ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
1. Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου n για τις οποίες ο αριθμός είναι ρητός.
2. Δίνεται τρίγωνο με περίκεντρο και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία έτσι ώστε και και με .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.
3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι .
Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο και ακτίνα .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης και ισχύουν οι σχέσεις:
(Ι)
(ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,
β)
2. Δίνεται τρίγωνο με περίκεντρο και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία έτσι ώστε και και με .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.
3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι .
Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο και ακτίνα .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης και ισχύουν οι σχέσεις:
(Ι)
(ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,
β)
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
από εδώparmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι .
Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
new_member έγραψε: Πρώτα από όλα χρησιμοποιώντας AM-GM έχουμε:
άρα:
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο θα είναι ο μεγαλύτερος εκ των . Οπότε
οπότε
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
μια λύση με Lagrange εδώ (aops)parmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι .
Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο και ακτίνα .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης και ισχύουν οι σχέσεις:
(Ι)
(ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,
β)
και κυκλικά άρα ισόπλευρο ομοίως το
που έχει ίσες πλευρές με το προηγούμενο αφού έχουν ίδιο r.
είναι γνωστή άσκηση ότι αν ισόπλευρο και σημείο του μικρού τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου τότε που σημαίνει ότι
Ακόμη χορδές με ίσες αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες άρα και κυκλικά το ζητούμενο
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Αν το ορθόκεντρο του η τέμνει την στο και κυκλικά για τιςsize=150]2.[/size] Δίνεται τρίγωνο με περίκεντρο και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία έτσι ώστε και και με .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Έχουμε το οποίο είναι δύναμη του . Επομένως, για να είναι ο ρητός πρέπει να υπάρχουν φυσικοί ώστε να συμβαίνει ένα από τα πιο κάτωparmenides51 έγραψε:1. Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακεραίου n για τις οποίες ο αριθμός είναι ρητός.
(1) και
(2) και .
Το (1) απορρίπτεται αφού αλλά . Πρέπει λοιπόν και . Τότε ο περιττός, έστω . Άρα και το οποίο δίνει . Τότε και επειδή πρέπει να ισχύει ένα από τα πιο κάτω:
(α)
(β)
(γ) .
Το (α) απορρίπτεται αφού δεν δίνει ακέραιες λύσεις. Το (β) δίνει που δίνουν και το (γ) δίνει που δίνουν . Και στις δύο περιπτώσεις ο Α είναι ρητός. ( στην πρώτη περίπτωση και στην δεύτερη.)
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
άλλες λύσεις εδώ (aops) και Lagrange πάλι εδώparmenides51 έγραψε:3. Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι .
Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
άλλες ιδέες εδώ κι εδώ (aops)parmenides51 έγραψε:4. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
είναι διαδοχικά σημεία του κύκλου με κέντρο και ακτίνα .
Αν w είναι μια λύση της εξίσωσης και ισχύουν οι σχέσεις:
(Ι)
(ΙΙ)
να αποδείξετε ότι:
α)το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,
β)
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Μπορεί κάποιος να δώσει μία λύση με ομοιοθεσία; Φτάνω στο σημείο που δείχνεις ότι οι πλευρές των ομοιόθετων και του τριγώνου είναι παράλληλες αλλά δεν βλέπω πώς μπορώ να συνεχίσω.2. Δίνεται τρίγωνο με περίκεντρο και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία έτσι ώστε και και με .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΛΥΚΕΙΟ
Με ομοιοθεσία ή θα βρεις το κέντρο της (σε παραπάνω μήνυμα έχει βρεθεί) ή απλούστερα θα κοιτάξεις σύνθεση ομοιοθεσιών.Teh έγραψε: ↑Δευ Ιαν 14, 2019 1:48 pmΜπορεί κάποιος να δώσει μία λύση με ομοιοθεσία; Φτάνω στο σημείο που δείχνεις ότι οι πλευρές των ομοιόθετων και του τριγώνου είναι παράλληλες αλλά δεν βλέπω πώς μπορώ να συνεχίσω.2. Δίνεται τρίγωνο με περίκεντρο και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα.
Θεωρούμε τα σημεία έτσι ώστε και και με .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.
Πάντως μπορούμε να πούμε, εκμεταλλευόμενοι την παραλληλία που έδειξες, ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά ως προς άξονα ( την ευθεία στο άπειρο), άρα είναι προοπτικά και ως προς σημείο. (αυτό είναι το σημείο συντρέχειας)
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες