ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Θέμα 1ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός όπου θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.
Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του έχει το πολυώνυμο και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;
Θέμα 3ο
Αν να αποδειχθεί ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;
Θέμα 4ο
Πόσα αθροίσματα είναι πολλαπλασια του 3;
Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα και ακτίνες εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι .
Αλέξανδρος
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός όπου θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.
Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του έχει το πολυώνυμο και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;
Θέμα 3ο
Αν να αποδειχθεί ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;
Θέμα 4ο
Πόσα αθροίσματα είναι πολλαπλασια του 3;
Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα και ακτίνες εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Η αποδεικτέα γράφεταιcretanman έγραψε: Θέμα 3ο
Αν να αποδειχθεί ότι . Πότε ισχύει η ισότητα;
η οποία, αφού εκτελεστούν οι πράξεις, γράφεται
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Με εις άτοπον!cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός όπου θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.
Έστω ότι υπάρχουν τέτοιοι θετικοί ακέραιοι. Τότε ο πρέπει να είναι άρτιος. Αυτό, εύκολα βλέπουμε ότι συμβαίνει, μόνο αν οι είναι άρτιοι.
Ας είναι λοιπόν με
Τότε, ο αρχικός αριθμός γίνεται
και για να είναι τέλειο τετράγωνο, το ίδιο πρέπει να συμβαίνει και με τους
Να τη η κάθοδος και το άτοπο!
Μάγκος Θάνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Για καμία τιμή του !cretanman έγραψε: Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του έχει το πολυώνυμο και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;
Αν υπήρχε τέτοια τιμή, τότε θα είχαμε
όπου οι ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου.
Από την πρώτη σχέση προκύπτει ότι και οι τρεις είναι περιττοί (αντίκειται στη δεύτερη σχέση) ή ακριβώς ένας είναι περιττός.
Ας είναι λοιπόν
Με αντικατάσταση στις σχέσεις, βρίσκουμε
Από την πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε πως οι είναι άρτιοι (αντίκειται στη δεύτερη) ή υπάρχει ακριβώς ένας άρτιος. Αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με τη δεύτερη σχέση.
Υ.Γ. Αλέξανδρε Καλά Χριστούγεννα.
Μάγκος Θάνος
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Λύση:cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
Πόσα αθροίσματα είναι πολλαπλασια του 3;
Αρχικά παρατηρούμε πως υπάρχουν ακριβώς 100 αριθμοί, μικρότεροι ή ίσοι του 300, που διαιρούνται με το 3,ακριβώς 100 που όταν διαιρεθούν με το 3 δίνουν υπόλοιπο 1 και 100 που δίνουν υπόλοιπο 2.
Ακόμη υπάρχουν συνολικά 300 αριθμοί.
Παρατηρούμε πως το είναι ο αριθμός που θα κάνει το άθροισμα διαιρετό με το 3,όποιοι και να είναι οι άλλοι 2 αριθμοί.Επομένως το μπορεί να πάρει 300 πιθανές τιμές,το επίσης 300 ενώ το 100.Έτσι απο την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν ακριβώς τέτοια αθροίσματα.
Σχόλιο:Αξίζει να σημειωθεί η ομοιότητα αυτού του θέματος με το 4ο αυτού(viewtopic.php?p=117173)
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Μια λύση είναι:cretanman έγραψε:Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα και ακτίνες εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι .
Αλέξανδρος
Το βρίσκεται από τον τύπο με τις παρατηρήσεις:
1. Το έγκεντρο του τριγώνου είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων, οπότε
2. τα του τύπου του Ήρωνα είναι τα και το
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
Είναι , όπου η ημιπερίμετρος του τριγώνου . Προφανώς . Από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε όπου .cretanman έγραψε: Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα και ακτίνες εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι .
Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε τελικά δηλαδή απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.
Υ.Γ. Θάνο επίσης! Καλά Χριστούγεννα σε όλους...
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ
διαφορετικά εδώ (aops)cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του έχει το πολυώνυμο και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;
cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός όπου θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.
διαφορετικά στην απόκρυψη εδώ (aops)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες