ΘΑΛΗΣ 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:53 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;

Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.

Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.
Συμφωνώ.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4221
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:59 pm

Μια ακόμα εκδοχή για το 4 της Α Λυκείου:

\displaystyle{A=2017.2016.2015.2013.2012.2011+2017.2016.2015.(2017.2016.2015-2013.2012.2011) =}

\displaystyle{=2017.2016.2015.(2013.2012.2011+2017.2016.2015-2013.2012.2011)=(2017.2016.2015)^2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4363
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:00 pm

Καλημέρα σε όλους. Καλή επιτυχία στους μαθητές που Αγωνίστηκαν. Ελπίζω προτίστως να χάρηκαν τη Συμμετοχή τους!

Μια ακόμα λύση στη Γεωμετρία της Β΄ Λυκείου, με εργαλεία που δεν έχουν ακόμα διδαχθεί (αρχές Νοεμβρίου) οι μαθητές της Β΄ Λυκείου.
12-11-2016 Γεωμετρία.png
12-11-2016 Γεωμετρία.png (33.19 KiB) Προβλήθηκε 1267 φορές
Έστω M(0,0), B(-1,0), C(1, 0), A(0,a), D(0,1), a>1.

Τότε (AE) = a-1, οπότε E(a-1, 1), Z(a-1, a)

Για \displaystyle a \ne 2 είναι \displaystyle AE:\;\;y - a = \frac{{a - 1}}{{1 - a}}x \Leftrightarrow y =  - x + a και \displaystyle CZ:\;y = \frac{a}{{a - 2}}x - \frac{a}{{a - 2}} .

Τέμνονται στο \displaystyle K\left( {\frac{a}{2},\;\frac{a}{2}} \right) .

Άρα \displaystyle \mathop {MK}\limits^ \to   = \left( {\frac{a}{2},\;\frac{a}{2}} \right),\;\;\mathop {DZ}\limits^ \to   = \left( {a - 1,\;a - 1} \right) που είναι προφανώς παράλληλα.

Για a=2 είναι AE: y = -x+2,  CZ: x=1, οπότε τέμνονται στο \displaystyle K\left( {\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}} \right) κ.ο.κ.


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:01 pm

Καλημέρα σε όλους!

Συμμετείχα σήμερα μαζί με τους υπόλοιπους μαθητές της Γ. Κατά τη γνώμη μου το Α' Θέμα και η Γεωμετρία ήταν ακριβώς όπως έπρεπε. Αυτά ήταν τα θέματα που έλυσα. Το τέταρτο, παρ' όλο που δεν το έλυσα, τώρα που βλέπω τη λύση του cretanman μπορώ να πω ότι ίσως ήταν χαμηλότερης δυσκολίας από το τρίτο θέμα. Για το συγκεκριμένο είμαι αρκετά περίεργος να δω κάποια λύση...


Carpe Diem
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3912
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:02 pm

3ο της Γ Λυκείου

Ελπίζω να έχω κάνει σωστές πράξεις, εκτός αν υπάρχει κάτι πολύ σύντομο που αγνοώ.

Έστω P(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

Από τις δοσμένες σχέσεις και με αρκετές πράξεις προκύπτει η σχέση όλων των συντελεστών με τη βοήθεια του a_0

Έτσι a_1=-\dfrac{25a_0}{12} \ \ (1), a_2=\dfrac{35a_0+24}{24} \ \ (2) , a_3=-\dfrac{5a_0}{12} \ \ (3), a_4=\dfrac{a_0}{24} \ \ (4)

και με πράξεις προκύπτει ότι P(5)=a_0+25

Λόγω των συνθηκών a_i\leq 10 παίρνουμε από την σχέση (2) ότι a_0\leq \dfrac{216}{35} (όταν a_2=10) κι έτσι P(5)\leq \dfrac{216}{35}+25 κι έτσι η \dfrac{216}{35}+25 είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για το P(5).

Επίσης λόγω της (1) παίρνουμε a_0\geq -\dfrac{24}{5} άρα P(5)\geq -\dfrac{24}{5}+25 κι έτσι η -\dfrac{24}{5}+25 είναι η μικρότερη δυνατή τιμή για P(5) (όταν a_1=10).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
karbo
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 10:31 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από karbo » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:10 pm

tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:20 pm

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρούμε το πολυώνυμο

\displaystyle{P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+x^2=ax^4-10ax^3+(35a+1)x^2-50ax+24a}

το οποίο προφανώς ικανοποιεί τις δοθείσες ισότητες.

Θέlουμε a\leq 10, -10a\leq 10, 35a+1\leq 10, -50a\leq 10 και 24a\leq 10

Οι κοινές λύσεις αυτών των ανισοτήτων είναι -\dfrac{1}{5}\leq a\leq \dfrac{9}{35}.

Αφού P(5)=24a+25 βλέπουμε ότι \dfrac{101}{5}\leq P(5)\leq 31+\dfrac{6}{35}.

Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή του P(5) είναι \dfrac{101}{5} και η μέγιστη 31+\dfrac{6}{35}.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Νοέμ 12, 2016 2:17 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:21 pm

Γεωμετρία Γ Γυμνασίου
Θαλής G.ΙΙI.2016.png
Θαλής G.ΙΙI.2016.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 1239 φορές
α) Το τρίγωνο OK\Gamma είναι ισοσκελές καθώς επίσης και το K\Delta E και από το

άθροισμα γωνιών τριγώνου εύκολα βγαίνει ότι \displaystyle{{\rm K}\widehat \Delta {\rm E} = \frac{{{{180}^0} - {{67,5}^0}}}{2} = {56,25^0}}

β) Φέρνω την \displaystyle{\Gamma {\rm H} \bot {\rm O}{\rm E}} και από Πυθαγόρειο θεώρημα έχω \displaystyle{{\alpha ^2} = 2{\upsilon ^2} \Leftrightarrow \upsilon  = \frac{\alpha }{{\sqrt 2 }}},

οπότε \displaystyle{({\rm O}\Gamma {\rm E}) = \frac{1}{2}2\alpha  \cdot \frac{\alpha }{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow } \boxed{({\rm O}\Gamma {\rm E}) = \frac{{{\alpha ^2}\sqrt 2 }}{2}}


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:21 pm

karbo έγραψε:tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw
Διαγραφή απάντησης για διαφορετικό θέμα.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
kostas.zig
Δημοσιεύσεις: 445
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 3:29 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas.zig » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:31 pm

JimNt. έγραψε:
karbo έγραψε:tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw
Αν δεν κάνω λάθος είναι (a,b,c,d)=(9,f,0,n), όπου f,n φυσικοί < 10
Όλα τα ψηφία λέει είναι 8 ή 9. Οπότε είναι ο 8988


Ζυγούρης Κώστας
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:32 pm

kostas.zig έγραψε:
JimNt. έγραψε:
karbo έγραψε:tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw
Αν δεν κάνω λάθος είναι (a,b,c,d)=(9,f,0,n), όπου f,n φυσικοί < 10
Όλα τα ψηφία λέει είναι 8 ή 9. Οπότε είναι ο 8988
Συγνώμη αυτή είναι η λύση της Γ. Δεν διάβασα σωστά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
vasisot
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τετ Μαρ 16, 2011 3:00 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasisot » Σάβ Νοέμ 12, 2016 1:54 pm

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , Πρόβλημα 3 .

Έστω ότι οι φίλοι του Γιώργου είναι \displaystyle{x} και ότι ο καθένας πήρε \displaystyle{a} καραμέλες, όπου \displaystyle{x>2} και \displaystyle{a} ακέραιοι. Τότε
\displaystyle{(x+1)a=450= 2\cdot 3^2 \cdot 5^2} και ο Γιώργος πήρε \displaystyle{a+3\cdot \dfrac{20}{100}\cdot a =1,6 a>120 } άρα \displaystyle{ a>75}. Από τα παραπάνω θα έχουμε \displaystyle{x+1=5 } και \displaystyle{a=90}.
Έτσι όλοι μαζί ήταν \displaystyle{5} και ο Γιώργος πήρε \displaystyle{1,6\cdot90=144} καραμέλες.


Σωτήρης Βασιλείου
\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.07pt}}
Although this may seem a paradox, all exact science is dominated by the idea of approximation. Bertrand Russell
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Νοέμ 12, 2016 2:01 pm

vasisot έγραψε:Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , Πρόβλημα 3 .

Έστω ότι οι φίλοι του Γιώργου είναι \displaystyle{x} και ότι ο καθένας πήρε \displaystyle{a} καραμέλες, όπου \displaystyle{x>2} και \displaystyle{a} ακέραιοι. Τότε
\displaystyle{(x+1)a=450= 2\cdot 3^2 \cdot 5^2} και ο Γιώργος πήρε \displaystyle{a+3\cdot \dfrac{20}{100}\cdot a =1,6 a>120 } άρα \displaystyle{ a>75}. Από τα παραπάνω θα έχουμε \displaystyle{x+1=5 } και \displaystyle{a=90}.
Έτσι όλοι μαζί ήταν \displaystyle{5} και ο Γιώργος πήρε \displaystyle{1,6\cdot90=144} καραμέλες.
Διαφορετικά. Μπορούμε να θέσουμε ως a το πλήθος όλων των παιδιών. Έτσι ο καθένας πήρε \frac{450}{a} καραμέλες. Από την εκφώνηση ισχύει ότι ο Γιώργος μετα την επιστροφή έχει:
3(\frac{450}{a} * \frac{1}{5}) + \frac{450}{a}> 120 ή
\frac{720}{a} > 120 ή
6>a και επομένως αφού a \ge 4 . Θα είναι είτε a=4 είτε a=5. Όμως επειδή το 4 δεν διαιρεί το 450 παίρνουμε a=5


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1239
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Νοέμ 12, 2016 2:21 pm

Να προσδιορίσετε το ελάχιστο k για το οποίο ισχύει η διατύπωση του προβλήματος 4 της Α Λυκείου.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Νοέμ 12, 2016 2:35 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;
Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.

Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.
ΟΚ κι από μένα! Λύθηκαν όλα τα θέματα. Συμφωνώ ότι το 4β ερώτημα ήταν δύσκολο για μαθητές που δεν έχουν κάνει ειδική προετοιμασία για Μαθηματικούς Διαγωνισμούς.

Καλά αποτελέσματα σε όλους :D !


Houston, we have a problem!
Little einstein
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 27, 2016 4:42 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Little einstein » Σάβ Νοέμ 12, 2016 2:54 pm

Νομίζω ότι στο 4ο θέμα της Α Λυκείου το k ισούται με 36 ;)


Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Σάβ Νοέμ 12, 2016 3:07 pm

Μήπως υπάρχει το πλάνο βαθμολόγησης του διαγωνισμού;


The road to success is always under construction
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4363
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 12, 2016 3:09 pm

Μια λύση με Αναλυτική Γεωμετρία στο Πρόβλημα 2 της Γ΄ Λυκείου
12-11-2016 Γεωμετρία b.png
12-11-2016 Γεωμετρία b.png (22.44 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές
Έστω D(0,0), B(-1,0), C(1, 0), K(0,1).

Αφού \displaystyle \widehat A = 45^\circ , είναι \displaystyle \widehat {BAD} = 22,5^\circ , οπότε \displaystyle \varepsilon \varphi 22,5^\circ  = \frac{{BD}}{{AD}} \Leftrightarrow AD = \frac{1}{{\sqrt 2  - 1}} = \sqrt 2  + 1 , άρα \displaystyle A\left( {0,\;\sqrt 2  + 1} \right) .

Φέρνω \displaystyle BE \bot AC , οπότε \displaystyle \widehat {CBE} = 22,5^\circ άρα \displaystyle BE:\;\;y = \varepsilon \varphi 22,5^\circ  = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)x + \sqrt 2  - 1 .

Φέρνω \displaystyle BZ \bot AB , οπότε \displaystyle \widehat {BCZ} = 22,5^\circ άρα \displaystyle CZ:\;\;y = \varepsilon \varphi \left( {180^\circ  - 22,5^\circ } \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - 1 .

Είναι \displaystyle KA = KB = KC = \sqrt 2 , οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC έχει εξίσωση \displaystyle {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2

Η οριζόντια ευθεία y=1, που διέρχεται από το K τέμνει τις BE, CZ στα \displaystyle N\left( { - \sqrt 2 ,\;1} \right),\;\;M\left( {\sqrt 2 ,\;1} \right) αντίστοιχα.

Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα N, M επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου και είναι τα μοναδικά που ικανοποιούν τις δοσμένες συνθήκες, ο.ε.δ.


simantiris j.
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από simantiris j. » Σάβ Νοέμ 12, 2016 3:28 pm

Καλησπέρα σε όλους και από μένα!
Μια σκιαγράφηση για το 3ο της Γ:Θεωρούμε το πολυώνυμο Q(x)=P(x)-x^2 και παρατηρούμε ότι είναι τετάρτου βαθμού καθώς και ότι Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0 άρα όλες ρίζες του είναι οι αριθμοί 1,2,3,4.Όπότε Q(x)=c(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\Leftrightarrow P(x)=x^2+c(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(1) και με πράξεις καταλήγουμε στο πολυώνυμο του κ.Αχιλλέα.Από εκεί με τη 2η συνθήκη βρίσκουμε άνω και κάτω φράγμα για το c και από (1) P(5)=25+24c από όπου παίρνουμε τις ανισώσεις που δίνουν τις ζητούμενες τιμές.
Σαν γενικό σχολιασμό,τα θέματα της Γ ήταν πολύ ωραία.Τα 1,2 ήταν βατά όπως έπρεπε,το 3 πρωτότυπο και ωραίο,ενώ το 4ο μια όμορφη θεωρία αριθμών.
Συγχαρητήρια στην επιτροπή και καλά αποτελέσματα σε όλους!


Σημαντήρης Γιάννης
armenakisdimitris
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 12, 2016 3:40 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2016

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από armenakisdimitris » Σάβ Νοέμ 12, 2016 3:45 pm

george visvikis έγραψε:Πρόβλημα 2 - Β Λυκείου

Θαλής Β.ΙΙ.2016.png
\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Gamma  = {90^0}} κι επειδή \displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta {\rm M} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {45^0}} τα σημεία B, \Delta, Z είναι συνευθειακά. Είναι επίσης \displaystyle{\Delta \Gamma ||{\rm O}{\rm K}}

(κάθετες στην ίδια ευθεία), οπότε το K είναι μέσο του Z\Gamma (αφού το O είναι μέσο του \Delta Z) και το ζητούμενο έπεται.
Γίνεται μήπως να εξηγηθεί με ποιον τρόπο έπεται το ζητούμενο πιο αναλυτικά ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης