Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Soteris · #1

Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{a>0,}$ ισχύει η ανισότητα: $\displaystyle{\sqrt{a+1}<\dfrac{2a+1}{2\sqrt{a}}}$

(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\nu,}$ η προηγούμενη ανισότητα γίνεται: $\displaystyle{\sqrt{\nu+1}-\sqrt{\nu}<\dfrac{\sqrt{\nu}}{2\nu}}$

(γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: $\displaystyle{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}+\ldots+\dfrac{\sqrt{2016}}{4032}>\sqrt{2017}}$

Πρόβλημα 2

(α) Να γράψετε την παράσταση $\displaystyle{A=x^4+4}$ ως γινόμενο δύο τριωνύμων της μορφής $\displaystyle{x^2+ax+\beta}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{\nu>1,}$ ο θετικός ακέραιος αριθμός $\displaystyle{\nu^4+4}$ δεν είναι ποτέ πρώτος.

Πρόβλημα 3

Από τις κορυφές $\displaystyle{A, \Gamma}$ ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{A\Delta<AB}$ φέρουμε τις κάθετες $\displaystyle{AH, \Gamma\Theta}$ στη διαγώνιο $\displaystyle{B\Delta}$ ( $\displaystyle{H, \Theta}$ σημεία της διαγωνίου $\displaystyle{B\Delta}$ ). Με πλευρές τις $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{A\Delta E}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{B\Gamma Z},}$ που βρίσκονται εκτός του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) το $\displaystyle{E\Theta ZH}$ είναι παραλληλόγραμμο

(β) η $\displaystyle{EZ}$ περνά από το κέντρο του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$

(γ) η $\displaystyle{EZ}$ είναι παράλληλη προς τις $\displaystyle{AB, \Delta\Gamma}$

Πρόβλημα 4

Να λύσετε το σύστημα: $\displaystyle{\begin{cases} x^2-y\sqrt{xy}=126\\ y^2-x\sqrt{xy}=-63 \end{cases}}$

#2

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 2

(α) Να γράψετε την παράσταση $\displaystyle{A=x^4+4}$ ως γινόμενο δύο τριωνύμων της μορφής $\displaystyle{x^2+ax+\beta}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{\nu>1,}$ ο θετικός ακέραιος αριθμός $\displaystyle{\nu^4+4}$ δεν είναι ποτέ πρώτος.

α) $\displaystyle{A = {x^4} + 4 + 4{x^2} - 4{x^2} = {({x^2} + 2)^2} - {(2x)^2} = ({x^2} + 2x + 2)({x^2} - 2x + 2)}$

β) Για να είναι ο $\displaystyle{{\nu ^4} + 4}$ πρώτος θα πρέπει $\displaystyle{{\nu ^2} - 2\nu + 2 = 1 \Leftrightarrow \nu = 1}$ (αφού $\displaystyle{{\nu ^2} + 2\nu + 2 = {(\nu + 1)^2} + 1 \geqslant 5}$ ),

που είναι άτοπο αφού από υπόθεση $\displaystyle{\nu > 1}$

#3

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Από τις κορυφές $\displaystyle{A, \Gamma}$ ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{A\Delta<AB}$ φέρουμε τις κάθετες $\displaystyle{AH, \Gamma\Theta}$ στη διαγώνιο $\displaystyle{B\Delta}$ ( $\displaystyle{H, \Theta}$ σημεία της διαγωνίου $\displaystyle{B\Delta}$ ). Με πλευρές τις $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{A\Delta E}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{B\Gamma Z},}$ που βρίσκονται εκτός του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) το $\displaystyle{E\Theta ZH}$ είναι παραλληλόγραμμο

(β) η $\displaystyle{EZ}$ περνά από το κέντρο του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$

(γ) η $\displaystyle{EZ}$ είναι παράλληλη προς τις $\displaystyle{AB, \Delta\Gamma}$

: Ε.Δ.Κ (2016).png (26.12 KiB) Προβλήθηκε 1540 φορές

α) $\displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm A}\Gamma = {60^0} + \omega = {\rm A}\widehat \Gamma {\rm Z} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm E}|| = \Gamma {\rm Z}}$ , άρα το $AE\Gamma Z$ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι $EZ, A\Gamma$ διχοτομούνται.

Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm H}\Delta ,\Gamma \Theta {\rm B}}$ , προκύπτει ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm H}|| = \Gamma \Theta }$ , οπότε και το $\displaystyle{{\rm A}{\rm H}\Gamma \Theta }$ είναι

παραλληλόγραμμο, άρα οι $H\Theta, A\Gamma$ διχοτομούνται. Επομένως οι $H\Theta, EZ$ διχοτομούνται, άρα το το $\displaystyle{E\Theta ZH}$ είναι παραλληλόγραμμο

β) Από το προηγούμενο ερώτημα αποδείχθηκε ότι η $\displaystyle{EZ}$ διέρχεται από το μέσο της $A\Gamma$ , που είναι το κέντρο του ορθογωνίου.

γ) Τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{A\Delta E}}$ και $\displaystyle{\vartriangle{B\Gamma Z},}$ είναι ισόπλευρα, τα $AO\Delta, BO\Gamma$ ισοσκελή, άρα η EOZ

είναι μεσοκάθετη των $A\Delta, B\Gamma$ ,

δηλαδή παράλληλη προς τις $\displaystyle{AB, \Delta\Gamma}$

nikkru · #4

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 4

Να λύσετε το σύστημα: $\displaystyle{\begin{cases} x^2-y\sqrt{xy}=126\\ y^2-x\sqrt{xy}=-63 \end{cases}}$

Προφανώς πρέπει xy>0

.
Αφού $y^2-x\sqrt{xy}=-63$ έχουμε ισοδύναμα $y^2+63=x\sqrt{xy}$ οπότε x>0

άρα και

.
Τότε το σύστημα γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt{x^4}-\sqrt{xy^3}=126 (1)\\ \sqrt{y^4}-\sqrt{x^3 y}=-63 (2) \end{cases}}$
Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη εξίσωση με 2 και προσθέτοντας την στην πρώτη έχουμε: $\sqrt{x^4}-\sqrt{xy^3}+2\sqrt{y^4}-2\sqrt{x^3 y}=0$
ή ισοδύναμα $(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3})(\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$ , δηλαδή x=y

ή

.
Αντικαθιστώντας στην (1)

προκύπτει μοναδική λύση (x,y)=(12,3)

.

#5

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Να λύσετε το σύστημα: $\displaystyle{\begin{cases} x^2-y\sqrt{xy}=126\\ y^2-x\sqrt{xy}=-63 \end{cases}}$

Λίγο διαφορετικά:

Τα x,y

είναι προφανώς μη μηδενικά. Συνεπώς διαιρώντας την πρώτη με $\sqrt{x}$ και τη δεύτερη με $\sqrt{y}$ παίρνουμε το ισοδύναμο σύστημα

$\begin{cases}x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=\dfrac{126}{\sqrt{x}} \\ y\sqrt{y}-x\sqrt{x}=-\dfrac{63}{\sqrt{y}} \end{cases}$

οπότε προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω παίρνουμε τελικά $\sqrt{x}=2\sqrt{y}$ δηλαδή ισοδύναμα (αφού x,y

θετικοί)

απ΄ όπου συνεχίζουμε και παίρνουμε εύκολα (x,y)=(12,3)

.

Αλέξανδρος

Tolaso J Kos · #6

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Λυκείου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{a>0,}$ ισχύει η ανισότητα: $\displaystyle{\sqrt{a+1}<\dfrac{2a+1}{2\sqrt{a}}}$

(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\nu,}$ η προηγούμενη ανισότητα γίνεται: $\displaystyle{\sqrt{\nu+1}-\sqrt{\nu}<\dfrac{\sqrt{\nu}}{2\nu}}$

(γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: $\displaystyle{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}+\ldots+\dfrac{\sqrt{2016}}{4032}>\sqrt{2017}}$

Γεια σας,

α)
$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{a+1} <\frac{2a+1}{2\sqrt{a}} &\Leftrightarrow a+1 < \frac{\left ( 2a+1 \right )^2}{4a} \\ &\Leftrightarrow 4a^2+4a < 4a^2 +4a+1\\ &\Leftrightarrow 1>0 \end{aligned}}$ που ισχύει άρα ισχύει και η αρχική.

β) Θέτουμε $a=\nu$ στην αρχική , οπότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{a+1} <\frac{2a+1}{\sqrt{a}} &\overset{a=\nu}{=\!=\!\Rightarrow } \sqrt{\nu+1} < \frac{2\nu+1}{2\sqrt{\nu}}\\ &\Rightarrow \sqrt{\nu+1} < \frac{\nu}{\sqrt{\nu}} +\frac{1}{2\sqrt{\nu}} \\ &\Rightarrow \sqrt{\nu+1} < \frac{\cancel{\nu} \sqrt{\nu}}{\cancel{\nu}} + \frac{\sqrt{\nu}}{2\nu} \\ &\Rightarrow \sqrt{\nu+1} - \sqrt{\nu} < \frac{\sqrt{\nu}}{2 \nu} \end{aligned}}$ που είναι αυτό που θέλουμε.

γ) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} 1+\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \cdots + \frac{\sqrt{2016}}{4032} &=1 + \sum_{\nu=1}^{2016} \frac{\sqrt{\nu}}{2 \nu} \\ &\overset{\text{\gr(β')}}{>} 1 + \sum_{\nu=1}^{2016} \left ( \sqrt{\nu+1} - \sqrt{\nu} \right ) \\ &\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\text{\gr τηλεσκοπικό}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!}1 + \sqrt{2017} -1 \\ &= \sqrt{2017} \end{aligned}}$

Soteris · #7

Β' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 2 της Α΄Λυκείου

Πρόβλημα 2

Αν ο αριθμός $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\ldots+\dfrac{1}{\nu^3}<\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\nu},~\forall\nu\geqslant 3}$

Πρόβλημα 3

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}}$ φέρουμε το ύψος $\displaystyle{A\Delta}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{(\omega),}$ διαμέτρου $\displaystyle{A\Delta,}$ τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB, A\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{E, Z}$ αντίστοιχα. Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{A\Gamma B}}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{H}$ και η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{ZEA}}$ τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{(\omega)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Theta}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{\Gamma AH}, \vartriangle{E\Theta Z}}$ είναι όμοια

(β) $\displaystyle{\dfrac{\Theta E}{\Theta Z}=\dfrac{B\Gamma}{BH}}$

Πρόβλημα 4

(α) Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma},}$ να αποδείξετε ότι (με $\displaystyle{E}$ συμβολίζουμε το εμβαδόν του $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}}$ ):

i. $\displaystyle{a^2=\beta^2+\gamma^2-4E\sigma\phi A}$

ii. $\displaystyle{\sigma\phi A+\sigma\phi B+\sigma\phi \Gamma=\dfrac{a^2+\beta^2+\gamma^2}{4E}}$

(β) Αν $\displaystyle{O}$ είναι εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma},}$ ώστε $\displaystyle{\angle{OAB}=\angle{OB\Gamma}=\angle{O\Gamma A}=\theta,}$ να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sigma\phi\theta=\sigma\phi A+\sigma\phi B+\sigma\phi \Gamma}$

#8

Soteris έγραψε:Β' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}}$ φέρουμε το ύψος $\displaystyle{A\Delta}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{(\omega),}$ διαμέτρου $\displaystyle{A\Delta,}$ τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{AB, A\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{E, Z}$ αντίστοιχα. Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{A\Gamma B}}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{H}$ και η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{ZEA}}$ τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{(\omega)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Theta}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{\Gamma AH}, \vartriangle{E\Theta Z}}$ είναι όμοια

(β) $\displaystyle{\dfrac{\Theta E}{\Theta Z}=\dfrac{B\Gamma}{BH}}$

: Ε.Δ.Κ B (2016).png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές

α) $\displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm A}{\rm Z} = {\rm E}\widehat {\Theta}{\rm Z}}$ (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο). Το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta \Gamma }$ είναι ορθογώνιο και το $\Delta Z$ είναι ύψος,

οπότε $\displaystyle{\widehat \Gamma = {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {\rm Z}\widehat {\rm E}{\rm A} \Leftrightarrow {\rm A}\widehat \Gamma {\rm H} = {\rm Z}\widehat {\rm E}{\rm A}}$ , άρα τα ζητούμενα τρίγωνα είναι όμοια.

β) $\displaystyle{\frac{{{\rm E}\Theta }}{{\Theta {\rm Z}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm H}}}}$ , αλλά λόγω της διχοτόμου, $\displaystyle{\frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm A}\Gamma }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}{\rm H}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{{\Theta {\rm E}}}{{\Theta {\rm Z}}}}$

#9

Soteris έγραψε:Β' Λυκείου

(α) Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma},}$ να αποδείξετε ότι (με $\displaystyle{E}$ συμβολίζουμε το εμβαδόν του $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}}$ ):

i. $\displaystyle{a^2=\beta^2+\gamma^2-4E\sigma\phi A}$

ii. $\displaystyle{\sigma\phi A+\sigma\phi B+\sigma\phi \Gamma=\dfrac{a^2+\beta^2+\gamma^2}{4E}}$

(β) Αν $\displaystyle{O}$ είναι εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma},}$ ώστε $\displaystyle{\angle{OAB}=\angle{OB\Gamma}=\angle{O\Gamma A}=\theta,}$ να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sigma\phi\theta=\sigma\phi A+\sigma\phi B+\sigma\phi \Gamma}$

(α) i. $\displaystyle{{\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2 \cdot \frac{{2{\rm E}}}{{\eta \mu {\rm A}}}\sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 4{\rm E}\sigma \varphi {\rm A}}$

ii. Από το προηγούμενο: $\displaystyle{\sigma \varphi {\rm A} + \sigma \varphi {\rm B} + \sigma \varphi \Gamma = \frac{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}}{{4{\rm E}}} + \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{4{\rm E}}} + \frac{{{\beta ^2} + {\alpha ^2} - {\gamma ^2}}}{{4{\rm E}}} \Leftrightarrow }$

$\boxed{\sigma \varphi {\rm A} + \sigma \varphi {\rm B} + \sigma \varphi \Gamma = \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}}}{{4{\rm E}}}}$

β) $\displaystyle{{\rm E} = ({\rm O}{\rm B}\Gamma ) + ({\rm O}{\rm A}{\rm B}) + ({\rm O}{\rm A}\Gamma ) = \frac{{{\alpha ^2} + {\rm O}{{\rm B}^2} - {\rm O}{\Gamma ^2}}}{{4\sigma \varphi \theta }} + \frac{{{\gamma ^2} + {\rm O}{{\rm A}^2} - {\rm O}{{\rm B}^2}}}{{4\sigma \varphi \theta }} + \frac{{{\beta ^2} + {\rm O}{\Gamma ^2} - {\rm O}{{\rm A}^2}}}{{4\sigma \varphi \theta }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\rm E} = \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}}}{{4\sigma \varphi \theta }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\sigma \varphi \theta = \sigma \varphi {\rm A} + \sigma \varphi {\rm B} + \sigma \varphi \Gamma }$

JimNt. · #10

Soteris έγραψε:Β' Λυκείου

Αν ο αριθμός $\displaystyle{\nu}$ είναι θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\ldots+\dfrac{1}{\nu^3}<\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\nu},~\forall\nu\geqslant 3}$

Πρόβλημα 3

Προφανώς ισχύει για n=3

, αφού $1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3{3}}= \frac{251}{216}=1 \frac{35}{216} < \frac{3}{2} - \frac{1}{3}=1 \frac{1}{6}$ (επειδή $\frac{35}{216}=0.1620...$ και $\frac{1}{6}=0.1\overline{6}$ )
Τώρα επαγωγικά έστω ότι ισχύει
$1 +\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+....\frac{1}{k^{3}} < \frac{3}{2} - \frac{1}{k}$ (1)

για ένα θετικό ακέραιο

$\ge 3$ . Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για τον k+1

. Αφού ισχυέι η (1)

είναι
$1 +\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+....\frac{1}{(k+1)^{3}} < \frac{3}{2} - \frac{1}{k} +\frac{1}{(k+1)^{3}}$ Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε ότι:
$\frac{3}{2}-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{3}} \le \frac{3}{2}-\frac{1}{k+1}$ ή
$\frac{1}{(k+1)^{3}} \le \frac{1}{k(k+1)}$ ή
$(k+1)^{3} \ge k(k+1)$ ή
$(k+1)^{2} \ge k$ το οποίο είναι προφανές.
Επομένως, αποδείξαμε ότι αν η δεδομένη ανισότητα ισχύει για έναν ακέραιο $k \ge 3$ τότε ισχύει και για τον k+1

και άρα για όλους τους αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους του

. Συνεπώς, αφού ισχύει για n = 3

, έπεται ότι ισχύει για όλους τους θετικούς $n \ge 3$ .

Soteris · #11

Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 4 της Β' Λυκείου

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το πρόβλημα 3 της Β' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Πάνω στους θετικούς ημιάξονες $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων παίρνουμε, αντίστοιχα, τα σημεία $\displaystyle{{\rm A} (a,0)}$ και $\displaystyle{{\rm B} (0, \beta),~a, \beta>0}$ . Έστω επίσης $\displaystyle{{\rm \Gamma}(0, \gamma), {\rm \Delta}(0, \delta)}$ δύο τυχαία σημεία του ημιάξονα $\displaystyle{Oy}$ με $\displaystyle{\delta>\gamma>\beta>0}$ . Από το σημείο $\displaystyle{\rm B}$ φέρουμε παράλληλες προς τις ευθείες $\displaystyle{\rm A\Gamma, A\Delta,}$ οι οποίες τέμνουν τον άξονα $\displaystyle{Ox}$ στα σημεία $\displaystyle{\rm E, Z,}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{\rm M}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm A\Gamma, \Delta E}$ και $\displaystyle{\rm N}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm BE, \Gamma Z,}$ να αποδείξετε ότι:

(α) το τετράπλευρο $\displaystyle{\rm \Gamma MEN}$ είναι παραλληλόγραμμο

(β) $\displaystyle{\dfrac{E_{\rm AM\Delta}}{E_{\rm ZNB}}=\left(\dfrac{\delta}{\beta}\right)^2}$ , όπου $\displaystyle{E_{\rm AM\Delta}, E_{\rm ZNB}}$ είναι τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{\rm AM\Delta}, \vartriangle{\rm ZNB}}$ , αντίστοιχα.

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x\cdot{\sigma\upsilon\nu}\dfrac{\pi}{x},~x\in[2, +\infty)}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi\in(2, +\infty)}$ , ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\dfrac{\pi}{\xi}+\dfrac{\pi}{\xi}\cdot\eta\mu\dfrac{\pi}{\xi}=f(x+1)-f(x),~\forall x\in[2, +\infty)}$

(β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με τύπο $\displaystyle{g(t)=\sigma\upsilon\nu\dfrac{\pi}{t}+\dfrac{\pi}{t}\cdot\eta\mu\dfrac{\pi}{t},~t\in[2, +\infty)}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

(γ) Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\lim_{t\rightarrow +\infty}g(t)}$ και να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x+1)-f(x)>1,~\forall x\in[2, +\infty)}$

nikkru · #12

Soteris έγραψε:Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Πάνω στους θετικούς ημιάξονες $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων παίρνουμε, αντίστοιχα, τα σημεία $\displaystyle{{\rm A} (a,0)}$ και $\displaystyle{{\rm B} (0, \beta),~a, \beta>0}$ . Έστω επίσης $\displaystyle{{\rm \Gamma}(0, \gamma), {\rm \Delta}(0, \delta)}$ δύο τυχαία σημεία του ημιάξονα $\displaystyle{Oy}$ με $\displaystyle{\delta>\gamma>\beta>0}$ . Από το σημείο $\displaystyle{\rm B}$ φέρουμε παράλληλες προς τις ευθείες $\displaystyle{\rm A\Gamma, A\Delta,}$ οι οποίες τέμνουν τον άξονα $\displaystyle{Ox}$ στα σημεία $\displaystyle{\rm E, Z,}$ αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{\rm M}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm A\Gamma, \Delta E}$ και $\displaystyle{\rm N}$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{\rm BE, \Gamma Z,}$ να αποδείξετε ότι:

(α) το τετράπλευρο $\displaystyle{\rm \Gamma MEN}$ είναι παραλληλόγραμμο

(β) $\displaystyle{\dfrac{E_{\rm AM\Delta}}{E_{\rm ZNB}}=\left(\dfrac{\delta}{\beta}\right)^2}$ , όπου $\displaystyle{E_{\rm AM\Delta}, E_{\rm ZNB}}$ είναι τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle{\rm AM\Delta}, \vartriangle{\rm ZNB}}$ , αντίστοιχα.

: Th3.png (16.43 KiB) Προβλήθηκε 1286 φορές

(α) Αφού $A\Delta //BZ$ και $BE //A\Gamma$ από το Θ. του Θαλή προκύπτουν: $\displaystyle{\dfrac{{OZ}}{OA}}=\dfrac{{OB}}{O \Delta}}$ και $\displaystyle{\dfrac{{OE}}{OA}}=\dfrac{{OB}}{O \Gamma}}$ .
Διαιρώντας τις τελευταίες κατά μέλη, προκύπτει: $\displaystyle{\dfrac{{OZ}}{OE}}=\dfrac{{O\Gamma}}{O \Delta}}$ , οπότε $Z\Gamma//E\Delta$ και έτσι το τετράπλευρο $\displaystyle{\rm \Gamma MEN}$ είναι παραλληλόγραμμο.

(β) Είναι $A\Delta //BZ$ έτσι τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{\rm OA\Delta}, \vartriangle{\rm OZB}}$ είναι όμοια και ισχύει: $\dfrac{{A \Delta}}{ZB}}=\dfrac{{O \Delta}}{OB}}=\dfrac{{\delta}}{\beta}}$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle{\rm AM\Delta}, \vartriangle{\rm ZNB}}$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, οπότε είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\lambda =\dfrac{{A \Delta}}{ZB}}=\dfrac{{\delta}}{\beta }}$ .
Έτσι, $\displaystyle{\dfrac{E_{\rm AM\Delta}}{E_{\rm ZNB}}=\lambda^2=\left(\dfrac{\delta}{\beta}\right)^2}$ .

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2016 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση