IMO 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

IMO 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Σάβ Ιούλ 09, 2016 8:33 pm

Ας δούμε εδώ τα θέματα σχετικά με την IMO 2016,τον κορυφαίο διαγωνισμό των μαθηματικών.
Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά της ελληνικής αποστολής!


Σημαντήρης Γιάννης
jason.prod
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm

Re: IMO 2016

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jason.prod » Δευ Ιούλ 11, 2016 10:24 am

Δίνω τα θέματα της πρώτης μέρας του διαγωνισμού. Ευχαριστώ το Ραφαήλ Τσιάμη που μου τα έστειλε.

Πρόβλημα 1
Έστω τρίγωνο BCF ορθογώνιο στο B. Επιλέγουμε σημείο A της ευθείας CF ώστε να ισχύει AF=BF και το F να βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος AC. Επίσης, θεωρούμε σημείο D ώστε AD=CD και η AC να είναι διχοτόμος της γωνίας DAB. Επίσης, διαλέγουμε σημείο E ώστε EA=ED και η AD να είναι διχοτόμος της EAC. Αν M είναι το μέσον της υποτείνουσας του τριγώνου BCF, και X σημείο τέτοιο ώστε το τετράπλευρο AMXE να είναι παραλληλόγραμμο με AM//EX, να αποδειχτεί ότι οι ευθείες BD,FX,ME συντρέχουν.

Πρόβλημα 2

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n, που είναι τέτοιοι ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν τα γράμματα Ι,Μ,Ο στον nXn πίνακα (ένα γράμμα σε κάθε κελί), ώστε να ισχύουν οι συνθήκες:
1) Σε κάθε γραμμή και στήλη του πίνακα να υπάρχει ίσος αριθμός από Ι,Μ,Ο.
2) Αν ο αριθμός των κελιών σε μία διαγώνιο είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε έχουμε ίσο αριθμό από Ι,Μ,Ο.

Σημείωση: Οι γραμμές και οι στήλες του πίνακα αριθμούνται με αριθμούς από το 1 ως το n κατά τη φυσική τους σειρά. Όταν n>1, ο πίνακας αυτός έχει συνολικά 4n-2 διαγωνίους, οι οποίες είναι δύο τύπων. Μια διαγώνιος του πρώτου τύπου αποτελείται από κελιά (i,j) για τα οποία το άθροισμα i+j είναι σταθερό, ενώ μια διαγώνιος του δεύτερου τύπου αποτελείται από κελιά (i,j) για τα οποία η διαφορά i-j είναι σταθερή.

Πρόβλημα 3

'Εστω p ένα κυρτό πολύγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε κύκλο και έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Έστω n ένας περιττός θετικός ακέραιος, ο οποίος δίνεται ότι διαιρεί τα τετράγωνα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου. Να αποδειχτεί ότι το διπλάσιο του εμβαδού του πολυγώνου είναι θετικός ακέραιος, και ότι διαιρείται από το n.

Edit: Διόρθωση λαθών σε εκφωνήσεις.

Καλή επιτυχία στις ομάδες Ελλάδας και Κύπρου!
τελευταία επεξεργασία από jason.prod σε Δευ Ιούλ 11, 2016 5:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMO 2016

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιούλ 11, 2016 12:04 pm

jasonmaths4ever έγραψε: Πρόβλημα 2

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n, που είναι τέτοιοι ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν τα γράμματα Ι,Μ,Ο στον nXn πίνακα (ένα γράμμα σε κάθε κελί), ώστε να ισχύουν οι συνθήκες:
1) Σε κάθε γραμμή και στήλη του πίνακα να υπάρχει ίσος αριθμός από Ι,Μ,Ο.
2) Αν ο αριθμός των κελιών σε μία διαγώνιο είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε έχουμε ίσο αριθμό από Ι,Μ,Ο.

Σημείωση: Οι γραμμές και οι στήλες του πίνακα αριθμούνται με αριθμούς από το 1 ως το n κατά τη φυσική τους σειρά. Όταν n>1, ο πίνακας αυτός έχει συνολικά 4n-2 διαγωνίους, οι οποίες είναι δύο τύπων. Μια διαγώνιος του πρώτου τύπου αποτελείται από κελιά (i,j) για τα οποία το άθροισμα i+j είναι σταθερό, ενώ μια διαγώνιος του δεύτερου τύπου αποτελείται από κελιά (i,j) για τα οποία η διαφορά i-j είναι σταθερή.
Καλό! Η απάντηση είναι όλα τα πολλαπλάσια του 9.

Είναι προφανές ότι 3|n. Μετράμε με πολλαπλότητα όλα τα κελιά που βρίσκονται στις σειρές της μορφής 0,1 \bmod 3, τις στήλες της μορφής 0,1 \mod 3, όλες τις διαγωνίους με πλήθος κελιών πολλαπλάσιο του 3, και αφαιρούμε τα κελιά που βρίσκονται στις στήλες/σειρές της μορφής 2 \bmod 3.

Παρατηρούμε ότι μετρήσαμε όλα τα κελιά της μορφής (a,b) με a \equiv 0,1\bmod n και b \equiv 0,1\bmod n από τρεις φορές το κάθε ένα. (Δεν μετρήθηκε κανένα άλλο κελί.) Άρα το πλήθος αυτών των κελιών (με πολλαπλότητα) είναι 4n^2/3. Σε αυτά τα κελιά υπάρχει ίσως αριθμός από I,M,O οπότε σε αυτά τα κελία υπάρχουν 4n^2/9 από κάθε ένα από τα I,M,O. Όμως κάθε ένα από αυτά είναι πολλαπλάσιο του 3 αφού κάθε κελί μετρήθηκε τρεις φορές (ή μηδέν). Άρα έχουμε 27|4n^2 και άρα 9|n.

Μένει τώρα να κάνουμε την κατασκευή. Για n = 9 παίρνω την πιο κάτω κατασκευή:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline I & I & I & M & M & M & O & O & O \\ \hline 
M & M & M & O & O & O & I & I & I\\ \hline 
O & O & O & I & I & I & M & M & M \\ \hline 
I & I & I & M & M & M & O & O & O \\ \hline 
M & M & M & O & O & O & I & I & I\\ \hline 
O & O & O & I & I & I & M & M & M \\ \hline 
I & I & I & M & M & M & O & O & O \\ \hline 
M & M & M & O & O & O & I & I & I\\ \hline 
O & O & O & I & I & I & M & M & M \\ \hline \end{tabular}

Για n = 9k ξεκινώ από ένα k \times k πίνακα και σε κάθε κελί του τοποθετώ την πιο πάνω κατασκευή. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι δουλεύει. (Επειδή κάθε διαγώνιος με πλήθος κελιών πολλαπλάσιου του 3 σπάζει σε κομμάτια από τις 9 \times 9 κατασκευές με κάθε ένα εκ των οποίων να έχει πλήθος κελιών πολλαπλάσιο του 3 και άρα ίσο πλήθος από I,M,O.)


simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: IMO 2016

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Δευ Ιούλ 11, 2016 2:20 pm

IMO 2016 PROBLEM 1.png
IMO 2016 PROBLEM 1.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 4337 φορές
Πρόβλημα 1

Ωραίο πρόβλημα με πολλές ιδιότητες, το θέμα είναι να του τις "πάρεις".Ελπίζω η λύση που έκανα να είναι πλήρης
Το A νομίζω πρέπει να είναι στην προέκταση της CF.
Είναι προφανές ότι (από ισοσκελή τρίγωνα και διχοτόμους) \angle ABF=\angle BAF=\angle CAD=\angle ACD=\angle DAE=\angle ADE=\varphi
Επειδή \angle CAD=\angle DAE\Rightarrow DE\parallel AM και AM\parallel EX άρα τα D,E,X συνευθειακά.
Προφανώς τα ισοσκελή με ίσες γωνίες βάσης τρίγωνα CAD,BAF είναι όμοια άρα \frac{AF}{AD}=\frac{BA}{CA} και επειδή \angle FAD=\angle FAB τα τρίγωνα FAD,ABC είναι επίσης όμοια άρα \angle AFD=\angle ABC.Όμως \angle AFD=\angle ACD+\angle FDC και \angle ABC=90+\angle ABF άρα \angle CFD=90^{\circ} οπότε BFDCεγγράψιμο άρα \angle FDA=\angle FCB=\angle FDB άρα FD διχοτόμος της \angle BDA άρα F έγκεντρο τριγώνου BAD.
Επιπλέον (αφού M μέσο υποτείνουσας ορθογωνίου FBC) εύκολα \angle BMF=2\angle BCF=\angle BDA άρα και το BMDA εγγράψιμο οπότε \angle BMD=\angle FAD=\varphi =\angle FBD άρα είναι \angle BMF=\angle BDA και \angle MBF=\angle BAD=2\varphi οπότε τα τρίγωνα BMF,BDA όμοια.(1)
Προφανώς τα ισοσκελή BFA,ADE όμοια άρα \frac{AE}{FE}=\frac{AD}{AC} οπότε εύκολα τα FAE,BDA όμοια άρα από (1) τα FAE,BMF όμοια άρα \angle BFM=\angle AFE άρα τα B,F,E συνευθειακά.
Τώρα εύκολα προκύπτει η ισότητα των πάνω τριγώνων άρα AE=BM=CM=MF άρα τα CMED και FAXD παραλληλόγραμμα (γιατί?)
Εύκολα με κυνήγι γωνιών τώρα \angle FME=\angle MFX=\varphi άρα το MFEX προκύπτει ισοσκελές τραπέζιο.
Έστω τώρα ότι οι ME,XF τέμνονται στο S.Τότε \angle MSF+\angle FBM=180-2\varphi +2\varphi =180^{\circ} άρα το SMBF εγγράψιμο.Τότε όμως αφού \angle SBF=\angle FMS=\varphi =\angle FBD τα B,D,S συνευθειακά και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Σημ.Στο κυνηγι των γωνιών μπορεί να βοηθήσει και το εγγράψιμο BDAE που προκύπτει από το θεώρημα του Νοτόυ Πόλου στο τρίγωνο BDA.
έντιτ:προσθήκη σχήματος
τελευταία επεξεργασία από simantiris j. σε Δευ Ιούλ 11, 2016 8:25 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σημαντήρης Γιάννης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMO 2016

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Ιούλ 11, 2016 2:49 pm

jasonmaths4ever έγραψε: Πρόβλημα 3

'Εστω p ένα κυρτό πολύγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε κύκλο και έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Έστω n ένας περιττός θετικός ακέραιος, ο οποίος δίνεται ότι διαιρεί τα τετράγωνα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του πολυγώνου είναι θετικός ακέραιος, και ότι το διπλάσιό του (αριθμητικά) διαιρείται από το n.
Εδώ υποθέτω λείπει η πληροφορία ότι το κέντρο του κύκλου είναι το (0,0). Φυσικά δεν έχουν όλα τα τρίγωνα με ακέραιες συντεταγμένες κορυφών ακέραιο εμβαδόν (μπορεί να θεωρηθεί n=1).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2016

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιούλ 11, 2016 2:55 pm

Καλά αποτελέσματα στην ομάδα της Ελλάδας και των Αδελφών Κυπρίων. Καλή επάνοδο με μετάλλια και προοπτική.
Επιτρέψτε μου ένα σχόλιο:
jasonmaths4ever έγραψε: Πρόβλημα 1
Έστω τρίγωνο BCF ορθογώνιο στο B. Επιλέγουμε σημείο A της ευθείας CF ώστε να ισχύει AF=BF. Επίσης, θεωρούμε σημείο D ώστε AD=CD και η AC να είναι διχοτόμος της γωνίας DAB. Επίσης, διαλέγουμε σημείο E ώστε EA=ED και η AD να είναι διχοτόμος της EAC. Αν M είναι το μέσον της υποτείνουσας του τριγώνου BCF, και X σημείο τέτοιο ώστε το τετράπλευρο AMXE να είναι παραλληλόγραμμο με AM//EX, να αποδειχτεί ότι οι ευθείες BD,FX,ME συντρέχουν.
Το πρόβλημα αυτό ήθελε πάνω από όλα μεγάλη οπτική ικανότητα με τις τόσες πολλές γραμμές που έχει άμα τη εμφανίσει στην εκφώνηση (θεωρούμε και ξαναθεωρούμε και πάλι θεωρούμε, μάλλον ο κατασκευαστής εκμεταλεύτηκε full τις δυνατότητες του geogebra). Κατά τα άλλα είναι σίγουρα ένα καλό γεωμετρικό πρόβλημα εκκίνησης. Βέβαια αν είδα καλά και σύμφωνα με την παραπάνω μετάφραση θα πρέπει να διακριθούν για τη θέση του A δύο περιπτώσεις, γιατί μιλάει για ευθεία FC και όχι πλευρά FC.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Δευ Ιούλ 11, 2016 4:21 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: IMO 2016

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Ιούλ 11, 2016 3:04 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Αρκεί να δείξουμε τα εξής:

(a) Τα σημεία E, D, M, B ανήκουν σε κύκλο \omega_1 κέντρου O_1.
(β) Τα σημεία E, F, M, X ανήκουν σε κύκλο \omega_2 κέντρου O_2.
(γ) Τα σημεία F,D,X,B ανήκουν σε κύκλο \omega_3 με κέντρο όχι στην O_1O_2.

Τότε οι χορδές FX και BD του \omega_3 θα τέμνονται στην κοινή χορδή EM των κύκλων \omega_1 και \omega_2.

(Δείτε, π.χ., Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, pp. 26-28, MAA 2016.)

Πράγματι:

(γ) Παρατηρούμε ότι αν H είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του AC με την AB , τότε AHCD είναι ρόμβος. Επιπλέον, \angle HBF=\angle HAF=\angle FCB=\angle FCH, κι άρα F, H, B, C ομοκυκλικά. Ανήκουν λοιπόν στον κύκλο κέντρου M, και διαμέτρου FC ( aφού \angle FBC=90^{\circ}). Άρα MF=MH=MC=MB

Αφού AC μεσοκάθετος του HD έπεται MD=MH=MC, κι άρα το D ανήκει στον ίδιο κύκλο.

Συγκρίνοντας τα ισοσκελή τρίγωνα AED και HMC βλέπουμε ότι είναι ίσα (αφού AD=HC και \angle EAD=\angle MHC.) Συνεπώς, MH=AE=MX, κι άρα το X ανήκει στον ίδιο κύκλο.

(β) Το EDMF είναι ρόμβος (από την κατασκευή) .Άρα ED//FM//EX. Συνεπώς, E,D,X συνευθειακά και EF=FM=MX. Άρα το ισοσκελές τραπέζιο EFMX είναι εγγράψιμο σε κύκλο \omega_2 κέντρου O_2.

(a) Ομοίως με το (α), το ισοσκελές τραπέζιο AEDM ίναι εγγράψιμο σε κύκλο \omega_1 κέντρου O_1.

Αλλά και το ADMB είναι εγγράψιμο σε κύκλο (angle chasing) κι άρα στον \omega_1. Συνεπώς, τα σημεία E, D, M, B ανήκουν στον κύκλο \omega_1, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
imo_2016_1..png
imo_2016_1..png (31.42 KiB) Προβλήθηκε 4276 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: IMO 2016

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 11, 2016 4:12 pm

S.E.Louridas έγραψε: ...Βέβαια αν είδα καλά και σύμφωνα με την παραπάνω μετάφραση θα πρέπει να διακριθούν για τη θέση του A δύο περιπτώσεις, γιατί μιλάει για ευθεία BC και όχι πλευρά BC.
Γεια χαρά!

Στο αγγλικό κείμενο αναφέρεται ότι το F βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία A, C.


jason.prod
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm

Re: IMO 2016

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jason.prod » Δευ Ιούλ 11, 2016 5:00 pm

george visvikis έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε: ...Βέβαια αν είδα καλά και σύμφωνα με την παραπάνω μετάφραση θα πρέπει να διακριθούν για τη θέση του A δύο περιπτώσεις, γιατί μιλάει για ευθεία BC και όχι πλευρά BC.
Γεια χαρά!

Στο αγγλικό κείμενο αναφέρεται ότι το F βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία A, C.
Έχετε δίκιο, παράλειψή μου. Συγγνώμη για την ταλαιπωρία.


Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMO 2016

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Ιούλ 11, 2016 5:20 pm

dement έγραψε:
jasonmaths4ever έγραψε: Πρόβλημα 3

'Εστω p ένα κυρτό πολύγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε κύκλο και έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Έστω n ένας περιττός θετικός ακέραιος, ο οποίος δίνεται ότι διαιρεί τα τετράγωνα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του πολυγώνου είναι θετικός ακέραιος, και ότι το διπλάσιό του (αριθμητικά) διαιρείται από το n.
Εδώ υποθέτω λείπει η πληροφορία ότι το κέντρο του κύκλου είναι το (0,0). Φυσικά δεν έχουν όλα τα τρίγωνα με ακέραιες συντεταγμένες κορυφών ακέραιο εμβαδόν (μπορεί να θεωρηθεί n=1).
Έκανα λάθος, το κέντρο του κύκλου δεν είναι το (0,0), πολύ απλά το πρώτο από τα δύο ερωτήματα (εμβαδόν θετικός ακέραιος) δεν υπάρχει στο αγγλικό.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2016

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιούλ 11, 2016 6:43 pm

Για το πρόβλημα 1.
jasonmaths4ever έγραψε: Πρόβλημα 1
Έστω τρίγωνο BCF ορθογώνιο στο B. Επιλέγουμε σημείο A της ευθείας CF ώστε να ισχύει AF=BF και το F να βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος AC. Επίσης, θεωρούμε σημείο D ώστε AD=CD και η AC να είναι διχοτόμος της γωνίας DAB. Επίσης, διαλέγουμε σημείο E ώστε EA=ED και η AD να είναι διχοτόμος της EAC. Αν M είναι το μέσον της υποτείνουσας του τριγώνου BCF, και X σημείο τέτοιο ώστε το τετράπλευρο AMXE να είναι παραλληλόγραμμο με AM//EX, να αποδειχτεί ότι οι ευθείες BD,FX,ME συντρέχουν.
Ο λύτης λοιπόν που θα σκεφτεί να κατασκευάσει το σχήμα του προβλήματος ακολουθώντας με κανόνα και διαβήτη τα βήματα της εκφώνησης αντί να χρησιμοποιήσει την γνωστή φράση "έστω ότι είναι ..." , θα οδηγηθεί στο ΜΟΝΑΔΙΚΟ σχήμα που ακολουθεί με βάση τα επιτάγματα της εκφώνησης τοποθετώντας τα επίμαχα σημεία A,D, ... εκεί που ακριβώς υπάρχουν στο σχήμα κάτω.
Μετά ταύτα η απόδειξη είναι σχεδόν άμεση.



(*) Η παραπάνω διαδικασία επίλυσης είναι η σκέψη που έκανα για να οδηγηθώ στο σχόλιο που ήδη έχω κάνει στη προηγούμενη παρέμβαση μου. Αν λοιπόν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος λόγω ταχύτητας, τότε βλέπουμε την αξία της αποδεικτικής διαδικασίας λόγω του μονοσήμαντου μίας ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ. Θα δούμε βέβαια και την λύση του εισηγητή του προβλήματος για την πρόθεση του να οδηγήσει σε "κατασκευαστική απόδειξη".
Συνημμένα
IMO.png
IMO.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 3950 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3987
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: IMO 2016

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Ιούλ 12, 2016 9:56 am

Βάζω και τα υπόλοιπα 3 προβλήματα του διαγωνισμού.

Πρόβλημα 4. Ενα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται εύοσμο, αν αυτό περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία και καθένα από τα στοιχεία του έχει έναν κοινό πρώτο παράγοντα με ένα τουλάχιστον από τα υπόλοιπα στοιχεία του. Έστω P(n) = n^2 + n + 1. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακεραίου b έτσι ώστε να υπάρχει ένας μη αρνητικός ακέραιος a για τον οποίο το σύνολο \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)} είναι εύοσμο;

Πρόβλημα 5. Η εξίσωση (x − 1)(x − 2)\cdots (x − 2016) = (x − 1)(x − 2)\cdots (x − 2016) γράφεται στον πίνακα, με 2016 γραμμικούς παράγοντες σε κάθε μέλος της. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του k για την οποία είναι δυνατόν να σβήσουμε ακριβώς k από τους 4032 γραμμικούς παράγοντες των δύο μελών της εξίσωσης έτσι ώστε ένας τουλάχιστον παράγοντας να μείνει σε κάθε μέλος και η εξίσωση που προκύπτει να μην έχει πραγματικές λύσεις;

Πρόβλημα 6. Δίνονται n \geq 2 ευθύγραμμα τμήματα στο επίπεδο έται ώστε κάθε δύο από αυτά τέμνονται σε ένα εσωτερικό τους σημείο και δεν υπάρχουν τρία από αυτά που να περνούν από το ίδιο σημείο. Ο Τζέφ πρέπει να διαλέξει ένα άκρο από κάθε ευθύγραμμο τμήμα και να τοποθετήσει ένα βάτραχο σε αυτό, που να κοιτάζει προς το άλλο άκρο του τμήματος. Ύστερα αυτός θα κάνει n − 1 χειροκροτήματα. Σε κάθε χειροκρότημα, κάθε βάτραχος πηδά αμέσως προς το επόμενο σημείο τομής του ευθυγράμμου τμήματός του. Οι βάτραχοι ποτέ δεν αλλάζουν την κατεύθυνση των πηδημάτων τους. Ο Τζέφ θέλει να τοποθετήσει τους βατράχους κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μην συμβεί ποτέ να βρεθούν δύο από αυτούς στο ίδιο σημείο τομής την ίδια χρονική στιγμή.
(α) Να αποδείξετε ότι ο Τζέφ μπορεί πάντοτε να πραγματοποιήσει την επιθυμία του, όταν ο αριθμός n είναι περιττός.
(β) Να αποδείξετε ότι ο Τζέφ δεν μπορεί ποτέ να πραγματοποιήσει την επιθυμία του, όταν ο n είναι άρτιος.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMO 2016

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιούλ 12, 2016 10:58 am

cretanman έγραψε:Βάζω και τα υπόλοιπα 3 προβλήματα του διαγωνισμού.

Πρόβλημα 4. Ενα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται εύοσμο, αν αυτό περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία και καθένα από τα στοιχεία του έχει έναν κοινό πρώτο παράγοντα με ένα τουλάχιστον από τα υπόλοιπα στοιχεία του. Έστω P(n) = n^2 + n + 1. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακεραίου b έτσι ώστε να υπάρχει ένας μη αρνητικός ακέραιος a για τον οποίο το σύνολο \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)} είναι εύοσμο;
Παίζει να είναι ένα από τα πιο εύκολα "4" των τελευταίων ετών.

Παρατηρούμε ότι ο P(n) είναι πάντα περιττός. Επίσης είναι

\displaystyle{ \begin{aligned} 
(P(n),P(n+1)) &= (n^2+n+1,P(n+1)-P(n)) \\  
&= (n^2+n+1,2n+2)\\  
&= (n^2+n+1,n+1) \\ 
&= (1,n+1) = 1 
\end{aligned} 
}

όπου σε μια από τις ισότητες χρησιμοποιήσαμε ότι 2 \nmid P(n).

Με παρόμοιο τρόπο έχουμε

\displaystyle{ \begin{aligned} 
(P(n),P(n+2)) &= (n^2+n+1,4n+6) \\ 
&= (n^2+n+1,2n+3) \\ 
&= (2n^2 + 2n+2,2n+3) \\ 
&= (n-2,2n+3) \\ 
&= (n-2,7) \in \{1,7\} 
\end{aligned}}

με (P(n),P(n+2)) = 7 αν και μόνο αν n \equiv 2 \bmod 7. [Πάλι χρησιμοποιήσαμε ότι 2 \nmid P(n).]

Ομοίως παίρνω (P(n),P(n+3)) \in \{1,3\} με (P(n),P(n+3)) =3 αν και μόνο αν n \equiv 1 \bmod 3

και

(P(n),P(n+4)) \in \{1,19\} με (P(n),P(n+4)) =19 αν και μόνο αν n \equiv 7 \bmod 19

Ασφαλώς δεν μπορώ να έχω b=2 αφού (P(a+1),P(a+2)) = 1. Ομοίως δεν μπορώ να έχω b=3 αφού ο P(a+2) δεν έχει κοινό παράγοντα με τους P(a+1) και P(a+3).

Δεν μπορώ να έχω ούτε b=4. Για να γινόταν αυτό θα έπρεπε ο P(a+2) να έχει κοινό παράγοντα με τον P(a+4) και ο P(a+3) με τον P(a+1). Αλλά η πρώτη συνθήκη δίνει a \equiv 0 \bmod 7 και η δεύτερη a \equiv 6 \bmod 7, άτοπο.

Δεν μπορώ να έχω ούτε b=5. Αν a \equiv 0,1 \bmod 3 τότε ο P(a+2) μπορεί να έχει κοινό παράγοντα μόνο με τον P(a+4). Τότε a \equiv 0 \bmod 7. Αλλά τότε ο P(a+3) δεν έχει κοινό παράγοντα με κανένα άλλο αριθμό. Αν a \equiv 2 \bmod 3 τότε ο P(a+4) μπορεί να έχει κοινό παράγοντα μόνο με τον P(a+2). Πάλι a \equiv 0 \bmod 7 και πάλι ο P(a+3) δεν έχει κοινό παράγοντα με κανένα άλλο αριθμό.

Τέλος μπορώ να έχω b=6 αρκεί να πάρω a \equiv 0 \bmod 3, a \equiv 5 \bmod 19 και a \equiv 6 \bmod 7. Τότε ο P(a+1) έχει κοινό παράγοντα με τον P(a+4), o P(a+2) με τον P(a+6) και ο P(a+3) με τον P(a+5).

Ασφαλώς μπορώ να πάρω τέτοιον a από το κινέζικο θεώρημα.


nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 401
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: IMO 2016

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Τετ Ιούλ 13, 2016 9:13 pm

Ενδιαφέρουσα IMO! Δίνω μια σκέψη λίγο διαφορετική για το 2 αλλά στα ίδια μήκη κύματος με του Δημήτρη.

Υποθέτουμε ότι η κατασκευή είναι εφικτή για δεδομένο n. Θα δείξουμε ότι 9 \mid n.

Ας γράψουμε n = 3k και ας χωρίσουμε τον πίνακά μας σε k^2 τετράγωνα 3 \times 3 . Κοιτάζουμε τα κέντρα του κάθε τετραγώνου, συνολικά k^2 στο πλήθος και τα χρωματίζουμε κόκκινα (τα υπόλοιπα τα θεωρώ άσπρα) .

Παρατηρούμε ότι αν k \equiv 1 , 2 (mod 3) υπάρχει τουλάχιστον ένα γράμμα το οποίο εμφανίζεται περισσότερες φορές από οποιοδήποτε άλλο στα κόκκινα τετράγωνα.

Τώρα παρατηρούμε ότι κάθε κόκκινο τετράγωνο ανήκει ακριβώς σε μια γραμμή, μια στήλη και δύο διαγωνίους. Τέλος, υπάρχει τρόπος να συσχετίσω με τρόπο 1-1 κάθε γράμμα σε ένα κόκκινο τετράγωνο με τα δύο διαφορετικά του γράμματα σε άσπρα τετράγωνα στην εν λόγω γραμμή. Το ίδιο μπορώ να κάνω και για τη στήλη και για κάθε μια από τις δύο διαγωνίους στις οποίες ανήκει το κόκκινο τετράγωνο (δηλαδή, τελικά, αντιστοιχώ με τρόπο 1-1 σε κάθε κόκκινο τετράγωνο 8 άσπρα και αυτά μαζί όλα καλύπτουν ολόκληρο τον πίνακα).

Για κάθε I λοιπόν που εμφανίζεται μια φορά σε κόκκινο τετράγωνο υπάρχουν 4 M και 4 O που αντιστοιχούν σε αυτό (και ομοίως κυκλικά για τα M, O) . Δεδομένου ότι πρέπει να έχουμε συνολικά ίσο αριθμό από I , M , O εύκολα βλέπουμε ότι στα κόκκινα τετράγωνα συνολικά πρέπει να υπάρχει ίσος αριθμός από κάθε γράμμα, που σημαίνει ότι 3 \mid k^2 \Rightarrow 3 \mid k . Για το ότι τα πολλαπλάσια του 9 είναι λύσεις, όπως ο Δημήτρης.

Φιλικά,
Νίκος


Νίκος Αθανασίου
simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: IMO 2016

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Πέμ Ιούλ 14, 2016 10:31 am

Τα μερικά αποτελέσματα της Ελλάδας:
Εικόνα


Σημαντήρης Γιάννης
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 453
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: IMO 2016

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Πέμ Ιούλ 14, 2016 10:34 am

Μήπως υπάρχει κάποια αντίστοιχη πληροφόρηση για την ομάδα της Κύπρου;


Σωτήρης Λοϊζιάς
simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: IMO 2016

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Πέμ Ιούλ 14, 2016 10:37 am

Ναι!(δυστυχώς μόνο για το πρώτο πρόβλημα)
Εικόνα


Σημαντήρης Γιάννης
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 453
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: IMO 2016

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Πέμ Ιούλ 14, 2016 10:39 am

Ευχαριστώ πολύ!!! Καλα αποτελέσματα στις ομάδες μας!!


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMO 2016

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 14, 2016 12:28 pm

Εδώ υπάρχουν καινούργια αποτελέσματα.

Ο CYP1 λογικά πρέπει να έχει 7 στο P4. Δεν ξέρω όμως για αυτά που λείπουν από τους υπόλοιπους.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2735
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: IMO 2016

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιούλ 14, 2016 6:01 pm

2 Χάλκινα και 3 Εύφημες μνείες!!

Θερμά Συγχαρητήρια στους μαθητές μας!
Συνημμένα
HEL_results_imo_2016.png
HEL_results_imo_2016.png (122.63 KiB) Προβλήθηκε 2699 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες