Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να αποδειχθεί οτι αν για θετικούς αριθμούς $\displaystyle{x,y}$ έχουμε $\displaystyle{x-\sqrt{x}\le y-\frac{1}{4}\le x+\sqrt{x}}$ με $\displaystyle{\sqrt{x}\ge\frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{y\ge\frac{1}{2} }$ ,
τότε θα έχουμε και $\displaystyle{y-\sqrt{y}\le x-\frac{1}{4}\le y+\sqrt{y}}$ .

2.Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ στο οποίο $\displaystyle{\widehat{A}=2\widehat{\Gamma}}$ κι έστω $\displaystyle{\Delta}$ το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμους της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ με την $\displaystyle{B\Gamma}$ .
α) Να καθοριστεί το διάστημα μεταβολής της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ .
β) Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\gamma^2= \alpha (B\Delta)}$ και $\displaystyle{\beta\gamma= \alpha^2-\gamma^2}$ (όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τα μέτρα των πλευρών του τριγώνου)

3. Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\kappa \eta\mu x+\lambda \sigma \upsilon \nu x}$ όπου $\displaystyle{\kappa=\eta\mu\alpha \eta\mu \beta}$ και $\displaystyle{\lambda = \sigma \upsilon \nu\alpha\sigma \upsilon \nu\beta}$ .
Ν' αποδειχθεί οτι για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{f(x)\le1}$

gavrilos · #2

Την τρίτη άσκηση την έχω βρει στο τεύχος 71 του Ευκλείδη Β' που εκδόθηκε το 2009.Δεν υπάρχει καμία αναφορά στο συγκεκριμένο διαγωνισμό.

parmenides51 · #3

gavrilos έγραψε:Την τρίτη άσκηση την έχω βρει στο τεύχος 71 του Ευκλείδη Β' που εκδόθηκε το 2009.Δεν υπάρχει καμία αναφορά στο συγκεκριμένο διαγωνισμό.

Ενδεχομένως όποιος τα πρότεινε να μην είχε υπόψιν του τα θέματα του συγκεκριμένου διαγωνισμού ή να μην το έκρινε άξιο αναφοράς. Τα θέματα που ανεβάζω των διαγωνισμών της ΕΜΕ προέρχονται από τα τεύχη του Ευκλείδη της εποχής του εκάστοτε διαγωνισμού.

#4

parmenides51 έγραψε:1. Να αποδειχθεί οτι αν για θετικούς αριθμούς $\displaystyle{x,y}$ έχουμε $\displaystyle{x-\sqrt{x}\le y-\frac{1}{4}\le x+\sqrt{x}}$ με $\displaystyle{\sqrt{x}\ge\frac{1}{2} }$ και $\displaystyle{y\ge\frac{1}{2} }$ ,
τότε θα έχουμε και $\displaystyle{y-\sqrt{y}\le x-\frac{1}{4}\le y+\sqrt{y}}$ .

$x-\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}\leq y\leq x+\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}$

$\left( \sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2\leq y\leq \left( \sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2$

$\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\leq \sqrt{y}\leq \sqrt{x}+\dfrac{1}{2}$

$\sqrt{x}\leq \sqrt{y}+\dfrac{1}{2}$ και $\sqrt{y}-\dfrac{1}{2}\leq \sqrt{x}$

$x\leq y+\sqrt{y}+\dfrac{1}{4}$ και $y-\sqrt{y}+\dfrac{1}{4}\leq x$

$y-\sqrt{y}\leq x-\dfrac{1}{4}\leq y+\sqrt{y}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 30, 2013 3:15 pm
2.Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ στο οποίο $\displaystyle{\widehat{A}=2\widehat{\Gamma}}$ κι έστω $\displaystyle{\Delta}$ το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμους της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ με την $\displaystyle{B\Gamma}$ .
α) Να καθοριστεί το διάστημα μεταβολής της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ .
β) Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\gamma^2= \alpha (B\Delta)}$ και $\displaystyle{\beta\gamma= \alpha^2-\gamma^2}$ (όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τα μέτρα των πλευρών του τριγώνου)

Πρόκειται για μάλλον απλό θέμα που έχει απασχολήσει κάποιους στο mathematica...

α) $\hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma }=180^{0}\Rightarrow 2\hat{\Gamma }+\hat{B}+\hat{\Gamma }=180^{0}\Rightarrow \hat{B}=180^{0}-3\hat{\Gamma }$

Αφού όμως ισχύει ότι $0^{0}< \hat{B}< 180^{0}$ μπορεί εύκολα να γραφεί ότι

$0^{0}< 180^{0}-3\hat{\Gamma }< 180^{0}$

και έτσι προκύπτει ότι $0^{0}< \hat{\Gamma}< 60^{0}$

β) Από την ομοιότητα των τριγώνων $BA\Delta ,B\Gamma A$ προκύπτει αμέσως ότι $\displaystyle\frac{BA}{B\Gamma }=\frac{B\Delta }{BA}$ και έτσι $\displaystyle{\gamma^2= \alpha (B\Delta)}$

Από την ίδια ομοιότητα προκύπτει επίσης ότι $\displaystyle\frac{A\Delta }{\Gamma A }=\frac{B A}{B\Gamma}\Rightarrow a\cdot A\Delta =\beta \cdot \gamma$

To τρίγωνο $\Delta A\Gamma$ είναι ισοσκελές με $A\Delta=\Delta\Gamma$ αφού $\displaystyle\Delta \hat{A}\Gamma =\Delta \hat{\Gamma} A=\frac{\hat{A}}{2}$

Συνεπώς $a^{2}-\gamma ^{2}=a^{2}-a\cdot B\Delta =a\cdot \left ( a-B\Delta \right )=a\cdot \Delta \Gamma =a\cdot A\Delta =\beta \cdot \gamma$

: 1976-1977.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 1338 φορές

Chagi · #6

Καλησπέρα, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής σχετικά με το θέμα

.
Αν έχουμε την παράσταση $\sin^2(a)sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ , τότε είναι λάθος να θέσω $\sin^2(a)=\sin(\phi)$ και $\cos^2(a)=\cos(\phi)$ και να δημιουργήσω συνάρτηση έστω $g(\phi)=\sin^2(b)\sin(\phi)+\cos^2(b)\cos(\phi) , \phi \in [0,\frac{\pi} {2}]$ ;
Σας ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Chagi έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 03, 2018 12:23 pm
Καλησπέρα, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής σχετικά με το θέμα .
Αν έχουμε την παράσταση $\sin^2(a)sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ , τότε είναι λάθος να θέσω $\sin^2(a)=\sin(\phi)$ και $\cos^2(a)=\cos(\phi)$ και να δημιουργήσω συνάρτηση έστω $g(\phi)=\sin^2(b)\sin(\phi)+\cos^2(b)\cos(\phi) , \phi \in [0,\frac{\pi} {2}]$ ;
Σας ευχαριστώ.

Φυσικά και είναι λάθος.

Γιατί τότε θα ήταν $\sin^4(a)+\cos^4(a)=\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)=1$

Αλλά από την $\sin^4(a)+\cos^4(a)=1$ εύκολα προκύπτει ότι $\sin^2(a)=0$ η $\cos^2(a)=0$

που φυσικά μπορεί να μην ισχύει.

Chagi · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 03, 2018 2:19 pm

Chagi έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 03, 2018 12:23 pm
Καλησπέρα, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής σχετικά με το θέμα .
Αν έχουμε την παράσταση $\sin^2(a)sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ , τότε είναι λάθος να θέσω $\sin^2(a)=\sin(\phi)$ και $\cos^2(a)=\cos(\phi)$ και να δημιουργήσω συνάρτηση έστω $g(\phi)=\sin^2(b)\sin(\phi)+\cos^2(b)\cos(\phi) , \phi \in [0,\frac{\pi} {2}]$ ;
Σας ευχαριστώ.
Φυσικά και είναι λάθος.

Γιατί τότε θα ήταν $\sin^4(a)+\cos^4(a)=\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)=1$

Αλλά από την $\sin^4(a)+\cos^4(a)=1$ εύκολα προκύπτει ότι $\sin^2(a)=0$ η $\cos^2(a)=0$

που φυσικά μπορεί να μην ισχύει.

Σωστά έχετε δίκαιο δεν το πρόσεξα. Σας ευχαριστώ πολύ.

Chagi · #9

Θέμα

Για τη συνάρτηση $f(x)=\kappa\sin (x)+\lambda\cos(x)$ ισχύει ότι : $f(x)\leq\sqrt{\kappa^2+\lambda^2}$ για κάθε

Όμως $\kappa^2+\lambda^2=\sin^2(a)\sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ σχέση (1)

Ακόμα ισχύει ότι:

$\cos^2(a-b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)+2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos(b)$ σχέση (2)

$\cos^2(a+b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)-2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos(b)$ σχέση (3)

$\sin^2(a+b)=\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a) +2\sin(a)\cos(b)\sin(b)\cos(a)$ σχέση (4)

$\sin^2(a-b)=\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a) -2\sin(a)\cos(b)\sin(b)\cos(a)$ σχέση (5)

Προσθέτοντας τις (2),(3),(4),(5)

κατά μέλη έχουμε:

$2=2[\cos^2(a)cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)] + 2[\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a)] \Rightarrow$

$\kappa^2+\lambda^2=1-[\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a)]\leq1$

Επομένως $\sqrt{\kappa^2+\lambda^2}\leq1$ και συνεπώς $f(x)\leq1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Chagi έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 03, 2018 4:38 pm
Θέμα

Για τη συνάρτηση $f(x)=\kappa\sin (x)+\lambda\cos(x)$ ισχύει ότι : $f(x)\leq\sqrt{\kappa^2+\lambda^2}$ για κάθε

Όμως $\kappa^2+\lambda^2=\sin^2(a)\sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ σχέση

Ακόμα ισχύει ότι:

$\cos^2(a-b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)+2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos(b)$ σχέση

$\cos^2(a+b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)-2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos(b)$ σχέση

$\sin^2(a+b)=\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a) +2\sin(a)\cos(b)\sin(b)\cos(a)$ σχέση

$\sin^2(a-b)=\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a) -2\sin(a)\cos(b)\sin(b)\cos(a)$ σχέση

Προσθέτοντας τις κατά μέλη έχουμε:

$2=2[\cos^2(a)cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)] + 2[\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a)] \Rightarrow$

$\kappa^2+\lambda^2=1-[\sin^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(b)\cos^2(a)]\leq1$

Επομένως $\sqrt{\kappa^2+\lambda^2}\leq1$ και συνεπώς $f(x)\leq1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

με $\leq$ δεν είναι λάθος .

#11

Καλησπέρα σε όλους.

Μια ακόμα λύση. Το τελείωμα μοιάζει με αυτό του Σταύρου.

Έστω $\displaystyle \vec u = \left( {\kappa ,\;\lambda } \right),\;\;\vec v = \left( {\eta \mu x,\;\sigma \upsilon \nu x} \right),\;\;x \in R$ , οπότε $\displaystyle \vec u \cdot \vec v = f\left( x \right)$ .

Είναι $\displaystyle \left| {\vec u} \right| = \sqrt {{\kappa ^2} + {\lambda ^2}} ,\;\;\left| {\vec v} \right| = 1$ άρα $\displaystyle f\left( x \right) = \vec u \cdot \vec v = \sqrt {{\kappa ^2} + {\lambda ^2}} \sigma \upsilon \nu \varphi$ όπου $\displaystyle \varphi$ η γωνία των δύο διανυσμάτων. Αφού $\displaystyle - 1 \le \sigma \upsilon \nu \varphi \le 1$ , θα είναι $\displaystyle f\left( x \right) \le \sqrt {{\kappa ^2} + {\lambda ^2}}$ .

Είναι $\displaystyle {\kappa ^2} + {\lambda ^2} = {\left( {\eta \mu \alpha \cdot \eta \mu \beta } \right)^2} + {\left( {\sigma \upsilon \nu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \beta } \right)^2} \le \left| {\eta \mu \alpha \cdot \eta \mu \beta } \right| + \left| {\sigma \upsilon \nu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \beta } \right|$ .

Αν $\displaystyle \eta \mu \alpha \eta \mu \beta ,\;\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta$ ομόσημοι, τότε $\displaystyle {\kappa ^2} + {\lambda ^2} \le \left| {\sigma \upsilon \nu \left( {\alpha - \beta } \right)} \right| \le 1$

Αν $\displaystyle \eta \mu \alpha \eta \mu \beta ,\;\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta$ ετερόσημοι, τότε $\displaystyle {\kappa ^2} + {\lambda ^2} \le \sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \beta } \right) \le 1$ .

Αν κάποιος από τα $\displaystyle \eta \mu \alpha ,\eta \mu \beta ,\sigma \upsilon \nu \alpha ,\sigma \upsilon \nu \beta$ είναι

, προφανώς ισχύει η ανισότητα.

Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση