ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι μεγαλύτερο από το δεκαπλάσιο του αριθμού κατά $\displaystyle{75}$ . Να βρεθεί ο αριθμός.

2. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le 2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$ .

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A\Delta}$ ύψος του.
(α) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E} =\widehat{A\Delta Z} }$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.
(β) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ στις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{\Gamma A}$ ( προς το μέρος του $\displaystyle{A}$ ), αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E} =\widehat{A\Delta Z} }$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

4. Μία βρύση $\displaystyle{A}$ γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) μία δεξαμενή σε τρεις ώρες. Μία δεύτερη βρύση $\displaystyle{B}$ γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή σε τέσσερις ώρες. Μία τρίτη τέλος βρύση $\displaystyle{\Gamma}$ αδειάζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή , όταν βέβαια είναι γεμάτη, σε έξι ώρες. Ένας αυτόματος μηχανισμός ανοίγει με τυχαία σειρά και τις τρεις βρύσες με τον εξής τρόπο: ανοίγει μία βρύση, μετά από δύο ώρες ανοίγει μία άλλη και τέλος μετά από μία ώρα ανοίγει και την άλλη βρύση. Ένας άλλος μηχανισμός μετρά το χρόνο που χρειάζεται να γεμίσει η δεξαμενή και ξεκινά τη λειτουργία του μόλις πέσει νερό μέσα στη δεξαμενή. Ποια είναι εκείνη η σειρά με την οποία, αν ανοίξει τις βρύσες ο μηχανισμός, o αριθμός των ωρών που θα χρειαστούν για να γεμίσει η δεξαμενή θα είναι ακέραιος αριθμός; Ποιος είναι σε κάθε περίπτωση αυτός ο ακέραιος αριθμός;

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι μεγαλύτερο από το δεκαπλάσιο του αριθμού κατά $\displaystyle{75}$ . Να βρεθεί ο αριθμός.

Έστω $\displaystyle{x>0}$ ο αριθμός που αναζητούμε

Από την υπόθεση έχουμε ότι $\displaystyle{x^2=10x+75}$

Έτσι,αναγόμαστε στην εύρεση των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης

$\displaystyle{x^2=10x+75\Rightarrow x^2-10x=75\Rightarrow x^2-10x+25=75+25=100\Rightarrow (x-5)^2=100\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow x-5=10\ \lor x-5=-10\Rightarrow x=15\ \lor x=-5}$

Από αυτές δεκτή είναι μόνο η $\displaystyle{x=15}$ διότι $\displaystyle{x>0}$

sokratis lyras · #3

parmenides51 έγραψε:2. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le 2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$ .

Ωραία άσκηση για Θαλή.Από ΑΜ-ΓΜ προκύπτει ότι $4^{m-2}+4^{n+2}\ge 2\cdot 2^{m+n}=2^{m+n+1}.$ άρα πρέπει να ισχύει η ισότητα στην δοθείσα και συνεπώς m=n+4

.
Άρα $2^m+2^n=2^{n+4}+2^n=2^n(2^4+1)=2^n\cdot 17\equiv 0 \mod 34$

#4

parmenides51 έγραψε:2. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le 2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$ .

Aς δούμε και έναν ακόμα τρόπο:

Έχουμε: $\displaystyle{\frac{2^{2\mu}}{2^4}+2^{2\nu}.2^4 -2.2^{\mu}.2^{\nu}\leq 0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(2^{\mu})^{2}+(2^{\nu})^2 .16^2-2.16^2 .2^{\mu}.2^{\nu}\leq 0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(2^{\mu}-16.2^{\nu})^2\leq 0\Leftrightarrow 2^{\mu}=16.2^{\nu}}$

Άρα $\displaystyle{A=16.2^{\nu}+2^{\nu}=2^{\nu}(16+1)=17.2^{\nu}=17.2.2^{\nu -1}=34.2^{\nu -1}}$

Aφού $\displaystyle{\nu \epsilon N^{*}}$ , ο αριθμός $\displaystyle{2^{\nu -1}}$ , είναι ακέραιος και άρα ο $\displaystyle{A}$ , είναι πράγνατι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$ .

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:4. Μία βρύση $\displaystyle{A}$ γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) μία δεξαμενή σε τρεις ώρες. Μία δεύτερη βρύση $\displaystyle{B}$ γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή σε τέσσερις ώρες. Μία τρίτη τέλος βρύση $\displaystyle{\Gamma}$ αδειάζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή , όταν βέβαια είναι γεμάτη, σε έξι ώρες. Ένας αυτόματος μηχανισμός ανοίγει με τυχαία σειρά και τις τρεις βρύσες με τον εξής τρόπο: ανοίγει μία βρύση, μετά από δύο ώρες ανοίγει μία άλλη και τέλος μετά από μία ώρα ανοίγει και την άλλη βρύση. Ένας άλλος μηχανισμός μετρά το χρόνο που χρειάζεται να γεμίσει η δεξαμενή και ξεκινά τη λειτουργία του μόλις πέσει νερό μέσα στη δεξαμενή. Ποια είναι εκείνη η σειρά με την οποία, αν ανοίξει τις βρύσες ο μηχανισμός, o αριθμός των ωρών που θα χρειαστούν για να γεμίσει η δεξαμενή θα είναι ακέραιος αριθμός; Ποιος είναι σε κάθε περίπτωση αυτός ο ακέραιος αριθμός;

Αφού η βρύση $\displaystyle{A}$ (λειτουργώντας μόνη της) γεμίζει μία δεξαμενή σε τρεις ώρες, τότε σε μία ώρα θα γεμίζει το $\displaystyle{\frac{1}{3}=\frac{4}{12}}$ της δεξαμενής.
Ομοίως σε μία ώρα η βρύση $\displaystyle{B}$ (λειτουργώντας μόνη της) θα γεμίζει το $\displaystyle{\frac{1}{4}=\frac{3}{12}}$ της δεξαμενής
και η βρύση $\displaystyle{\Gamma}$ θα αδειάζει (λειτουργώντας μόνη της) το $\displaystyle{\frac{1}{6}=\frac{2}{12}}$ της δεξαμενής.

Ας δούμε την περίπτωση που ανοίγονται και οι τρεις βρύσες με τυχαία σειρά με τον παραπάνω τρόπο:

ανοίγει μία βρύση (ας την πούμε πρώτη), μετά από δύο ώρες ανοίγει μία άλλη (ας την πούμε δεύτερη)

και τέλος μετά από μία ώρα ανοίγει και την άλλη βρύση (ας την πούμε τρίτη).

Πρώτη περίπτωση: δεν ανοίγουμε την βρύση $\displaystyle{\Gamma}$ πρώτη.

Έστω $\displaystyle{x}$ η ποσότητα που γεμίζει η πρώτη βρύση που ανοίγεται σε χρόνο μιας ώρας, τότε $\displaystyle{x\in\big\{\frac{4}{12},\frac{3}{12}\big\}}$ ,

$\displaystyle{y}$ η ποσότητα που γεμίζει (ή αδειάζει) η δεύτερη βρύση που ανοίγεται σε χρόνο μιας ώρας, τότε $\displaystyle{y\in\big\{\frac{4}{12},\frac{3}{12},-\frac{2}{12}\big\}-\{x\}}$

και $\displaystyle{z}$ η ποσότητα που γεμίζει (ή αδειάζει) η τρίτη βρύση που ανοίγεται σε χρόνο μιας ώρας, τότε $\displaystyle{z\in\big\{\frac{4}{12},\frac{3}{12},-\frac{2}{12}\big\}-\{x,y\}}$ .

Έστω πως μένουν ανοιχτές για χρόνο $\displaystyle{t}$ αφού ανοίξουν και οι τρείς βρύσες,

τότε θα έχουμε ποσότητα $\displaystyle{x}$ από την πρώτη βρύση για χρονικό διάστημα ίσο με $\displaystyle{4+t}$ , συνεπώς ποσότητα $\displaystyle{x(4+t)}$ από την πρώτη βρύση

και ομοίως ποσότητα $\displaystyle{y(2+t)}$ από την δεύτερη βρύση και $\displaystyle{z(1+t)}$ από την τρίτη βρύση,

συνολικά θα έχουμε ποσότητα $\displaystyle{x(4+t)+y(2+t)+z(1+t)}$ .

Για να γεμίσει πρέπει και αρκεί να καλυφθεί όλη η δεξαμενή,

δηλαδή $\displaystyle{x(4+t)+y(2+t)+z(1+t)=1 \Leftrightarrow 4x+2y+z+ t(x+y+z)=1 \Leftrightarrow 3x+y+ (x+y+z)+t(x+y+z)=1 }$

κι επειδή $\displaystyle{x+y+z=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{5}{12}}$ (όποια και να είναι η σειρά τους το άθροισμα παραμένει σταθερό)

θα έχουμε πως $\displaystyle{3x+y+\frac{5}{12}+ t\frac{5}{12}=1\Leftrightarrow 36x+12y+5+5t=12 \Leftrightarrow 5t=7-36x-12y}$

οπότε για να είναι ο χρόνος $\displaystyle{t}$ ακέραιος αριθμός πρέπει και αρκεί ο αριθμός $\displaystyle{7-36x-12y}$ να είναι θετικός ακέραιος και πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$

Θέτω $\displaystyle{A=7-36x-12y=7-3\cdot 12x-12y}$

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{x=\frac{4}{12}}$ και $\displaystyle{y=\frac{3}{12}}$ :
$\displaystyle{A=7-3\cdot 12\frac{4}{12}- 12\frac{3}{12}=7-12-3=-8}$ , απορρίπτεται ως αρνητικός

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{x=\frac{4}{12}}$ και $\displaystyle{y=-\frac{2}{12}}$ :
$\displaystyle{A=7-3\cdot 12\frac{4}{12}- 12\frac{-2}{12}=7-12+2=-3}$ , απορρίπτεται ως αρνητικός

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{x=\frac{3}{12}}$ και $\displaystyle{y=\frac{4}{12}}$ :
$\displaystyle{A=7-3\cdot 12\frac{3}{12}-12\frac{4}{12}=7-9-4=-6}$ , απορρίπτεται ως αρνητικός

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{x=\frac{3}{12}}$ και $\displaystyle{y=-\frac{2}{12}}$ :
$\displaystyle{A=7-3\cdot 12\frac{3}{12}-12\frac{-2}{12}=7-9+2=0}$ , απορρίπτεται ως μηδεν

οπότε απορρίπτεται όλη η πρώτη περίπτωση

Δεύτερη περίπτωση: ανοίγουμε την βρύση $\displaystyle{\Gamma}$ πρώτη .

Έστω $\displaystyle{x=-\frac{2}{12}}$ η ποσότητα που αδειάζει σε χρόνο μιας ώρας λόγω της βρύσης $\displaystyle{\Gamma}$ εφόσον υπάρχει ποσότητα.

Μετά από δυο ώρες ανοίγουμε μια από τις βρύσες $\displaystyle{A,B}$ και έστω $\displaystyle{y}$ η ποσότητα που βγάζει , τότε $\displaystyle{y\in\big\{\frac{4}{12},\frac{3}{12}\big\}}$

μια ώρα μετά ανοίγουμε την άλλη από τις βρύσες $\displaystyle{A,B}$ και έστω $\displaystyle{z}$ η ποσότητα που βγάζει , τότε $\displaystyle{z\in\big\{\frac{4}{12},\frac{3}{12}\big\}-\{y\}}$

Ομοίως αν μένουν ανοιχτές και οι τρεις βρύσες για χρόνο $\displaystyle{t}$ , για να γεμίσει πρέπει και αρκεί να καλυφθεί όλη η δεξαμενή

θα πρέπει $\displaystyle{x(2+t)+y(2+t)+z(1+t)=1 \Leftrightarrow 2x+2y+z+ t(x+y+z)=1 \Leftrightarrow x+y+ (x+y+z)+t(x+y+z)=1 }$

κι επειδή $\displaystyle{x+y+z=\frac{5}{12}}$ και $\displaystyle{x=-\frac{2}{12}}$

θα έχουμε πως $\displaystyle{-\frac{2}{12}+y+\frac{5}{12}+ t\frac{5}{12}=1\Leftrightarrow -2+12y+5+5t=12 \Leftrightarrow 5t=9-12y}$

οπότε για να είναι ο χρόνος $\displaystyle{t}$ ακέραιος αριθμός πρέπει και αρκεί ο αριθμός $\displaystyle{9-12y}$ να είναι θετικός ακέραιος και πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{y=\frac{4}{12}}$ :
$\displaystyle{9-12y=9-12\frac{4}{12}=9-4=5}$ , δεκτή

$\displaystyle{\bullet}$ για $\displaystyle{y=\frac{3}{12}}$ :
$\displaystyle{9-12y=9-12\frac{3}{12}=9-3=6}$ , απορρίπτεται ως μη πολλαπλάσιο του 5

οπότε για να γεμίσει σε ακέραιο χρόνο με τον παραπάνω τρόπο τις ανοίγουμε με την σειρά $\displaystyle{\Gamma \to A \to B }$

και θα γεμίσει σε χρόνο $\displaystyle{5t=5 \Leftrightarrow t=1}$ ώρα από την στιγμή που θα ανοίξει και η τρίτη στην σειρά βρύση.

Ουφ, ας την ελέγξει κάποιος εαν είναι σωστή.

Eukleidis · #6

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A\Delta}$ ύψος του.
(α) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E} =\widehat{A\Delta Z} }$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.
(β) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ στις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{\Gamma A}$ ( προς το μέρος του $\displaystyle{A}$ ), αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E} =\widehat{A\Delta Z} }$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

(α) Συγκρίνω τα $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm E} \sim {\rm A}\Delta {\rm Z}}$ που έχουν την $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ κοινή, $\displaystyle{\Delta {\rm E} = \Delta {\rm Z},\widehat {{\rm A}\Delta {\rm E}} = \widehat {{\rm A}\Delta {\rm Z}}}$ από υπόθεση. Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα οπότε: $\displaystyle{\widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = \widehat {\Delta {\rm A}\Gamma }}$ από το οποίο έπεται ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ισοσκελές.

(β) Έστω ότι η $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ τέμνει την $\displaystyle{{\rm Z}{\rm E}}$ στο $\displaystyle{{\rm H}}$ .
Συγκρίνω τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm Z} \sim {\rm A}\Delta {\rm E}}$ που έχουν την $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ κοινή και $\displaystyle{\Delta {\rm Z} = \Delta {\rm E},\widehat {{\rm A}\Delta {\rm E}} = \widehat {{\rm A}\Delta {\rm Z}}}$ από υπόθεση. Άρα είναι ίσα. Συνεπώς $\displaystyle{\widehat {{\rm Z}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm E}} \Rightarrow \pi - \widehat {{\rm Z}{\rm A}\Delta } = \pi - \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm E}} \Rightarrow \widehat {{\rm Z}{\rm A}{\rm H}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}{\rm H}} \Rightarrow \widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Delta {\rm A}\Gamma }}$ καθιστώντας το ζητούμενο τρίγωνο ισοσκελές.

parmenides51 · #7

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A\Delta}$ ύψος του.
(α) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E} =\widehat{A\Delta Z} }$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

: 8alis 2009 3o al1.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 2022 φορές

Eukleidis έγραψε:(α) Συγκρίνω τα $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm E} \sim {\rm A}\Delta {\rm Z}}$ που έχουν την $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ κοινή, $\displaystyle{\Delta {\rm E} = \Delta {\rm Z},\widehat {{\rm A}\Delta {\rm E}} = \widehat {{\rm A}\Delta {\rm Z}}}$ από υπόθεση. Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα οπότε: $\displaystyle{\widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = \widehat {\Delta {\rm A}\Gamma }}$ από το οποίο έπεται ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ισοσκελές.

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A\Delta}$ ύψος του.
(β) Αν υπάρχουν σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ στις προεκτάσεις των πλευρών $\displaystyle{BA}$ και $\displaystyle{\Gamma A}$ ( προς το μέρος του $\displaystyle{A}$ ), αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\Delta E = \Delta Z}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta E} =\widehat{A\Delta Z} }$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές.

: 8alis 2009 3o al2.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 2022 φορές

Eukleidis έγραψε:(β) Έστω ότι η $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ τέμνει την $\displaystyle{{\rm Z}{\rm E}}$ στο $\displaystyle{{\rm H}}$ .
Συγκρίνω τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm Z} \sim {\rm A}\Delta {\rm E}}$ που έχουν την $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ κοινή και $\displaystyle{\Delta {\rm Z} = \Delta {\rm E},\widehat {{\rm A}\Delta {\rm E}} = \widehat {{\rm A}\Delta {\rm Z}}}$ από υπόθεση. Άρα είναι ίσα. Συνεπώς $\displaystyle{\widehat {{\rm Z}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm E}} \Rightarrow \pi - \widehat {{\rm Z}{\rm A}\Delta } = \pi - \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm E}} \Rightarrow \widehat {{\rm Z}{\rm A}{\rm H}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}{\rm H}} \Rightarrow \widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Delta {\rm A}\Gamma }}$ καθιστώντας το ζητούμενο τρίγωνο ισοσκελές.

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:4. Μία βρύση $\displaystyle{A}$ γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) μία δεξαμενή σε τρεις ώρες. Μία δεύτερη βρύση $\displaystyle{B}$ γεμίζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή σε τέσσερις ώρες. Μία τρίτη τέλος βρύση $\displaystyle{\Gamma}$ αδειάζει (λειτουργώντας μόνη της) την ίδια δεξαμενή , όταν βέβαια είναι γεμάτη, σε έξι ώρες. Ένας αυτόματος μηχανισμός ανοίγει με τυχαία σειρά και τις τρεις βρύσες με τον εξής τρόπο: ανοίγει μία βρύση, μετά από δύο ώρες ανοίγει μία άλλη και τέλος μετά από μία ώρα ανοίγει και την άλλη βρύση. Ένας άλλος μηχανισμός μετρά το χρόνο που χρειάζεται να γεμίσει η δεξαμενή και ξεκινά τη λειτουργία του μόλις πέσει νερό μέσα στη δεξαμενή. Ποια είναι εκείνη η σειρά με την οποία, αν ανοίξει τις βρύσες ο μηχανισμός, o αριθμός των ωρών που θα χρειαστούν για να γεμίσει η δεξαμενή θα είναι ακέραιος αριθμός; Ποιος είναι σε κάθε περίπτωση αυτός ο ακέραιος αριθμός;

εδώ από τον Λεωνίδα Θαραλλίδη

Υ.Γ. Μάλλον έχω κάποιο λάθος στην απόπειρα μου παραπάνω.

gavrilos · #9

parmenides51 έγραψε:2. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{\mu, \nu }$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι $\displaystyle{4^{\mu -2} + 4^{\nu +2 } \le 2^{\mu+ \nu +1}}$ , να αποδείξετε ότι ο ακέραιος $\displaystyle{A = 2^\mu +2^\nu}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{34}$ .

Η παράσταση γίνεται $\displaystyle{2^{m+n+1}(2^{m-n-5}+2^{n-m+1})\leq 2^{m+n+1} \Leftrightarrow 2^{m-n-5}+2^{n-m+1}\leq 1 \Leftrightarrow m-n< 5 \ , \ m-n> 1}$ .

1η περίπτωση: $\displaystyle{m-n=2 \Leftrightarrow 2^{2n}+2^{2n+4}\leq 2^{2n+3} \Leftrightarrow 2^{2n}(1+16-8)\leq 0}$ ,άτοπο.

2η περίπτωση: $\displaystyle{m-n=3 \Leftrightarrow 2^{2n+2}+2^{2n+4}\leq 2^{2n+4} \Leftrightarrow 2^{2n+2}\leq 0}$ ,άτοπο.

3η περίπτωση: $\displaystyle{m-n=4 \Leftrightarrow 2^{2n+4}+2^{2n+4}\leq 2^{2n+5}}$ η οποία είναι η μόνη περίπτωση που επαληθεύει έστω και την ισότητα μόνο άρα και η μοναδική που μπορεί να ισχύει.

Άρα $\displaystyle{2^{n+4}+2^{n}=34\cdot 2^{n-1}}$ .

Σωστή αλλά όχι τόσο έξυπνη όσο οι άλλες που έχουν προταθεί.Πάντως κατά τη γνώμη μου πολύ ωραίο θέμα.

Φιλικά,
gavrilos

ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση