Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξη)
Πρώτη Μέρα
1. Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από φορές;
Διόρθωση: Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από ;
2. Σε μια σειρά από 2009 βαρίδια (σταθμά) το βάρος του καθενός είναι ακέραιος αριθμός γραμμαρίων και δεν υπερβαίνει το 1 χιλιόγραμμο. Το βάρος δυο οποιοδήποτε γειτονικών βαριδιών διαφέρει ακριβώς κατά ένα γραμμάριο και το συνολικό βάρος τους είναι άρτιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι τα βαρίδια μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δυο ομάδες με ίσο συνολικό βάρος.
3. Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές και αντίστοιχα, προς την ευθεία . Από το σημείο φέρουμε την παράλληλη ως προς την ευθεία που τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι ορθή.
4. Ονομάζουμε την τριάδα φυσικών αριθμών τετραγωνική αν αποτελούν αριθμητική πρόοδο (ακριβώς με αυτή την σειρά), ο αριθμός είναι σχετικά πρώτος με τους και , και ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τετραγωνική τριάδα θα βρεθεί μια άλλη τετραγωνική τριάδα που έχει τουλάχιστον ένα κοινό αριθμό με την πρώτη.
Δεύτερη μέρα
5. Οι γωνίες τριγώνου ικανοποιούν τις ανισότητες , , . Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.
6. Η βάση τετραγωνικής πυραμίδας είναι το παραλληλόγραμμο . Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο της πυραμίδας το άθροισμα των όγκων των τετραέδρων και ισούται με το άθροισμα των όγκων των και .
7. Οι ακέραιοι αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε η τιμή των τριωνύμων και για να συμπίπτει. Μπορεί το πρώτο τριώνυμο για να πάρει την τιμή 2009;
8. Στα κελιά τετραγώνου τοποθετήθηκαν οι αριθμοί , από μια φορά ο καθένας. Οι αριθμοί που διαφέρουν κατά ένα τοποθετήθηκαν σε γειτονικά (κατά πλευρά) κελιά. Μετά την τοποθέτηση μετρήθηκε η απόσταση μεταξύ των κέντρων κάθε δυο κελιών που η διαφορά των αντίστοιχων αριθμών που τοποθετήθηκαν σε αυτά είναι 5000. Έστω η ελάχιστη από αυτές τις αποστάσεις. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ;
1. Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από φορές;
Διόρθωση: Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από ;
2. Σε μια σειρά από 2009 βαρίδια (σταθμά) το βάρος του καθενός είναι ακέραιος αριθμός γραμμαρίων και δεν υπερβαίνει το 1 χιλιόγραμμο. Το βάρος δυο οποιοδήποτε γειτονικών βαριδιών διαφέρει ακριβώς κατά ένα γραμμάριο και το συνολικό βάρος τους είναι άρτιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι τα βαρίδια μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δυο ομάδες με ίσο συνολικό βάρος.
3. Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές και αντίστοιχα, προς την ευθεία . Από το σημείο φέρουμε την παράλληλη ως προς την ευθεία που τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι ορθή.
4. Ονομάζουμε την τριάδα φυσικών αριθμών τετραγωνική αν αποτελούν αριθμητική πρόοδο (ακριβώς με αυτή την σειρά), ο αριθμός είναι σχετικά πρώτος με τους και , και ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τετραγωνική τριάδα θα βρεθεί μια άλλη τετραγωνική τριάδα που έχει τουλάχιστον ένα κοινό αριθμό με την πρώτη.
Δεύτερη μέρα
5. Οι γωνίες τριγώνου ικανοποιούν τις ανισότητες , , . Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.
6. Η βάση τετραγωνικής πυραμίδας είναι το παραλληλόγραμμο . Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο της πυραμίδας το άθροισμα των όγκων των τετραέδρων και ισούται με το άθροισμα των όγκων των και .
7. Οι ακέραιοι αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε η τιμή των τριωνύμων και για να συμπίπτει. Μπορεί το πρώτο τριώνυμο για να πάρει την τιμή 2009;
8. Στα κελιά τετραγώνου τοποθετήθηκαν οι αριθμοί , από μια φορά ο καθένας. Οι αριθμοί που διαφέρουν κατά ένα τοποθετήθηκαν σε γειτονικά (κατά πλευρά) κελιά. Μετά την τοποθέτηση μετρήθηκε η απόσταση μεταξύ των κέντρων κάθε δυο κελιών που η διαφορά των αντίστοιχων αριθμών που τοποθετήθηκαν σε αυτά είναι 5000. Έστω η ελάχιστη από αυτές τις αποστάσεις. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ;
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Σεπ 29, 2016 1:15 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Καλημέρα.Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα
3. Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές και αντίστοιχα, προς την ευθεία . Από το σημείο φέρουμε την παράλληλη ως προς την ευθεία που τέμνει την στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι ορθή.
Επειδή το είναι εγγεγραμμένο και , όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, έστω . Άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε . Αρκεί να δείξω λοιπόν ότι .
Αλλά το είναι εγγράψιμο και κατά συνέπεια θα είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Μια προσπάθεια για αυτήν την ωραία άσκηση.7. Οι ακέραιοι αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε η τιμή των τριωνύμων και για x=1234 να συμπίπτει. Μπορεί το πρώτο τριώνυμο για x=1 να πάρει την τιμή 2009;
Έστω .Θεωρούμε το πολυώνυμο . Προφανώς και επειδή δίνεται είναι οπότε αυτοί οι δυο αρίθμοί είναι οι ρίζες του τριωνύμου.Όμως και με πράξεις προκύπτει ότι η (αυτή με το ) άρα (1)
Θέλουμε όμως και να ισχύει που σε συνδυασμό με την (1) δίνει άτοπο.
Το μόνο σημείο που πιθανόν να έχουμε πρόβλημα είναι όταν το δεν είναι δευτεροβάθμιο.Τότε όμως δε μπορεί να είναι ούτε πρωτοβάθμιο ούτε μη μηδενικό σταθερό γιατί έχουμε ήδη βρει 2 ρίζες για αυτό άρα θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο οπότε .Κι πάλι όμως ,άτοπο.
Άρα το δε μπορεί για χ=1 να πάρει την τιμή 2009.
Σημαντήρης Γιάννης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Μπορεί!!! Αρκεί να δείξω ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο , ώστε:Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα
1. Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από φορές;
Πράγματι,
Από αυτή την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν άπειρα ορθογώνια τρίγωνα που ικανοποιούν τις υποθέσεις της άσκησης.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Έστω ότι το τρίγωνο δεν είναι οξυγώνιο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτω ότι . Τότε:Al.Koutsouridis έγραψε: 5. Οι γωνίες τριγώνου ικανοποιούν τις ανισότητες , , . Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.
, που είναι άτοπο
από την υπόθεση. Άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Καλησπέρα κ.Γιώργο,george visvikis έγραψε:Μπορεί!!! Αρκεί να δείξω ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο , ώστε:Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα
1. Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από φορές;
Πράγματι,
Από αυτή την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν άπειρα ορθογώνια τρίγωνα που ικανοποιούν τις υποθέσεις της άσκησης.
Πολυ σωστά αλλά έκανα λάθος στην μετάφραση το παρατήρησα τώρα, το σωστό πρόβλημα που τέθηκε είναι:
Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από .
Θα το διορθώσω και στην αρχική ανάρτηση.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Καλησπέρα Αλέξανδρε.
Στο θέμα 4 της πρώτης ημέρας ισχύει ότι ο είναι πρώτος ως προς τους η μήπως οι είναι ανα πρώτοι μεταξύ τους ;
Στο θέμα 4 της πρώτης ημέρας ισχύει ότι ο είναι πρώτος ως προς τους η μήπως οι είναι ανα πρώτοι μεταξύ τους ;
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Έστω οι κάθετες πλευρές του αρχικού τριγώνου, η υποτείνουσα και η νέα υποτείνουσα. Αν ισχύει ο προς εξέταση ισχυρισμός τότε:Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη Μέρα
1. Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από φορές;
Διόρθωση: Κάθε κάθετος ορθογωνίου τριγώνου αυξάνεται κατά ένα. Μπορεί η υποτείνουσά του να αυξηθεί περισσότερο από ;
Πράγμα που είναι άτοπο, άρα η υποτείνουσα δεν μπορεί ποτέ να αυξηθεί περισσότερο από
(Σε όσες περιπτώσεις ύψωσα στο τετράγωνο, οι παραστάσεις ήταν θετικές)
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Καλησπέρα Δημήτρη,Αρχιμήδης 6 έγραψε:Καλησπέρα Αλέξανδρε.
Στο θέμα 4 της πρώτης ημέρας ισχύει ότι ο είναι πρώτος ως προς τους η μήπως οι είναι ανα πρώτοι μεταξύ τους ;
Το πρώτο, αλλά δεν έκανα καλή διατύπωση η αυτολεξή μετάφραση πιστεύω είναι:
Ονομάζουμε την τριάδα φυσικών αριθμών {a,b,c} τετραγωνική αν αποτελούν αριθμητική πρόοδο (ακριβώς με αυτή την σειρά), ο αριθμός b είναι σχετικά πρώτος με καθέναν από τους a και c, και ο αριθμός abc είναι τέλειο τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τετραγωνική τριάδα θα βρεθεί μια άλλη τετραγωνική τριάδα που έχει τουλάχιστον ένα κοινό αριθμό με την πρώτη.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Ο.κ...
Μέρα πρώτη
Άσκηση 4
Σύμφωνα με τα δεδομένα θα έχουν μια από τις παρακάτω μορφές.
1) που θα έχω την
και θα έχω την
Μέρα πρώτη
Άσκηση 4
Σύμφωνα με τα δεδομένα θα έχουν μια από τις παρακάτω μορφές.
1) που θα έχω την
και θα έχω την
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Να πω και την γνώμη μου για την 4η άσκηση της πρώτης μέρας οτι όσο απλή μοιάζει η απόδειξη άλλο τόσο σύνθετη είναι.
Ένα καλό παράδειγμα με αρκετή φαντασία βοηθάει.
Τι σκέφτηκα ...
Διαλέγω την αρχική πυθαγόρεια τριάδα και την προσαρμόζω κατάλληλα για αριθμhτική πρόοδο άρα αφού
θα διαλέξω την
και θα δω ότι έχω την και θα δω την σχέση , και βγάζω τα συμπεράσματα ...
Ένα καλό παράδειγμα με αρκετή φαντασία βοηθάει.
Τι σκέφτηκα ...
Διαλέγω την αρχική πυθαγόρεια τριάδα και την προσαρμόζω κατάλληλα για αριθμhτική πρόοδο άρα αφού
θα διαλέξω την
και θα δω ότι έχω την και θα δω την σχέση , και βγάζω τα συμπεράσματα ...
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 11η τάξ
Αφού κάθε δυο γειτονικά βαρίδια διαφέρουν ακριβώς κατά 1 γραμμάριο, είτε όλα τα βαρίδια στις περιττές θέσεις έχουν περιττό βάρος και αυτά στις άρτιες έχουν άρτιο βάρος, είτε συμβαίνει το ανάποδο. Όμως το συνολικό άθροισμα των βαρών είναι άρτιο. Αφού έχουμε περιττό αριθμό βαριδίων στις περιττές θέσεις πρέπει το βάρος τους να είναι άρτιο.Al.Koutsouridis έγραψε:
2. Σε μια σειρά από 2009 βαρίδια (σταθμά) το βάρος του καθενός είναι ακέραιος αριθμός γραμμαρίων και δεν υπερβαίνει το 1 χιλιόγραμμο. Το βάρος δυο οποιοδήποτε γειτονικών βαριδιών διαφέρει ακριβώς κατά ένα γραμμάριο και το συνολικό βάρος τους είναι άρτιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι τα βαρίδια μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δυο ομάδες με ίσο συνολικό βάρος.
Βάζω το βαρίδι 2009 στην πρώτη ομάδα. Έχει βάρος για . Ακολούθως χωρίζω τα υπόλοιπα βαρίδια σε ζεύγη. Τα κ.τ.λ. Σε κάθε ζεύγος η διαφορά των βαρών είναι . Από αυτά τα ζεύγη επιλέγω και βάζω το πιο βαρύ βαρίδι στην πρώτη ομάδα και το πιο ελαφρύ στην δεύτερη. Για τα υπόλοιπα ζεύγη κάνω το ανάποδο. (Μπορώ να το κάνω αφού .)
Το άθροισμα των βαρών τώρα στις δύο ομάδες είναι ίσο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης