Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Ιαν 23, 2016 7:30 pm

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες \displaystyle{\left(a, b, c\right)} θετικών ακεραίων, που ικανοποιούν τις ισότητες:

\displaystyle{\begin{cases} 
a^3-b^3-c^3=3abc\\ 
a^2=2\left(a+b+c\right) 
\end{cases}}

Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC}} με \displaystyle{\angle{B}=2\cdot\angle{C}}. Από το σημείο \displaystyle{A} φέρουμε κάθετη προς την \displaystyle{BC}, η οποία τέμνει την \displaystyle{BC} στο σημείο \displaystyle{D}. Πάνω στην προέκταση της \displaystyle{AB} προς το \displaystyle{B} παίρνουμε σημείο \displaystyle{E} τέτοιο, ώστε \displaystyle{BE=BD}. Φέρουμε την ευθεία \displaystyle{ED}, η οποία τέμνει την \displaystyle{AC} στο σημείο \displaystyle{M}. Οι κάθετες από τα σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{C} προς την ευθεία \displaystyle{ED} τέμνουν την \displaystyle{ED} στα σημεία \displaystyle{K} και \displaystyle{L}, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

(α) το τετράπλευρο \displaystyle{ALCK} είναι παραλληλόγραμμο

(β) \displaystyle{\angle{BAD}=\angle{KLM}}

Πρόβλημα 3

Έστω \displaystyle{N} θετικός ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{N^3} μπορεί να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων δύο θετικών ακέραιων αριθμών.

Πρόβλημα 4

Για έναν τετραψήφιο αριθμό ισχύουν τα παρακάτω:

(α) Κάθε ψηφίο του είναι ένα από τα ψηφία \displaystyle{1, 2, 3} και \displaystyle{4}.

(β) Κάθε δύο συνεχόμενα ψηφία του είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(γ) Το ψηφίο των χιλιάδων και το ψηφίο των μονάδων είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(δ) Το ψηφίο των χιλιάδων δεν είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε άλλο ψηφίο.

Να βρείτε πόσοι τέτοιοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν.


Σωτήρης Λοϊζιάς
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιαν 23, 2016 9:18 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 3

Έστω \displaystyle{N} θετικός ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{N^3} μπορεί να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων δύο θετικών ακέραιων αριθμών.
viewtopic.php?p=96502#p96502
(και το επόμενο ποστ)


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3912
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Ιαν 23, 2016 9:44 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες \displaystyle{\left(a, b, c\right)} θετικών ακεραίων, που ικανοποιούν τις ισότητες:

\displaystyle{\begin{cases} 
a^3-b^3-c^3=3abc\\ 
a^2=2\left(a+b+c\right) 
\end{cases}}
Η πρώτη εξίσωση γίνεται a^3+(-b)^3+(-c)^3=3a(-b)(-c) άρα από την ταυτότητα του Euler παίρνουμε a+(-b)+(-c)=0 (δε γίνεται να ισχύει a=-b=-c γιατί οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι).

Άρα a=b+c οπότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται a^2=4a άρα a=4 κι έτσι b+c=4, άρα τελικά οι λύσεις είναι (a,b,c)=(4,1,3), (4,3,1), (4,2,2).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιαν 23, 2016 9:59 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 4

Για έναν τετραψήφιο αριθμό ισχύουν τα παρακάτω:

(α) Κάθε ψηφίο του είναι ένα από τα ψηφία \displaystyle{1, 2, 3} και \displaystyle{4}.

(β) Κάθε δύο συνεχόμενα ψηφία του είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(γ) Το ψηφίο των χιλιάδων και το ψηφίο των μονάδων είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(δ) Το ψηφίο των χιλιάδων δεν είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε άλλο ψηφίο.

Να βρείτε πόσοι τέτοιοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν.

Υπάρχουν 28 τέτοιοι αριθμοί.
Έστω ΧΕΔΜ ο αριθμός.
Αν Χ=4 τότε, από το (δ), Ε=Δ=Μ=4, άτοπο, από το (γ).
Αν Χ=3 τότε καθένα από τα Ε,Δ,Μ είναι 3 ή 4. Από το (γ), το Μ=4 οπότε από το (β) είναι Ε=4 και Δ=3.
Αν Χ=2 τότε καθένα από τα Ε,Δ,Μ είναι 2 ή 3 ή 4. Αν δε λάβουμε υπόψιν το (γ), τότε λόγω του (β) έχουμε 2χ2χ2=8 αριθμούς. Από αυτούς πρέπει να εξαιρέσουμε όσους δεν υπακούν στο (γ). Αυτοί είναι της μορφής 2ΕΔ2. Το Ε επιλέγεται με 2 τρόπους (είναι 3 ή 4) και τότε το Δ μπορεί να πάρει μόνο μια τιμή (4 ή 3) αντίστοιχα.
Αν Χ=1 τότε καθένα από τα Ε,Δ,Μ είναι 1 ή 2 ή 3 ή 4. Αν δε λάβουμε υπόψιν το (γ), τότε λόγω του (β) έχουμε 3χ3χ3=27 αριθμούς. Από αυτούς πρέπει να εξαιρέσουμε όσους δεν υπακούν στο (γ). Αυτοί είναι της μορφής 1ΕΔ1. Το Ε επιλέγεται με 3 τρόπους (είναι 2 ή 3 ή 4) και τότε το Δ μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές.

Σύνολο, 1+6+21=28 αριθμοί.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 24, 2016 2:23 am

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 2


Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC}} με \displaystyle{\angle{B}=2\cdot\angle{C}}. Από το σημείο \displaystyle{A} φέρουμε κάθετη προς την \displaystyle{BC}, η οποία τέμνει την \displaystyle{BC} στο σημείο \displaystyle{D}. Πάνω στην προέκταση της \displaystyle{AB} προς το \displaystyle{B} παίρνουμε σημείο \displaystyle{E} τέτοιο, ώστε \displaystyle{BE=BD}. Φέρουμε την ευθεία \displaystyle{ED}, η οποία τέμνει την \displaystyle{AC} στο σημείο \displaystyle{M}. Οι κάθετες από τα σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{C} προς την ευθεία \displaystyle{ED} τέμνουν την \displaystyle{ED} στα σημεία \displaystyle{K} και \displaystyle{L}, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

(α) το τετράπλευρο \displaystyle{ALCK} είναι παραλληλόγραμμο

(β) \displaystyle{\angle{BAD}=\angle{KLM}}
Διαγωνισμός επιλογής 2016.png
Διαγωνισμός επιλογής 2016.png (14.52 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
α) Επειδή BD=BE και \hat{B}=2\hat{C}, όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, άρα DM=MC και αφού \hat{ADC}=90^0, το M θα είναι μέσο της AC, οπότε εύκολα προκύπτει ότι AK//=LC και το ALCK είναι παραλληλόγραμμο.

β) \displaystyle{B\widehat AD = {90^0} - \widehat B = {90^0} - \widehat C - \widehat C = D\widehat AM - \widehat C = D\widehat AM - D\widehat AK = K\widehat AM}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες