Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

parmenides51: Δημοσιεύσεις: 6239; Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm; Τοποθεσία: Πεύκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία parmenides51

Ιστοσελίδα

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 Ε' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 14, 2014 4:27 pm

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle 2x_2=x_1+\frac{2}{x_1} \\ \displaystyle 2x_3=x_2+\frac{2}{x_2} \\ ... \\ \displaystyle 2x_{\nu}=x_{\nu-1}+\frac{2}{x_{\nu-1}} \\ \displaystyle 2x_1=x_{\nu}+\frac{2}{x_{\nu}} \ \end{cases}}$ όπου οι $\displaystyle{x_1,x_2,...,x_{\nu}}$ είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός.

2. Θεωρούμε ευθύγραμμα τμήμα $\displaystyle{B\Gamma}$ , μήκους $\displaystyle{\alpha}$ και ημιευθεία $\displaystyle{Ox}$ , από το μέσον $\displaystyle{O}$ του $\displaystyle{B\Gamma}$ , που σχηματίζει με την $\displaystyle{O\Gamma}$ γωνία $\displaystyle{\omega}$ με $\displaystyle{\left( 0< \omega<\frac{\pi}{2}\right)}$ .
i) Να ορισθούν τα σημεία της $\displaystyle{Ox}$ , για τα οποία ισχύει $\displaystyle{\frac{A\Gamma}{AB}=\lambda}$ (1) (με $\displaystyle{0<\lambda<1}$ ). Διερεύνηση.
ii) Ας είναι $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{A_1}$ τα σημεία της $\displaystyle{ Ox }$ που πληρούν την προηγούμενη σχέση (1).
Θεωρούμε τους κύκλους $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(\Lambda)}$ τους περιγεγραμμένους στα τρίγωνα $\displaystyle{AA_1B}$ και $\displaystyle{AA_1\Gamma}$ αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha^2=4(OA)(OA_1)}$ και
να ορισθούν οι τόποι των κέντρων $\displaystyle{K }$ και $\displaystyle{\Lambda}$ , όταν ο λόγος $\displaystyle{ \lambda}$ μένει σταθερός, ενώ η γωνία $\displaystyle{\omega}$ μεταβάλλεται.
iii) Αν ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{B\Gamma}$ τέμνει τέμνει πάλι τον κύκλο $\displaystyle{(K)}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ και τον κύκλο $\displaystyle{(\Lambda)}$ στο $\displaystyle{Z}$ ,
να αποδειχθεί οτι οι ευθείες $\displaystyle{B\Delta}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ τέμνονται πάνω στην $\displaystyle{Ox}$ .

3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{z^3-9z-9=0}$ (1).
Να θέσετε $\displaystyle{z=x\sqrt3}$ και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει.
Να συμπεράνετε μετά οτι η (1) έχει δυο αρνητικές ρίζες, έστω τις $\displaystyle{ p_1,p_2}$ ( $\displaystyle{p_1<p_2 }$ )
και να αποδείξετε οτι ισχύει $\displaystyle{p_1+7=(p_2-1)^2}$

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες