Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

XLII Πανρωσική Σχολική Μαθηματική Ολυμπιάδα

III Φάση (5-6 Φεβρουαρίου 2016) Θέματα 9ης τάξης για την περιφέρεια Μόσχας

Πρώτη μέρα

1. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα $f_{1}(x), f_{2}(x), …, f_{100}(x)$ με ίδιο συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου x^2

, ίδιο συντελεστή του πρωτοβάθμιου όρου

αλλά διαφορετικό σταθερό όρο. Το καθένα από αυτά έχει δυο ρίζες. Για κάθε τριώνυμο $f_{i}(x)$ διαλέγουμε μία ρίζα και την συμβολίζουμε με $x_{i}$ . Ποιές τιμές μπορεί να πάρει το άθροισμα

$f_{2}(x_{1})+f_{3}(x_{2})+…+f_{100}(x_{99})+f_{1}(x_{100})$ ;

2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

,

. Στο περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ του τριγώνου ABC

φέρουμε διάμετρο CC{'}

. Ευθεία, παράλλη της

που διέρχεται από το C{'}

, τέμνει τα τμήματα

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το

είναι το μέσο του τμήματος C{'}P

.

3. Ο Πέτρος διάλεξε κάποιους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς και έγραψε τον καθένα τους είτε με κόκκινο μολύβι είτε με μπλε(και τα δυο χρώματα είναι παρόντα). Μπορεί το άθροισμα του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου όλων τον κόκκινων αριθμών και του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου όλων των μπλε αριθμών να είναι δύναμη του δυο;

4. Ο βασιλιάς Ιέρων έχει 11 μεταλλικές ράβδους, που δε διαφέρουν μεταξύ τους οπτικά. Ο βασιλιάς γνωρίζει ότι με κάποια σειρά οι ράβδοι ζυγίζουν 1,2,…,11 κιλά. Επίσης έχει ένα σάκο που σκίζεται αν περιέχει περισσότερα από 11 κιλά. Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα βάρη των ράβδων και θέλει να αποδείξει στον Ιέρωνα, ότι η πρώτη ράβδος είναι του ενός κιλού. Σε ένα βήμα μπορεί να φορτώσει το σάκο με κάμποσες ράβδους και να επιδείξει στον Ιέρωνα ότι ο σάκος δεν σκίστηκε (δεν επιτρέπεται να σκίσει το σάκο). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός φορτώσεων του σάκου που χρειάζεται ο Αρχιμήδης για να επιτύχει το ζητούμενο;

Δεύτερη μέρα

5. Μια τάξη έχει 23 μαθητές. Κατά την διάρκεια του έτους κάθε μαθητής της τάξης από μια φορά γιόρτασε τα γενέθλιά του, στα οποία παρευρέθηκαν κάποιοι συμμαθητές του (τουλάχιστον ένας αλλά όχι όλοι). Μπορεί να προκύψει, ότι κάθε δυο μαθητές αυτής της τάξης συναντήθηκαν στις παραπάνω γιορτές τον ίδιο αριθμό φορές; (θεωρούμε ότι σε κάθε γιορτή συναντήθηκαν οποιοιδήποτε δυο καλεσμένοι καθώς και ο εορτάζων με όλους τους καλεσμένους)

6. Θα ονομάζουμε το μη κενό σύνολο

(πεπερασμένου ή απειρου πλήθους στοιχείων), που αποτελείται από φυσικούς αριθμούς, πλήρες, αν για οποιουσδήποτε δυο φυσικούς

και

(όχι απαραίτητα διαφορετικούς και όχι απαραίτητα να ανήκουν στο

) τέτοιους ώστε ο a+b

να ανήκει στο

, τότε και ο

ανήκει στο

. Βρείτε όλα τα πλήρη σύνολα φυσικών αριθμών.

7. Σε έναν άσπρο πίνακα διαστάσεων $2016 \times 2016$ κάποια από τα κελιά χρωματίζονται μαύρα. Θα ονομάζουμε ένα φυσικό αριθμό

«καλό», αν $k \leq 2016$ και σε καθένα από τα τετράγωνα διαστάσεων $k \times k$ κελιών βρίσκονται ακριβώς

χρωματισμένα κελιά (για παράδειγμα, αν όλα τα κελιά χρωματιστούν μαύρα τότε καλός θα είναι μόνο ο αριθμό 1). Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος αριθμών που μπορεί να είναι καλοί;

8. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD

με $\angle DAB = 90^0$ . Έστω

το μέσο της πλευράς

. Αν $\angle ADC = \angle BAM$ να αποδείξετε ότι $\angle ADB = \angle CAM$

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: 1. Δίνονται τα δευτεροβάθμια τριώνυμα $f_{1}(x), f_{2}(x), …, f_{100}(x)$ με ίδιο συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου , ίδιο συντελεστή του πρωτοβάθμιου όρου αλλά διαφορετικό σταθερό όρο. Το καθένα από αυτά έχει δυο ρίζες. Για κάθε τριώνυμο $f_{i}(x)$ διαλέγουμε μία ρίζα και την συμβολίζουμε με $x_{i}$ . Ποιές τιμές μπορεί να πάρει το άθροισμα

$f_{2}(x_{1})+f_{3}(x_{2})+…+f_{100}(x_{99})+f_{1}(x_{100})$ ;

Έστω ότι $\displaystyle{{f_i}\left( x \right) = a{x^2} + bx + {c_i}}$ για $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,100} \right\}.}$

Παρατηρούμε ότι για κάθε $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,99} \right\}}$ είναι

$\displaystyle{{f_{i + 1}}\left( {{x_i}} \right) = ax_i^2 + b{x_i} + {c_{i + 1}} = ax_i^2 + b{x_i} + {c_i} + {c_{i + 1}} - {c_i} = {f_i}\left( {{x_i}} \right) + {c_{i + 1}} - {c_i} = {c_{i + 1}} - {c_i}}$

και

$\displaystyle{{f_{1}}\left( {{x_{100}}} \right) = ax_{100}^2 + b{x_{100}} + {c_{1}} = {c_1} - {c_{100}}.}$

Άρα, το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$\displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^{99} {{f_{i + 1}}\left( {{x_i}} \right)} + {f_{1}}\left( {{x_{100}}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{99} {\left( {{c_{i + 1}} - {c_i}} \right)} + {c_1} - {c_{100}} = {c_{100}} - {c_1} + {c_1} - {c_{100}} = 0}$ .

John N. · #3

Γεια σας. Ή το

ο πρόβλημα είναι εξαιρετικά εύκολο ή δεν κατάλαβα καλά. Λοιπόν, δεδομένου ότι σε ένα σύννολο διαδοχικών αριθμών συγκαταλέγονται πάντα και περιττοί, δεν υπάρχει περίπτωση το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους να είναι δύναμη του

. Όμως αν σαν δύναμη του δύο συμπεριλάβουμε το

στην μηδενική τότε η δοθείσα πρόταση είναι ορθή.

Al.Koutsouridis · #4

John N. έγραψε:Γεια σας. Ή το ο πρόβλημα είναι εξαιρετικά εύκολο ή δεν κατάλαβα καλά. Λοιπόν, δεδομένου ότι σε ένα σύννολο διαδοχικών αριθμών συγκαταλέγονται πάντα και περιττοί, δεν υπάρχει περίπτωση το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους να είναι δύναμη του . Όμως αν σαν δύναμη του δύο συμπεριλάβουμε το στην μηδενική τότε η δοθείσα πρόταση είναι ορθή.

Έχεις δίκιο άφησα λάθος στην διατύπωση

. Διορθώθηκε στην αρχική ανάρτηση.

John N. · #5

Τότε, η δοθείσα πρόταση είναι πάλι ορθή. Μία περίπτωση στην οποία αληθεύει είναι η εξής:
Οι μπλε αριθμοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους, το ίδιο και οι κόκκινοι & υπάρχουν περισσότεροι από ένας αριθμός σε κάθε σύνολο κόκκινων ή μπλε αριθμών. Οπότε το άθροισμα των LHS

τους θα είναι ίσο με

. Παράδειγμα:

,

. Κόκκινοι:

,

Μπλε:

,

.

#6

John N. έγραψε:Τότε, η δοθείσα πρόταση είναι πάλι ορθή. Μία περίπτωση στην οποία αληθεύει είναι η εξής:
Οι μπλε αριθμοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους, το ίδιο και οι κόκκινοι & υπάρχουν περισσότεροι από ένας αριθμός σε κάθε σύνολο κόκκινων ή μπλε αριθμών. Οπότε το άθροισμα των τους θα είναι ίσο με . Παράδειγμα: ,,,,. Κόκκινοι:,, Μπλε:,

Γιάννη, καλωσόρισες στο

Εδώ μάλλον πήρες τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες αντί τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

John N. · #7

Θα ήθελα να ρωτήσω τι επιπέδου είναι αυτές οι ασκήσεις.

John N. · #8

Demetres έγραψε:
John N. έγραψε:Τότε, η δοθείσα πρόταση είναι πάλι ορθή. Μία περίπτωση στην οποία αληθεύει είναι η εξής:
Οι μπλε αριθμοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους, το ίδιο και οι κόκκινοι & υπάρχουν περισσότεροι από ένας αριθμός σε κάθε σύνολο κόκκινων ή μπλε αριθμών. Οπότε το άθροισμα των τους θα είναι ίσο με . Παράδειγμα: ,,,,. Κόκκινοι:,, Μπλε:,
Γιάννη, καλωσόρισες στο

Εδώ μάλλον πήρες τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες αντί τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Σωστά , με συγχωρείτε.

ealexiou · #9

Al.Koutsouridis έγραψε:XLII Πανρωσική Σχολική Μαθηματική Ολυμπιάδα

III Φάση (5-6 Φεβρουαρίου 2016) Θέματα 9ης τάξης για την περιφέρεια Μόσχας

Πρώτη μέρα

2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , . Στο περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ του τριγώνου φέρουμε διάμετρο . Ευθεία, παράλληλη της που διέρχεται από το , τέμνει τα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

: Πανρωσική Ολυμπιάδα 2016 Πρ. 2.png (18.44 KiB) Προβλήθηκε 1999 φορές

Είναι προφανώς $C'A\bot AC$ και επειδή $BD\bot AC$ , το τετράπλευρο AC'BD

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα $MB=MD\Rightarrow OK$ μεσοκάθετος στο C'A

και

και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

S.E.Louridas · #10

Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με $\angle DAB = 90^0$ . Έστω το μέσο της πλευράς . Αν $\angle ADC = \angle BAM$ να αποδείξετε ότι $\angle ADB = \angle CAM$

Απλά παραθέτω σε πρώτη φάση το σχήμα της λύσης του 8ου θέματος, ώστε να ασχοληθούν οι ενδιαφερόμενοι και θα επανέλθω αν δεν λυθεί σε εύλογο χρόνο.

Al.Koutsouridis · #11

John N. έγραψε:Θα ήθελα να ρωτήσω τι επιπέδου είναι αυτές οι ασκήσεις.

Η τρίτη φάση αντιστοιχεί περίπου στο δικό μας "Ευκλείδη", η 9η τάξη αντιστοιχεί στην Γ' Γυμνασίου με Α' Λυκείου στο πρόγραμμα σπουδών και ηλικιακά. Μερικές φορές όμως κάποια απο τα θέματα (3ο ή 4ο κάποιας μέρας) συνήθως είναι πιο δύσκολα από τα άλλα και θα έλεγα ότι αντιστοιχούν στον "Αρχιμήδη" των μικρών. Αυτά έχω παρατηρήσει πάνω κάτω. Κάποιος ποιό έμπειρος ίσως μας δώσει καλύτερη εκτίμηση της δυσκολίας.

John N. · #12

Νομίζω η δοθείσα πρόταση στο

ο πρόβλημα δεν μπορεί να ισχύσει σε καμία περίπτωση.

ealexiou · #13

Al.Koutsouridis έγραψε:XLII Πανρωσική Σχολική Μαθηματική Ολυμπιάδα

III Φάση (5-6 Φεβρουαρίου 2016) Θέματα 9ης τάξης για την περιφέρεια Μόσχας

Δεύτερη μέρα

8. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με $\angle DAB = 90^0$ . Έστω το μέσο της πλευράς . Αν $\angle ADC = \angle BAM$ να αποδείξετε ότι $\angle ADB = \angle CAM$

: Πανρωσική Ολυμπιάδα 2016 Πρ. 8.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 1961 φορές

Μετά την καταλυτική οδηγία του Σωτήρη, συνεχίζω τα υπόλοιπα και εύκολα....

Για την κατασκευή
Αφού $\angle BAM=\angle ADC\Rightarrow AM\bot CD$ οπότε γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου

και πάνω σε αυτό παίρνουμε σημείο

( $\angle AED=90°$ )
Προεκτείνουμε την

κατά ίσο τμήμα AB'

και από το σημείο

φέρουμε την $B'C\bot ED$ και ας είναι $M\equiv AE\cap BC$ , οπότε προφανώς BM=BC

(αφού

και

μέσον του

) και $\angle ADC\equiv \angle ADE=\angle BAE$ (υπό χορδής και εφαπτομένης και εγγεγραμμένη) $\equiv \angle BAM =\omega$
και στην συνέχεια για την απόδειξη του ζητούμενου.
Επειδή $\angle B'CD=\angle B'AD=90°\Rightarrow$ το τετράπλευρο B'ACD

εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου B'D

οπότε
$\angle ADB=\angle ADB'=\angle ACB'=\angle CAM =\varphi$ και το ζητούμενο εδείχθη (με την ...άνωθεν βοήθεια)

#14

Al.Koutsouridis έγραψε:
3. Ο Πέτρος διάλεξε κάποιους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς και έγραψε τον καθένα τους είτε με κόκκινο μολύβι είτε με μπλε(και τα δυο χρώματα είναι παρόντα). Μπορεί το άθροισμα του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου όλων τον κόκκινων αριθμών και του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου όλων των μπλε αριθμών να είναι δύναμη του δυο;

Η απάντηση είναι: Όχι.

Θεωρούμε τη μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί κάποιον από τους αριθμούς που έγραψε ο Πέτρος. Έστω ότι η δύναμη αυτή είναι $\displaystyle{{2^n},}$ με $\displaystyle{n \ge 1}$ (αφού ο Πέτρος έχει γράψει τουλάχιστον δύο αριθμούς, ένας από αυτούς θα είναι άρτιος).

Ισχυριζόμαστε ότι ακριβώς ένας από τους αριθμούς που έγραψε ο Πέτρος διαιρείται με τον $\displaystyle{{2^n}.}$ Πράγματι, αν $\displaystyle{a = {2^n}k}$ και $\displaystyle{b = {2^n}\ell ,}$ όπου $\displaystyle{k,\ell }$ περιττοί με $\displaystyle{k > \ell ,}$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{c = {2^n}\left( {\ell + 1} \right)}$ διαιρείται με τον $\displaystyle{{2^{n + 1}}}$ και είναι ανάμεσα σε αυτούς που έγραψε ο Πέτρος, αφού $\displaystyle{\ell < \ell + 1 < k \Rightarrow b < c < a.}$ Αυτό, όμως, είναι άτοπο, από την επιλογή του $\displaystyle{n.}$

Επομένως, το ΕΚΠ ακριβώς μιας από τις δύο ομάδες αριθμών (κόκκινοι ή μπλε) θα διαιρείται από τον $\displaystyle{{2^n}.}$ Αλλά τότε το άθροισμα του ΕΚΠ των κόκκινων και του ΕΚΠ των μπλε αριθμών δεν θα διαιρείται από τον $\displaystyle{{2^n},}$ άρα (αφού είναι μεγαλύτερο του $\displaystyle{{2^n}}$ ) δεν μπορεί να ισούται με δύναμη του

.

#15

Al.Koutsouridis έγραψε:
4. Ο βασιλιάς Ιέρων έχει 11 μεταλλικές ράβδους, που δε διαφέρουν μεταξύ τους οπτικά. Ο βασιλιάς γνωρίζει ότι με κάποια σειρά οι ράβδοι ζυγίζουν 1,2,…,11 κιλά. Επίσης έχει ένα σάκο που σκίζεται αν περιέχει περισσότερα από 11 κιλά. Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα βάρη των ράβδων και θέλει να αποδείξει στον Ιέρωνα, ότι η πρώτη ράβδος είναι του ενός κιλού. Σε ένα βήμα μπορεί να φορτώσει το σάκο με κάμποσες ράβδους και να επιδείξει στον Ιέρωνα ότι ο σάκος δεν σκίστηκε (δεν επιτρέπεται να σκίσει το σάκο). Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός φορτώσεων του σάκου που χρειάζεται ο Αρχιμήδης για να επιτύχει το ζητούμενο;

Είχα βρει τρόπο με τρεις ζυγίσεις ο οποίος νόμιζα ήταν και ο βέλτιστος. Στην προσπάθεια όμως να δείξω ότι δεν γίνεται με δύο ζυγίσεις τελικά βρήκα τρόπο και για δύο ζυγίσεις!

Στην πρώτη ζύγιση βάζουμε τις ράβδους A,B,C,D

με βάρη

αντίστοιχα. Ο σάκος δεν σκίζεται. (Φυσικά ο Ιέρωνας δεν γνωρίζει ακόμη τα κιλά των ράβδων.)
Στην δεύτερη βάζουμε τις ράβδους A,E,F

με βάρη

αντίστοιχα. Ο σάκος δεν σκίζεται.

Το συνολικό βάρος είναι το πολύ

αφού σε καμία περίπτωση ο σάκος δεν σκίστηκε.

Άρα $22 \geqslant 2A + B+C+D+E+F \geqslant A + (1+2+\cdots +6) = 21 + A$ .

Οπότε η ράβδος

έχει βάρος

και ο Ιέρωνας έχει πειστεί.

Είναι προφανές ότι με ένα ζύγισμα δεν μπορούμε να πείσουμε τον Ιέρωνα.

#16

Al.Koutsouridis έγραψε:
6. Θα ονομάζουμε το μη κενό σύνολο (πεπερασμένου ή απειρου πλήθους στοιχείων), που αποτελείται από φυσικούς αριθμούς, πλήρες, αν για οποιουσδήποτε δυο φυσικούς και (όχι απαραίτητα διαφορετικούς και όχι απαραίτητα να ανήκουν στο ) τέτοιους ώστε ο να ανήκει στο , τότε και ο ανήκει στο . Βρείτε όλα τα πλήρη σύνολα φυσικών αριθμών.

Παρατηρούμε ότι αν $m \geqslant 2$ με $m \in A$ , τότε και $m-1 \in A$ . (Παίρνοντας a = m-1,b=1

.)
Άρα το

πρέπει να είναι της μορφής $\{1,2,\ldots,n\}$ για κάποιο φυσικό

ή $A = \mathbb{N}$ .

Τώρα παρατηρούμε ότι αν $m \geqslant 5$ με $m \in A$ τότε και $m+1 \in A$ . Πράγματι παίρνοντας a=m-2,b=2

έχουμε $(2m - 4) \in A$ . Όμως $2m-4 \geqslant m+1$ άρα από την προηγούμενη παρατήρηση είναι και $m+1 \in A$ .

Μέχρι στιγμής έχουμε δείξει ότι το

πρέπει να είναι ένα από τα $\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\mathbb{N}$ . Παρατηρούμε ότι όλα ικανοποιούν την συνθήκη οπότε τελειώσαμε.

#17

Al.Koutsouridis έγραψε:
7. Σε έναν άσπρο πίνακα διαστάσεων $2016 \times 2016$ κάποια από τα κελιά χρωματίζονται μαύρα. Θα ονομάζουμε ένα φυσικό αριθμό «καλό», αν $k \leq 2016$ και σε καθένα από τα τετράγωνα διαστάσεων $k \times k$ κελιών βρίσκονται ακριβώς χρωματισμένα κελιά (για παράδειγμα, αν όλα τα κελιά χρωματιστούν μαύρα τότε καλός θα είναι μόνο ο αριθμό 1). Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος αριθμών που μπορεί να είναι καλοί;

Χρωματίζουμε όλα τα κελιά της 1009

ης γραμμής. Παρατηρούμε ότι για κάθε $k \geqslant 1009$ , κάθε $k \times k$ τετράγωνο περιέχει ακριβώς

τετράγωνα από την 1009

η γραμμή. Άρα κάθε $k \geqslant 1009$ είναι καλό και άρα έχουμε 1008

καλούς αριθμούς. Θα δείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερους καλούς αριθμούς.

Αρκεί να δείξω ότι αν $b \geqslant 2a$ τότε δεν μπορούν οι a,b

να είναι και οι δύο καλοί. Το ζητούμενο έπεται κοιτάζοντας τα σύνολα $\{1,1009\},\{2,1010\},\ldots,\{1008,2016\}$ κάθε ένα εκ των οποίων πρέπει να περιέχει το πολύ έναν καλό αριθμό.

Έστω λοιπόν ότι οι a,b

είναι και οι δύο καλοί με $b \geqslant 2a$ . Γράφουμε b = qa + r

με $0 \leqslant r < a$ . Παίρνουμε ένα $b \times b$ τετράγωνο. Αυτό το τετράγωνο έχει

μαύρα κελιά. Επίσης σε αυτό το τετράγωνο μπορούμε να βρούμε q^2

ξένα μεταξύ τους $a \times a$ τετράγωνα κάθε ένα εκ των οποίων έχει

μαύρα κελιά.

Άρα είναι $q^2 a \leqslant b = qa + r$ . Τότε όμως έχουμε

$\displaystyle{ a > r \geqslant (q^2-q)a \geqslant 2a,}$

άτοπο.

#18

Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Μια τάξη έχει 23 μαθητές. Κατά την διάρκεια του έτους κάθε μαθητής της τάξης από μια φορά γιόρτασε τα γενέθλιά του, στα οποία παρευρέθηκαν κάποιοι συμμαθητές του (τουλάχιστον ένας αλλά όχι όλοι). Μπορεί να προκύψει, ότι κάθε δυο μαθητές αυτής της τάξης συναντήθηκαν στις παραπάνω γιορτές τον ίδιο αριθμό φορές; (θεωρούμε ότι σε κάθε γιορτή συναντήθηκαν οποιοιδήποτε δυο καλεσμένοι καθώς και ο εορτάζων με όλους τους καλεσμένους)

Ναι. Ας τους ονομάσουμε $A_1,A_2,\ldots,A_{23}$ . Στα γενέθλια του A_i

πάνε όλοι εκτός από τον $A_{i+1}$ . (Όπου $A_{24} = A_1$ .) Τότε κάθε δύο άτομα συναντιόνται ακριβώς

φορές.

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (ΙΙΙΦ 9η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση