ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Οκτ 30, 2012 1:31 am

1. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x, y που να επαληθεύουν την εξίσωση \displaystyle{2x^2 + 3x (x -2) +11x -10y = 2015}


2. Για τη συνάρτηση \displaystyle{f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}} ισχύει ότι: \displaystyle{f\left (x - f ( y)\right)- f \left( y - f (x)\right) = 2 f \left( f (x) -f ( y)\right)} , για κάθε \displaystyle{x, y\in  \mathbb{R}} .
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f \left( x - f (x)\right) = 0} , για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.


3. Δίνονται τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί με δεκαδική αναπαράσταση της μορφής \displaystyle{\mathop{\underbrace{\overline{\alpha 000 \cdots 000\alpha}}\limits_{2\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha }} , όπου \displaystyle{\alpha} είναι θετικός μονοψήφιος ακέραιος και μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου ψηφίου του αριθμού \displaystyle{\overline{\alpha 00 \cdots 00\alpha}} , μεσολαβούν \displaystyle{2\nu} το πλήθος μηδενικά. Να αποδείξετε ότι: “ή ένας από αυτούς θα διαιρείται με το \displaystyle{33} ή το άθροισμα κάποιων από αυτούς θα διαιρείται με το \displaystyle{33} ”.


4. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} , εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{C(O, R)} και έστω \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα μέσα των πλευρών του \displaystyle{B\Gamma ,A\Gamma ,AB} αντίστοιχα.
Θεωρούμε τους κύκλους \displaystyle{C_1\left(A_1,\frac{R}{2}\right), C_2\left(B_1,\frac{R}{2}\right)} και \displaystyle{C_3\left(\Gamma_1,\frac{R}{2}\right)} .
Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι \displaystyle{C_1,C_2,C_3} περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω \displaystyle{N}) και
ότι τα δεύτερα κοινά σημεία τους \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} είναι τα μέσα των \displaystyle{OA,OB,O\Gamma} αντίστοιχα.
Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι \displaystyle{A_1A_2,B_1B_2,\Gamma_1\Gamma_2} και \displaystyle{ON} περνάνε από το ίδιο σημείο



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Οκτ 30, 2012 8:21 pm

parmenides51 έγραψε:2. Για τη συνάρτηση \displaystyle{f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}} ισχύει ότι: \displaystyle{f\left (x - f ( y)\right)- f \left( y - f (x)\right) = 2 f \left( f (x) -f ( y)\right)} , για κάθε \displaystyle{x, y\in  \mathbb{R}} .
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f \left( x - f (x)\right) = 0} , για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.
Για \displaystyle{x=y=0}, η δοσμένη σχέση γράφεται:

\displaystyle{f(-f(0))-f(-f(0))=2f(0)\Rightarrow f(0)=0}

Για \displaystyle{x=0}, η δοσμένη σχέση γράφεται:

\displaystyle{f(-f(y))-f(y-f(0))=2f(f(0)-f(y))\Rightarrow f(-f(y))-f(y)=2f(-f(y))\Rightarrow f(-f(y))=-f(y)}, για κάθε \displaystyle{y\epsilon R}

Άρα \displaystyle{f(-f(x))=-f(x)}, για κάθε \displaystyle{x\epsilon R}, (1)

Για \displaystyle{y=0}, η δοσμένη σχέση γράφεται:

\displaystyle{f(x-f(0))-f(-f(x))=2f(f(x)-f(0))\Rightarrow f(x)-f(-f(x))=2f(f(x))} και λόγω της (1), έχουμε:

\displaystyle{f(x)+f(x)=2f(f(x))\Rightarrow 2f(x)=2f(f(x))\Rightarrow f(f(x))=f(x)}, για κάθε \displaystyle{x\epsilon R}, (2)

Tέλος, θέτουμε στην αρχική σχέση όπου y , το \displaystyle{f(x)} , και έχουμε:

\displaystyle{f(x-f(f(x)))-f(f(x)-f(x))=2f(f(x)-f(f(x)))} και λόγω της (2), έχουμε:

\displaystyle{f(x-f(x))-f(x)=2f(f(x)-f(x))\Rightarrow f(x-f(x))-f(x)=2f(0)\Rightarrow f(x-f(x))-f(x)=0\Rihtarrow }

\displaystyle{f(x-f(x))=f(x)}, για κάθε \displaystyle{x\epsilon R}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Οκτ 30, 2012 8:54 pm

parmenides51 έγραψε:1. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x, y που να επαληθεύουν την εξίσωση \displaystyle{2x^2 + 3x (x -2) +11x -10y = 2015}

H δοσμένη εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{2x^2 +3x^2 -6x +11x -10y=2015\Rightarrow 5x^2 +5x-10y=2015\Rightarrow x^2 +x-2y=403\Rightarrow }

\displaystyle{x(x+1)-2y=403}. Έστω \displaystyle{x , y} θετικοί ακέραιοι. Όμως γνωρίζουμε ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων αριθμών είναι πάντα άρτιος (και γενικά, το γινόμενο \displaystyle{n} διαδοχικών ακεραίων, είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{n!}). Άρα \displaystyle{x(x+1)=2k , k\epsilon N^{*}}. Συνεπώς έχουμε:

\displaystyle{2k-2y=403\Rightarrow 2(k-y)=493}, πράγμα που είναι άτοπο, αφού το πρώτο μέλος είναι άρτιος και το δεύτερο περιττός. Άρα η δοσμένη εξίσωση, δεν έχει ακέραιες λύσεις.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Νοέμ 28, 2012 12:28 am

parmenides51 έγραψε:3. Δίνονται τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί με δεκαδική αναπαράσταση της μορφής \displaystyle{\mathop{\underbrace{\overline{\alpha 000 \cdots 000\alpha}}\limits_{2\nu -\psi \eta \varphi \iota \alpha }} , όπου \displaystyle{\alpha} είναι θετικός μονοψήφιος ακέραιος και μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου ψηφίου του αριθμού \displaystyle{\overline{\alpha 00 \cdots 00\alpha}} , μεσολαβούν \displaystyle{2\nu} το πλήθος μηδενικά. Να αποδείξετε ότι: “ή ένας από αυτούς θα διαιρείται με το \displaystyle{33} ή το άθροισμα κάποιων από αυτούς θα διαιρείται με το \displaystyle{33} ”.</div></blockquote>
<a href="http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=20627#p20627" class="postlink">εδώ</a> (σε απόκρυψη) 

<blockquote><div><cite>parmenides51 έγραψε:</cite><span style="font-size: 150%; line-height: normal"><strong class="text-strong">4.</strong></span> Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} , εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{C(O, R)} και έστω  \displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1} τα μέσα των πλευρών του \displaystyle{B\Gamma ,A\Gamma ,AB} αντίστοιχα.  
Θεωρούμε τους κύκλους \displaystyle{C_1\left(A_1,\frac{R}{2}\right), C_2\left(B_1,\frac{R}{2}\right)} και  \displaystyle{C_3\left(\Gamma_1,\frac{R}{2}\right)} .  
Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι \displaystyle{C_1,C_2,C_3} περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω \displaystyle{N}) και 
ότι τα δεύτερα κοινά σημεία τους  \displaystyle{A_2,B_2,\Gamma_2} είναι τα μέσα των \displaystyle{OA,OB,O\Gamma} αντίστοιχα.  
Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι \displaystyle{A_1A_2,B_1B_2,\Gamma_1\Gamma_2} και \displaystyle{ON}$ περνάνε από το ίδιο σημείο
εδώ (σε απόκρυψη) και μια υπόδειξη εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες