σύνολο των θετικών ακεραίων. Μια συνάρτηση ονομάζεται υπέροχη αν



για κάθε . Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της πραγματικής σταθεράς , ώστε να ισχύει ότι , για κάθε υπέροχη συνάρτηση και κάθε θετικό ακέραιο .

Πρόβλημα 4: Δίνεται μια άπειρη ακολουθία αποτελούμενη από θετικούς ακεραίους, καθένας εκ των οποίων έχει τουλάχιστον τρεις γνήσιους διαιρέτες. Για κάθε ο είναι το άθροισμα των τριών μεγαλύτερων γνήσιων διαιρετών του . Να προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του . (Ένας γνήσιος διαιρέτης του θετικού ακεραίου είναι ένας θετικός ακέραιος που διαιρεί τον χωρίς να ισούται με αυτόν.)

Πρόβλημα 5: Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν το ακόλουθο κοαλοπαιχνίδι ανισοτήτων, το οποίο βασίζεται σε έναν θετικό πραγματικό αριθμό , τον οποίο γνωρίζουν και οι δύο παίκτες. Στον -οστό γύρο του παιχνιδιού, οι κανόνες προβλέπουν τα εξής:

• Αν ο είναι περιττός, η Αλίκη επιλέγει έναν μη αρνητικό πραγματικό αριθμό , ώστε



• Αν ο είναι άρτιος, ο Βασίλης επιλέγει έναν μη αρνητικό πραγματικό αριθμό , ώστε



Αν κάποιος παίκτης δεν μπορεί να επιλέξει κατάλληλο αριθμό , το παιχνίδι τελειώνει και ο αντίπαλος παίκτης κερδίζει. Αν το παιχνίδι συνεχίζεται επ’ άπειρον, δεν έχουμε νικητή. Όλες οι επιλογές των παικτών είναι φανερές και στον αντίπαλο παίκτη. Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του για τις οποίες η Αλίκη έχει στρατηγική νίκης και όλες τις τιμές του για τις οποίες ο Βασίλης έχει στρατηγική νίκης.

Πρόβλημα 6: Θεωρούμε ένα πλέγμα μοναδιαίων τετραγώνων. Η Ματίλντα θέλει να τοποθετήσει πάνω στο πλέγμα κάποια ορθογώνια πλακίδια, ενδεχομένως διαφορετικών διαστάσεων, ώστε οι πλευρές κάθε πλακιδίου να ανήκουν σε κάποιες από τις γραμμές του πλέγματος και κάθε μοναδιαίο τετράγωνο του πλέγματος να καλύπτεται το πολύ από ένα πλακίδιο. Να προσδιορίσετε το ελάχιστο δυνατό πλήθος πλακιδίων που χρειάζεται να τοποθετήσει η Ματίλντα, ώστε κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πλέγματος να έχει ακριβώς ένα μοναδιαίο τετράγωνο που δεν καλύπτεται από κάποιο πλακίδιο.

[αρψ2400]

https://x.com/OpenAI/status/1946594928945148246 ,
https://www.lesswrong.com/posts/RcBqeJ8 ... gold-medal

[mick7]

https://x.com/OpenAI/status/1946594928945148246 ,
https://www.lesswrong.com/posts/RcBqeJ8 ... gold-medal

Μερικές παρατηρήσεις πάνω σε αυτό...

1) Η ΟpenAI μπορεί να δηλώνει ότι θέλει ...ειδικά αυτά που αυξάνουν την τιμή της μετοχή της και την κερδοφορία της σαν ιδιωτική εταιρεία που είναι

2) Κάνουν λόγο για ένα μοντέλο που αναπτύσσουν αλλά δεν έχουν δημοσιεύσει...

3)Από ότι κατάλαβα έχουν λυθεί από το ΑΙ μοντέλο τα προβλήματα από P1 έως P5 ...Απόδοση που αντιστοιχεί σε χρυσό ..,Δεν έλυσε το P6 που φαίνεται δυσκολότερο πρόβλημα...

4) Οι άλλοι τι κάνανε ; Όπως η Google DeepMind ; Είμαι σίγουρος οτι είναι κοντά στο χρυσό...

5) Κλείνω λέγοντας ότι η ΑΙ θα βοηθήσει την Μαθηματική έρευνα...και δεν θα αντικαταστήσει τους Μαθηματικούς σαν επάγγελμα...τουλάχιστον για αυτή την γενιά...

[Τσιαλας Νικολαος]

4 εταιρίες ισχυρίζονται ότι το AI τους έλυσε τα 5 πρώτα
θέματα( ή σχεδόν). Από εκεί και πέρα δεν είναι κάτι το τρελό
αφού όλα τα μοντέλα έχουν φτάσει σε τρομερό επίπεδο και στα
οποία δεν έχει πρόσβαση το κοινό. Ήδη τα μοντέλα αυτά μπορούν
να βγάλουν και έρευνα ( με την καθοδήγηση κάποιου μαθηματικού).
Κάποιοι πάντως σε υψηλό επίπεδο τέτοιων εταιριών θεωρούν ότι
ο μαθηματικός είναι από τις σχετικά πρώτες δουλειές που
απειλούνται. Ελπίζω πως όχι

[αρψ2400]

Μπορείτε να δοκιμάσετε τα φετινά JBMO στα υπάρχοντα .Chatgpt (κλικάροντας το σκέψου περισσότερο με το λαμπτήρα) , Gemini 2.5 pro (τo deep think που κυκλοφορεί από χτες νομίζω για τους συνδρομητές για περιορισμένο αριθμό ερωτήσεων ,πήρε το χρυσό ) ,Grok 4 (googlarontas poe που έχει πάρα πολλά μοντέλα δωρεαν για περιορισμένο αριθμό ερωτήσεων .Στο chatgpt που δοκίμασα το 1 και το 4 τα έλυσαν , το 2 όχι ενώ τη γεωμετρία δεν τη δοκίμασα.Θελω να πώ πως αφού τα υπάρχοντα σε κυκλοφορία τα καταφέρνουν στην JBMO ήταν αναμενόμενο.Προσπαθώ να ανεβάζω προβλήματα (νομίζω πολύ ευκολότερα) στα οποία αποτυγχάνουν.Η θέση μου είναι αυτή που έγραψα στο τελευταίο post sto AI KILLERS .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

1.Για κάθε νέο μοντέλο-version ΑΙ (της τρέχουσας ,και των αναβαθμίσεών της ) , πάντα θα υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα ,τέτοια ώστε ο μέσος μαθητής τελευταίων τάξεων του δημοτικού , Α γυμνασίου, μπορεί να λύσει και όχι αυτα τα μοντέλα.
2.Υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα ,τέτοια ώστε , ο μέσος μαθητής τελευταίων τάξεων του δημοτικού , Α γυμνασίου, μπορεί να λύσει ,και κανένα νέο μοντέλο-version ΑΙ (της τρέχουσας ,και των αναβαθμίσεών της ) .
Για τα τελευταία τρία χρόνια περίπου ,μετά την έλευση του chatgpt και την ενασχόλησή μου με το θέμα :
Η πρώτη πρόταση μέχρι στιγμής είναι αληθής (εμπειρικά-πειραματικά)
Η δεύτερη πρόταση είναι στατιστικά ψευδής αφού οι νέες version ΑΙ λύνουν πάρα πολλά προβλήματα στα οποία οι παλαιότερες αποτυγχάνουν.Λέω στατιστικά γιατί δεν λύνουν όλα τα προηγόύμενα προβλήματα ,αλλά τα περισσότερα .(ένα διάσημο αμφιλεγόμενο παράδειγμα https://medium.com/@toni.ramk.onl/solut ... e0c6930d10)
Είναι αναμενόμενες οι παραπάνω απαντήσεις; Για το 1 , τα μαθηματικά δεν είναι πεπερασμένα ούτε γλώσσα....Για το 2 , όταν κάτι λύνεται , κωδικοποιείται σε οποιαδήποτε γλώσσα. Η κωδικοποίηση , με την τυποποίηση και τα αναρίθμητα παρεμφερή παραδείγματα , μπορεί να λύσει παραπλήσια προβλήματα.
Σημ1: Μιλάω στα παραπάνω ,πάντα ,για την τρέχουσα επανάσταση με την ΑΙ ,που στηρίζεται γύρω από τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα στατιστικής ανάλυσης της γλώσσας.
Σημ2: Όταν προτρέπω στη χρήση ΤΝ (ΑΙ) σε κάποιο πρόβλημα ,αν νομίζετε ότι καταστρέφεται η σκέψη , η δημιουργικότητα κτλ , η απάντηση είναι απλή : Ιδού η Ρόδος ... Ανεβάστε λύση ΑΙ .Αν ένας μαθητής το κάνει , την επόμενη δεν θα το ξανακάνει.Τουλάχιστον θα κάνει έναν κόπο να ελέγξει τι λέει πριν.Μπορεί βέβαια η λύση σε κάποια μετά από κάποιο χρονικό διάστημα να είναι σωστή , αλλά θα έχει πάρει το μήνυμα.Δεν νομίζω το πνεύμα του mathematica να είναι οι εργασίες του σχολείου.
Σημ3:Με τις καλύτερες προθέσεις για όλους και σας ευχαριστώ που διαβάσατε τις απόψεις μου

To ποστ ΄΄Το φιδάκι '' για παράδειγμα δίνει απειρία περιπτώσεων-προβλημάτων .Φτάνει οι γραμμές και οι στήλες να είναι αρκετά μεγάλοι αριθμοί γιατί εκεί που επίσης είναι πολύ δυνατα τα μοντέλα και κάποιοι φοβούνται επίσης ότι απειλούν το αντίστοιχο επάγγελμα είναι στον προγραμματισμό. Στην ολυμπιάδα πληροφορικής είχαν πάρει χρυσό πριν ένα χρόνο .Όταν ένα πρόβλημα έχει κάποα πρωτοτυπία τα μοντέλα δυσκολεύονται όπως με το 2 στην JBMO.Φυσικά τα μελοντικά θα το ενσωματώσουν και αυτό ,και επειδή ''εκπαιδεύονται'' σε απίστευτο όγκο πληροφορίας γίνεται όλο και ποιο δύσκολο να βρει κανείς ένα πρόβλημα που δεν μπορούν να λύσουν αντικατοπτρίζοντας τη δυσκολία του να βρει κανείς κάτι τελείως καινούριο.