ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1. Οι αριθμοί είναι ακέραιοι και ισχύει . Είναι δυνατόν να ισχύει ;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
2. Σε ένα δοχείο υπάρχουν λευκά, κίτρινα, κόκκινα και πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουμε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η παρουσία στο δείγμα τουλάχιστον
α) λευκών,
β) κίτρινων,
γ) κόκκινων,
δ) πράσινων σφαιριδίων
(τέσσερα διαφορετικά ερωτήματα).
3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο. 4. Δίνονται οι αριθμοί: και .
Ποιος είναι μεγαλύτερος και γιατί;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
2. Σε ένα δοχείο υπάρχουν λευκά, κίτρινα, κόκκινα και πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουμε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η παρουσία στο δείγμα τουλάχιστον
α) λευκών,
β) κίτρινων,
γ) κόκκινων,
δ) πράσινων σφαιριδίων
(τέσσερα διαφορετικά ερωτήματα).
3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο. 4. Δίνονται οι αριθμοί: και .
Ποιος είναι μεγαλύτερος και γιατί;
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6429
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Η επίλυση του προβλήματος βασίζεται στους εξής απλούς κανόνες:parmenides51 έγραψε:1. Οι αριθμοί είναι ακέραιοι και ισχύει . Είναι δυνατόν να ισχύει ;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
1) άρτιος +άρτιος =άρτιος,
2) περιττός +περιττός=άρτιος,
3) άρτιος +περιττός =περιττός.
Επειδή και το είναι άρτιος, οι είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.
Και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει
Μάγκος Θάνος
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Άλλη μια λύσηparmenides51 έγραψε:1. Οι αριθμοί είναι ακέραιοι και ισχύει . Είναι δυνατόν να ισχύει ;
Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Αν τότε ή
ή ή το οποίο είναι αδύνατο γιατί ο είναι άρτιος
Ηλίας Καμπελής
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Έστωparmenides51 έγραψε:4. Δίνονται οι αριθμοί: και .
Ποιος είναι μεγαλύτερος και γιατί;
Τότε και
Οπότε
Άρα
Αποστόλης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Όλα τα σφαιρίδια συνολικά είναι .parmenides51 έγραψε:2. Σε ένα δοχείο υπάρχουν λευκά, κίτρινα, κόκκινα και πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουμε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η παρουσία στο δείγμα τουλάχιστον
α) λευκών,
β) κίτρινων,
γ) κόκκινων,
δ) πράσινων σφαιριδίων
(τέσσερα διαφορετικά ερωτήματα).
α) Για να έχουμε το λιγότερο λευκά, σκεφτόμαστε το χειρότερο δυνατό σενάριο, να έχουμε τραβήξει όλα τα υπόλοιπα σφαιρίδια και να μην έχουν βγει ακόμα λευκά, όποτε ο ελάχιστος αριθμός είναι τα που θέλουμε συν όλα τα υπόλοιπα σφαιρίδια οπότε .
β) Ομοίως ο ελάχιστος αριθμός είναι σφαιρίδια.
γ) Ομοίως ο ελάχιστος αριθμός είναι σφαιρίδια.
δ) Ομοίως ο ελάχιστος αριθμός είναι σφαιρίδια.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.
Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.
Αποστόλης
- Παναγιώτης Χ.
- Δημοσιεύσεις: 37
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 6:25 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Πώς δικαιολογείται αυτή η λύση;apotin έγραψε:3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.
Παναγιώτης Χαλιμούρδας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Δεν νομίζω οι εξεταστές, σ' αυτό το πρόβλημα, να θέλανε κάποια αιτιολόγησηΠαναγιώτης Χ. έγραψε:Πώς δικαιολογείται αυτή η λύση;apotin έγραψε:3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Διαγράφοντας τα κόκκινα σημεία νομίζω πως έχουμε λύση.
Αποστόλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6480
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ας δούμε και μια αυστηρή απόδειξη, για το γιατί το 4 είναι το ελάχιστο!parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 19, 2012 7:16 am3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Eykleidhs 2005 3o.png
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16307
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2005 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θα δείξουμε ότι αν διώξουμε (ή λιγότερα) σημεία, πάντα θα μείνει ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω λοιπόν ότι διώχνουμε σημεία.socrates έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 04, 2024 12:15 pmΑς δούμε και μια αυστηρή απόδειξη, για το γιατί το 4 είναι το ελάχιστο!parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 19, 2012 7:16 am3. Δέκα σημεία είναι τοποθετημένα σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου όπως στο σχήμα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να μη σχηματίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Eykleidhs 2005 3o.png
Κοιτάμε τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα με κορυφές ή ή . Εφόσον θέλουμε να μην υπάρχει ισόπλευρο τρίγωνο, πρέπει από καθένα από τα τρίγωνα αυτά να διώξουμε από μία κορυφή. Άρα στο καθένα μένουν οι άλλες δύο κορυφές (γιατί εξαντλήσαμε τις τρεις κορυφές που μπορούμε να διώξουμε). Επίσης, από τα τρίγωνα αυτά πρέπει να φύγει μία από τις κόκκινες κορυφές, αλλιώς θα είχαμε το ισόπλευρο με τις κόκκινες κορυφές.
Έστω λοιπόν, χωρίς βλάβη, ότι διώξαμε την κόκκινη κορυφή . Τότε μένουν οι άλλες δύο κορυφές του τριγώνου (οι γαλάζιες). Τότε όμως έχουμε το ισόπλευρο τρίγωνο , και ο συλλογισμός ολοκληρώθηκε. Συγκεκριμένα, δείξαμε ότι πρέπει να διώξουμε ή παραπάνω κορυφές. Με καταφέρνουμε το ζητούμενο (βλέπε ποστ #) οπότε το ελάχιστο είναι το .
.
- Συνημμένα
-
- polla isoplevra.png (5.12 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης