ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Νοέμ 29, 2012 8:33 pm

1. Αν οι \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα \displaystyle{12}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\frac{\left(\alpha ^{2}+4\beta ^{2} \right)\gamma }{4\alpha \beta }+\frac{\left(\beta  ^{2}+4\gamma  ^{2} \right)\alpha  }{4\beta \gamma  }+\frac{\left(\gamma  ^{2}+4\alpha ^{2} \right)\beta}{4\gamma \alpha } >12}


2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: \displaystyle{\begin{cases} 
 x^2+2xy=5 \\  
 y^2-3xy=-2  
\end{cases}}


3. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{(c)} με κέντρο \displaystyle{O} και ακτίνα \displaystyle{R} . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{AOB} (έστω \displaystyle{(c_1)}), τέμνει την \displaystyle{A\Gamma} στο σημείο \displaystyle{K} και την \displaystyle{B\Gamma} στο σημείο \displaystyle{N} . Έστω \displaystyle{(c_2)} ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{\Gamma KN} και \displaystyle{ (c_3 )} ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{O\Gamma K}. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι \displaystyle{(c_1),(c_2)} και \displaystyle{(c_3)} είναι ίσοι μεταξύ τους.



4. Η ακολουθία \displaystyle{\alpha_n , n \in \mathbb{N}^*} ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις \displaystyle{\alpha_{n+1}=\alpha_n-\frac{k}{2^n} ,n\in \mathbb{N}^*,a_1=1} όπου \displaystyle{k} θετικός ακέραιος.
(i) Να προσδιορίσετε το γενικό όρο της ακολουθίας \displaystyle{a_n} ως συνάρτηση των \displaystyle{n} και \displaystyle{k}
(ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί θετικοί ακέραιοι \displaystyle{k, n} τέτοιοι ώστε : \displaystyle{a_n=\frac{1}{2^{1000}}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Νοέμ 29, 2012 8:45 pm

parmenides51 έγραψε:1. Αν οι \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα \displaystyle{12}, να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\frac{\left(\alpha ^{2}+4\beta ^{2} \right)\gamma }{4\alpha \beta }+\frac{\left(\beta  ^{2}+4\gamma  ^{2} \right)\alpha  }{4\beta \gamma  }+\frac{\left(\gamma  ^{2}+4\alpha ^{2} \right)\beta}{4\gamma \alpha } >12}

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: \displaystyle{\begin{cases} 
 x^2+2xy=5 \\  
 y^2-3xy=-2  
\end{cases}}

εδώ, εδώ, ισχυρή υπόδειξη εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{(c)} με κέντρο \displaystyle{O} και ακτίνα \displaystyle{R} . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{AOB} (έστω \displaystyle{(c_1)}), τέμνει την \displaystyle{A\Gamma} στο σημείο \displaystyle{K} και την \displaystyle{B\Gamma} στο σημείο \displaystyle{N} . Έστω \displaystyle{(c_2)} ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{\Gamma KN} και \displaystyle{ (c_3 )} ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{O\Gamma K}. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι \displaystyle{(c_1),(c_2)} και \displaystyle{(c_3)} είναι ίσοι μεταξύ τους.
εδώ, εδώ, γενικότερη, ισχυρή υπόδειξη εδώ και αξιοποίηση της υπόδειξης εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Η ακολουθία \displaystyle{\alpha_n , n \in \mathbb{N}^*} ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις \displaystyle{\alpha_{n+1}=\alpha_n-\frac{k}{2^n} ,n\in \mathbb{N}^*,a_1=1} όπου \displaystyle{k} θετικός ακέραιος.
(i) Να προσδιορίσετε το γενικό όρο της ακολουθίας \displaystyle{a_n} ως συνάρτηση των \displaystyle{n} και \displaystyle{k}
(ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί θετικοί ακέραιοι \displaystyle{k, n} τέτοιοι ώστε : \displaystyle{a_n=\frac{1}{2^{1000}}}

εδώ και εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot], Μπάμπης Στεργίου και 1 επισκέπτης