Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Δεκ 12, 2015 12:16 am

1. Σε μια μακρόστενη ταινία είναι γραμμένα τα ψηφία 201520152015… Ο Βασίλης έκοψε με το ψαλίδι δύο κομμάτια από αυτήν και σχημάτισε με αυτά ένα φυσικό αριθμό που διαιρείτε με το 45. Φέρτε παραδείγματα τέτοιων κομματιών καθώς και τον σχηματιζόμενο αριθμό.

2. Γεμίστε ένα τετράγωνο διαστάσεων 6 \times 6 με φιγούρες του παιχνιδιού τέτρις (βλέπε σχήμα) έτσι, ώστε να χρησιμοποιηθούν όλων των ειδών οι φιγούρες. (Τις φιγούρες μπορούμε να τις περιστρέψουμε και προς τη μία και προς την άλλη κατεύθυνση).
vmo_2015_2016_7_2.png
vmo_2015_2016_7_2.png (3.94 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

3. Το πρωί ο γιος έφαγε το 40% της τούρτας και η κόρη 150 γραμμάρια. Το μεσημέρι ο πατέρας έφαγε το 30% από αυτό που έμεινε και άλλα 120 γραμμάρια και η μητέρα τα εναπομείναντα 90 γραμμάρια. Πόσο ζύγιζε η τούρτα αρχικά;


4. Με μία κίνηση μπορούμε να εναλλάξουμε την θέση είτε δυο γραμμών είτε δυο στηλών ενός τετραγωνικού πίνακα. Είναι δυνατόν με κάποιο αριθμό τέτοιων κινήσεων από το σκιαγραφημένο σχήμα που απεικονίζεται στα αριστερά να προκύψει το σχήμα στα δεξία;
vm0_2015_2016_7_4.png
vm0_2015_2016_7_4.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

5. Στο πίνακα είναι γραμμένοι 7 περιττοί αριθμοί. Η Μαρία υπολόγισε τον μέσο όρο τους και η Δανάη τους έβαλε σε αύξουσα σειρά και διάλεξε το μεσαίο αριθμό. Αν από τον αριθμό της Μαρίας αφαιρέσουμε τον αριθμό της Δανάης προκύπτει ο αριθμός \dfrac{3}{7}. Άφησε άραγε κάποια από αυτές λάθος;
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Σεπ 29, 2016 1:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Δεκ 12, 2015 1:03 am

Al.Koutsouridis έγραψε: 4. Με μία κίνηση μπορούμε να εναλλάξουμε την θέση είτε δυο γραμμών είτε δυο στηλών ενός τετραγωνικού πίνακα. Είναι δυνατόν με κάποιο αριθμό τέτοιων κινήσεων από το σκιαγραφημένο σχήμα που απεικονίζεται στα αριστερά να προκύψει το σχήμα στα δεξία;
vm0_2015_2016_7_4.png
Ας υποθέσουμε ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό. Παρατηρούμε ότι η τρίτη στήλη του αριστερού πίνακα περιέχει μόνο μαύρα τετράγωνα και όποια αντιμετάθεση κι αν γίνει, θα υπάρχει πάντοτε μία στήλη που θα περιέχει μόνο μαύρα τετράγωνα, άτοπο διότι στον δεξί πίνακα δεν υπάρχει τέτοια στήλη.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Δεκ 12, 2015 1:19 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Στο πίνακα είναι γραμμένοι 7 περιττοί αριθμοί. Η Μαρία υπολόγισε τον μέσο όρο τους και η Δανάη τους έβαλε σε αύξουσα σειρά και διάλεξε το μεσαίο αριθμό. Αν από τον αριθμό της Μαρίας αφαιρέσουμε τον αριθμό της Δανάης προκύπτει ο αριθμός \dfrac{3}{7}. Άφησε άραγε κάποια από αυτές λάθος;
Το άθροισμα επτά περιττών είναι περιττός αριθμός, έστω 2n+1 και ο μεσαίος επίσης περιττός, έστω 2k+1

οπότε \dfrac{2n+1}{7}-(2k+1)=\dfrac{2}{7}(n-3-7k)=\dfrac{2m}{7}, (m=0, \pm 1, \pm 2,...) Άρα δεν μπορεί να προκύψει αποτέλεσμα \dfrac{3}{7}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 12, 2015 1:14 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: 3. Το πρωί ο γιος έφαγε το 40% της τούρτας και η κόρη 150 γραμμάρια. Το μεσημέρι ο πατέρας έφαγε το 30% από αυτό που έμεινε και άλλα 120 γραμμάρια και η μητέρα τα εναπομείναντα 90 γραμμάρια. Πόσο ζύγιζε η τούρτα αρχικά;
Έστω x τα γραμμάρια της τούρτας. Στο πρωινό φαγοπότι καταναλώθηκαν: \displaystyle{\frac{2}{5}x + 150} γραμμάρια.
Απέμειναν λοιπόν \displaystyle{\frac{3}{5}x - 150} γραμμάρια.

Στο απογευματινό φαγοπότι τελείωσε η τούρτα. Επομένως έχουμε:

\displaystyle{x = \frac{{2x}}{5} + 150 + \left( {\frac{{3x}}{5} - 150} \right) \cdot \frac{3}{{10}} + 120 + 90 \Leftrightarrow 50x = 20x + 9x + 315 \cdot 50 \Leftrightarrow }

\displaystyle{21x = 15750 \Leftrightarrow } \boxed{x = 750 gr}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015-2016 (ΙΙ Φάση 7η τά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Δεκ 12, 2015 3:45 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:1. Σε μια μακρόστενη ταινία είναι γραμμένα τα ψηφία 201520152015… Ο Βασίλης έκοψε με το ψαλίδι δύο κομμάτια από αυτήν και σχημάτισε με αυτά ένα φυσικό αριθμό που διαιρείτε με το 45. Φέρτε παραδείγματα τέτοιων κομματιών καθώς και τον σχηματιζόμενο αριθμό.
Επειδή ο αριθμός που θα σχηματίσουμε με τα δύο κομμάτια πρέπει να διαιρείται με το 45,\ 45=5\cdot9, αρκεί να κόψουμε ένα κομμάτι που το τελευταίο ψηφίο θα είναι 0 ή 5 και να το βάλουμε στο τέλος του προς σχηματισμό αριθμού και ένα δεύτερο κομμάτι, που το άθροισμα των ψηφίων του μαζί με το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού του πρώτου κομματιού να ισούται με 9 ή 18 και να το βάλουμε μπροστά. Π.χ 15 και το 201 που μας δίνουν τον αριθμό \boxed{20115\equiv 0 mod 45} ή το τελευταίο 2015 και το αρχικό 20152 που μας δίνουν τον \boxed{201522015\equiv 0 mod 45} ή το 20 και το 52 που μας δίνουν τον \boxed{5220 \equiv 0 mod 45} κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες