Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
1. Να λυθεί το σύστημα όπου και φυσικός αριθμός.
2. Δίνεται επίπεδο , μια ευθεία του και ένα σημείο εκτός του επιπέδου με απόσταση του από αυτό .
Έστω η απόσταση του σημείου από την ευθεία .
Από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος φέρνουμε την παράλληλο προς την ευθεία και έστω τυχαίο σημείο της.
Ζητείται να υπολογισθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών και .
3. ΝΑ βρεθούν όλα τα ζεύγη που επαληθεύουν την εξίσωση .
2. Δίνεται επίπεδο , μια ευθεία του και ένα σημείο εκτός του επιπέδου με απόσταση του από αυτό .
Έστω η απόσταση του σημείου από την ευθεία .
Από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος φέρνουμε την παράλληλο προς την ευθεία και έστω τυχαίο σημείο της.
Ζητείται να υπολογισθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών και .
3. ΝΑ βρεθούν όλα τα ζεύγη που επαληθεύουν την εξίσωση .
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
1) Ονομάζω (1) και (2)
Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (1),(2) έχω : (3) .
Με διαίρεση κατά μέλη των (1) , (2) έχω (4)
Η (3) λόγω της (4) γίνεται : με για κάθε . Οπότε και επειδή έχω .
Οπότε η (4) δίνει
Έγινε μια διόρθωση στον παρονομαστή στην τελευταία γραμμή.
Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (1),(2) έχω : (3) .
Με διαίρεση κατά μέλη των (1) , (2) έχω (4)
Η (3) λόγω της (4) γίνεται : με για κάθε . Οπότε και επειδή έχω .
Οπότε η (4) δίνει
Έγινε μια διόρθωση στον παρονομαστή στην τελευταία γραμμή.
τελευταία επεξεργασία από Θεοδωρος Παγωνης σε Κυρ Ιουν 15, 2014 9:42 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Παρ Φεβ 09, 2024 10:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται επίπεδο , μια ευθεία του και ένα σημείο εκτός του επιπέδου με απόσταση του από αυτό .
Έστω η απόσταση του σημείου από την ευθεία .
Από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος φέρνουμε την παράλληλο προς την ευθεία και έστω τυχαίο σημείο της.
Ζητείται να υπολογισθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών και .
Στο σχήμα αυτό έχουμε το επίπεδο , την ευθεία πάνω σ' αυτό και ένα σημείο εκτός αυτού.
Η απόσταση του σημείου από το επίπεδο είναι:
Ακόμα η απόσταση του από την είναι
Στη συνέχεια θεωρούμε την ευθεία πάνω στο η οποία είναι παράλληλη προς την και
διέρχεται από το μέσο της και τέλος πάνω σ' αυτήν ένα τυχαίο σημείο .
Προφανώς η τέμνει την σε ένα σημείο έστω το για το οποίο ισχύει:
.
Είναι γνωστό ότι η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα από τις ασύμβατες ευθείες και είναι η κοινή κάθετος αυτών.
Η κοινή κάθετος κατασκευάζεται κατά τα γνωστά.
Από το σημείο της φέρουμε κάθετη προς το επίπεδο που ορίζεται από την και την . Το επίπεδο αυτό
προφανώς είναι παράλληλο προς την γιατί
Παρατηρούμε ακόμα ότι το ανήκει και το επίπεδο που ορίζεται από τις το
το οποίο είναι κάθετο στην και στην (Θεώρημα τριών καθέτων).
Επομένως η κάθετη που ζητάμε είναι η κάθετη από το προς την , δηλαδή η .
(Διότι η κάθετη στην καθώς και κάθετη στην , παράλληλη προς την )
Στο σχήμα βλέπουμε τελικά ότι η τελική θέση της κοινής αυτής καθέτου είναι η
Υπολογισμός της κοινής αυτής καθέτου
Το τετράπλευρο προφανώς είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς:
και επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή τελικά θα είναι:
η οποία είναι η ζητούμενη ελάχιστη απόστση των ευθειών .
Κώστας Δόρτσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Καλημέρα Ορέστη . Το σύστημα επαληθεύεται και για άλλες τιμές των π.χ. .orestisgotsis έγραψε:Για κάθε το σύστημα έχει λύση την
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Παρ Φεβ 09, 2024 10:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
orestisgotsis έγραψε:Καλημέρα κ. Παγώνη.Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Καλημέρα Ορέστη . Το σύστημα επαληθεύεται και για άλλες τιμές των π.χ. .orestisgotsis έγραψε:Για κάθε το σύστημα έχει λύση την
Εκείνο που δεν καταλαβαίνω είναι το εξής:
(α) Ζητάει να βρούμε ώστε για κάθε να αληθεύει το σύστημα;
Ή
(β) Να βρούμε , ώστε για κάποια να αληθεύει το σύστημα;
Καλησπέρα Ορέστη. Εμένα η άσκηση μου άφησε να καταλάβω , ότι ζητάει το (β) από αυτά που αναφέρεις. Σε κάθε περίπτωση , επειδή μπορεί να κάνω και λάθος , ο κύριος Παρμενίδης ή κάποιος άλλος θα μπορούσε να το διευκρινίσει .
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
την εποχή εκείνη με την παραπάνω διατύπωση ζητούσαν να λυθούν παραμετρικες ασκήσεις,parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα όπου και φυσικός αριθμός.
αντί να γράφουν ''για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού'' τότε έγραφαν ''όπου '' ''φυσικός αριθμός''
-
- Δημοσιεύσεις: 311
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες