Κέντρα κύκλων Euler και ομοιότητα

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Mihalis_Lambrou]

τετράπλευρο, αν και μόνο αν, τετράπλευρο.

Ορέστη, μήπως εννοείς κάτι άλλο; Το δεν είναι εξ υποθέσεως τετράπλευρο;

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Mihalis_Lambrou]

έκανα διορθώσεις. Σας ευχαριστώ.

Ορέστη, ευχαριστώ. Όμως νομίζω ότι όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση, δεν ισχύει το συμπέρασμα (*). Πρέπει να προστεθεί η υπόθεση ότι το είναι εγγράψιμο.

Υπόψη ότι όταν είναι εγγράψιμο το τότε οι κύκλοι Euler της εκφώνησης είναι ίσοι (και η ακτίνα τους είναι το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου). Παρατηρώ ότι στο σχήμα σου το βλέπουμε αυτό, οπότε υποθέτω ότι απλά ξέχασες να προσθέσεις στην εκφώνηση την υπόθεση της εγγραψιμότητας, την οποία χρησιμοποίησες στο σχήμα σου.

(*) έκανα σχήμα με το Geogebra, που με επιβεβαιώνει.

[rek2]

Κέντρα κύκλων Euler .png


Έστω ένα τετράπλευρο. Αν και είναι τα κέντρα των κύκλων

Euler των τριγώνων και , αντίστοιχα, αποδείξτε ότι τα δύο

τετράπλευρα και είναι όμοια.

Ας είναι Ο το κέντρο του κύκλου και
τα αντιστοιχα ορθόκεντρα των τριγώνων.

Αυτά ορίζουν τετράπλευρο ίσο με το αρχικό αφού για παράδειγμα το είναι ίσο και παράλληλο στο .
Πράγματι το είναι παραλληλογραμμο, γιατί τα είναι παράλληλα, ως κάθετα στην και ίσα, ως διπλάσια του OM, όπου M το μέσο του BC.

Τώρα το τετράπλευρο με πλευρές τα ορθόκεντρα. είναι ομοιόθετο του τετραπλεύρου με κορυφές τα κέντρα των κύκλων Euler, με κέντρο ομοιοθεσίας το κέντρο του κύκλου και λόγο 2, ( αρκεί να θυμηθούμε που βρίσκεται το κέντρο του κύκλου Euler ενός τριγώνου), οπότε το δεύτερο είναι όμοιο με το αρχικό.

(Προφανώς είναι όμοιο και με το τετράπλευρο με κορυφές τα βαρύκεντρα των ιδίων τριγώνων).

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Mihalis_Lambrou]

εγγράψιμο είναι.

Σωστά. Άλλωστε η λύση του Κώστα (rek2) χρησιμοποιεί την εγγραψιμότητα, στο πρώτο κιόλας βήμα.

[Mihalis_Lambrou]

Για να μην πάει χαμένο το σχήμα που έφτιαξα με Geogebra, παραθέτω μία περίπτωση που δείχνει (ακριβέστερα, "δείχνει") ότι η εγγραψιμότητα του είναι απαραίτητη για να βγουν όμοια τα δύο τετράπλευρα. Εδώ το αρχικό και το κόκκινο δεν είναι όμοια (π.χ. παρατηρούμε ότι η μικρότερη γωνία του κόκκινου είναι "εμφανώς" διαφορετική από τις γωνίες του αρχικού τετραπλεύρου.)