Συστηματάκι

nonlinear · #1

Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς (α,β,γ) που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων :

$\displaystyle{\left( \Sigma \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \cdot \sqrt \beta - \gamma = a}\\ {\beta \cdot \sqrt \gamma - a = \beta }\\ {\gamma \cdot \sqrt \alpha - \beta = \gamma } \end{array}} \right.}$

#2

nonlinear έγραψε:Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς (α,β,γ) που ικανοποιούν το σύστημα των εξισώσεων :

$\displaystyle{\left( \Sigma \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \cdot \sqrt \beta - \gamma = a}\\ {\beta \cdot \sqrt \gamma - a = \beta }\\ {\gamma \cdot \sqrt \alpha - \beta = \gamma } \end{array}} \right.}$

Ας γράψουμε το σύστημα ως

$\displaystyle{\sqrt{a}=1+\frac{b}{c},}$ (1)

$\displaystyle{\sqrt{b}=1+\frac{c}{a},}$ (2)

$\displaystyle{\sqrt{c}=1+\frac{a}{b}.}$ (3)

Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $\displaystyle{a\geq b.}$ Τότε, από τις (1),(2) έχουμε $\displaystyle{\frac{b}{c}\geq \frac{c}{a}}$ δηλαδή $\displaystyle{ab\geq c^2,}$ οπότε είναι $\displaystyle{a^2\geq ab\geq c^2,}$ δηλαδή $\displaystyle{a\geq c.}$ Τότε, από την (2) προκύπτει $\displaystyle{\sqrt{b}\leq 2 \Rightarrow b\leq 4.}$

Τότε, από την (3) είναι $\displaystyle{\sqrt{c}=1+\frac{a}{b}\geq 1+\frac{a}{4}\geq \sqrt{a}}$ (η τελευταία είναι η ΑΜ-ΓΜ), δηλαδή $\displaystyle{c\geq a,}$ άρα $\displaystyle{a=b=c=4}$ , τιμές που ικανοποιούν το σύστημα.

Συστηματάκι

Συστηματάκι

Re: Συστηματάκι

Μέλη σε σύνδεση