Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Soteris · #1

Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Γυμνασίου.

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Στο πιο κάτω ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma},}$ η γωνία $\displaystyle{\angle{B}}$ είναι ορθή, $\displaystyle{A\Delta=7~cm, \Delta B=3~cm, B\Gamma=8~cm}$ και $\displaystyle{E}$ το μέσο του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{A\Gamma E}}$ .

: A_Gymnasiou.png (4.96 KiB) Προβλήθηκε 2316 φορές

(β) Αν $\displaystyle{a, \beta}$ είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο $\displaystyle{68~cm}$ και $\displaystyle{\gamma, \delta}$ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου με περίμετρο $\displaystyle{52~cm,}$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=8\delta+5(\beta+\gamma)+3(a-\delta)+2(6-\beta)}$

Πρόβλημα 2

Τα $\displaystyle{2/5}$ των χρημάτων του Ανδρέα ισούνται με τα χρήματα του Βασίλη και τα $\displaystyle{7/9}$ των χρημάτων του Βασίλη ισούνται με τα χρήματα του Γιάννη. Αν όλοι μαζί έχουν $\displaystyle{1540}$ ευρώ, να βρείτε πόσα χρήματα έχει ο καθένας.

Πρόβλημα 3

Εκατόν άτομα προσκλήθηκαν να γευτούν τουλάχιστον ένα από τα τρία διαφορετικά είδη κρασιού $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ . Αν γνωρίζουμε ότι όποιος γεύτηκε το κρασί $\displaystyle{B}$ γεύτηκε και το κρασί $\displaystyle{A,}$ $\displaystyle{28}$ άτομα γεύτηκαν τα κρασιά $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Gamma,}$ $\displaystyle{34}$ άτομα γεύτηκαν το κρασί $\displaystyle{B,}$ $\displaystyle{45}$ άτομα γεύτηκαν το κρασί $\displaystyle{\Gamma}$ και τέλος ότι $\displaystyle{20}$ άτομα γεύτηκαν και τα τρία κρασιά, να βρείτε πόσα άτομα γεύτηκαν μόνο ένα από τα τρία κρασιά.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε όλους τους τριψήφιους αριθμούς $\displaystyle{\overline{a\beta\gamma}}$ ( $\displaystyle{a, \beta, \gamma}$ ψηφία του τριψήφιου αυτού αριθμού, $\displaystyle{a\neq 0}$ ), έτσι ώστε ο $\displaystyle{a^2+\beta^2+\gamma^2}$ να είναι διαιρέτης του $\displaystyle{26}$ .

JimNt. · #2

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Γυμνασίου.

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Στο πιο κάτω ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma},}$ η γωνία $\displaystyle{\angle{B}}$ είναι ορθή, $\displaystyle{A\Delta=7~cm, \Delta B=3~cm, B\Gamma=8~cm}$ και $\displaystyle{E}$ το μέσο του $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle{A\Gamma E}}$ .

A_Gymnasiou.png

Κάνω μόνο το

γιατί το

είναι πιο απλό. Φέρνουμε το ύψος

του τριγώνου ADE

(το

βρίσκεται στην

). Ισχύει ότι EM || BC

, ως κάθετες στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα. Συνεπώς, αφού

είναι το μέσο της

έπεται ότι

είναι το μέσο της

και ότι

. Είναι λοιπόν, $(AEC)=(ABC)-(ADE)-(BCD)=\frac{10*8}{2}-\frac{7*4}{2}-\frac{3*8}{2}=40-14-12=14$

JimNt. · #3

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Γυμνασίου.

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Τα $\displaystyle{2/5}$ των χρημάτων του Ανδρέα ισούνται με τα χρήματα του Βασίλη και τα $\displaystyle{7/9}$ των χρημάτων του Βασίλη ισούνται με τα χρήματα του Γιάννη. Αν όλοι μαζί έχουν $\displaystyle{1540}$ ευρώ, να βρείτε πόσα χρήματα έχει ο καθένας.

Έστω ότι Ανδρέας έχει

ευρώ. Τότε ο Βασίλης έχει $\frac{2a}{5}$ ευρώ και ο Γιάννης $\frac{14a}{45}$ ευρώ. Έτσι πρέπει: $a+\frac{2a}{5}+\frac{14a}{45}=1540$ ή a=900

Άρα,
Ανδρέας: 900

ευρώ, Βασίλης: 360

ευρώ και Γιάννης: 280

ευρώ.

JimNt. · #4

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω τα θέματα της Α' Γυμνασίου. Θα ακολουθήσουν και τα θέματα Β' και Γ' Γυμνασίου.

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

Εκατόν άτομα προσκλήθηκαν να γευτούν τουλάχιστον ένα από τα τρία διαφορετικά είδη κρασιού $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ . Αν γνωρίζουμε ότι όποιος γεύτηκε το κρασί $\displaystyle{B}$ γεύτηκε και το κρασί $\displaystyle{A,}$ $\displaystyle{28}$ άτομα γεύτηκαν τα κρασιά $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Gamma,}$ $\displaystyle{34}$ άτομα γεύτηκαν το κρασί $\displaystyle{B,}$ $\displaystyle{45}$ άτομα γεύτηκαν το κρασί $\displaystyle{\Gamma}$ και τέλος ότι $\displaystyle{20}$ άτομα γεύτηκαν και τα τρία κρασιά, να βρείτε πόσα άτομα γεύτηκαν μόνο ένα από τα τρία κρασιά.

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι:
A , C : 28-20=8

Όμως

. Επομένως, υπάρχουν

άτομα που ήπιαν μόνο από το

, αφού:
Αν είχαν πιει από το

(όχι υποχρεωτικά μόνο από αυτο) θα είχε καταμετρηθεί , αν είχαν πιεί από το

αναγκαστικά θα ήπιαν και από το

(θα έιχαν καταμετρηθεί),αν είχαν πιεί από τα A, C

θα είχαν καταμετρηθεί και αν είχαν πιεί από τα B,C

θα ήπιαν και από το

(θα είχαν καταμετρηθεί). Επομένως, μένει η περίπτωση κατα την οποία ήπιαν μόνο από το

. Άρα συνολικά τα άτομα που ήπιαν από μόνο από ένα από τα τρία κρασιά είναι 17+41=58

.

JimNt. · #5

Για την τελευταία απλή περιπτωσιολογία για όταν $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1, 2 , 13, 26$

Tolaso J Kos · #6

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1
(β) Αν $\displaystyle{a, \beta}$ είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο $\displaystyle{68~cm}$ και $\displaystyle{\gamma, \delta}$ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου με περίμετρο $\displaystyle{52~cm,}$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A=8\delta+5(\beta+\gamma)+3(a-\delta)+2(6-\beta)}$

Εφόσον το πρώτο ορθογώνιο έχει περίμετρο $\Pi=68$ τότε θα ισχύει $2(a+\beta)=68$ ή $a+\beta=34$ . Όμοια , εφόσον, το δεύτερο ορθογώνιο έχει περίμετρο

για τις διαστάσεις αυτού ισχύει $2(\gamma + \delta) = 52$ ή $\gamma + \delta = 26$ . Οπότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= 8 \delta + 5 \left ( \beta + \gamma \right ) + 3 \left ( a - \delta \right ) + 2 \left ( 6 - \beta \right ) \\ &= 8 \delta + 5 \beta + 5 \gamma + 3a - 3\delta +12 - 2\beta\\ &= 8 \delta +3 \beta + 5 \gamma + 3a -3 \delta + 12 \\ &= 5 \delta + 3 \beta + 5 \gamma + 3a + 12 \\ &=5 \left ( \gamma + \delta \right ) + 3 \left ( a + \beta \right ) + 12 \\ &= 5 \cdot 26 + 3 \cdot 34 + 12 \\ &=244 \end{aligned}}$

Soteris · #7

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το πρόβλημα 3 της Α' Γυμνασίου.

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το πρόβλημα 4 της Α' Γυμνασίου.

Πρόβλημα 3

Ο Πέτρος μπογιατίζει ένα δωμάτιο σε $\displaystyle{15}$ ώρες, ο Γιάννης μπορεί να μπογιατίζει $\displaystyle{50~\%}$ πιο γρήγορα από τον Πέτρο και ο Κώστας μπορεί να μπογιατίζει δυο φορές πιο γρήγορα από τον Πέτρο. Ο Πέτρος ξεκινά να μπογιατίζει το δωμάτιο και για μια ώρα και $\displaystyle{30}$ λεπτά δουλεύει μόνος του. Μετά έρχεται ο Γιάννης και μαζί με το Πέτρο δουλεύουν μαζί, μέχρι που μπογιατίζουν το μισό δωμάτιο. Στην συνέχεια, έρχεται ο Κώστας και συνεχίζουν όλοι μαζί να δουλεύουν, μέχρι να μπογιατίσουν το δωμάτιο. Να βρείτε από την ώρα που ξεκίνησε ο Πέτρος, πόσα συνολικά λεπτά χρειάστηκαν και οι τρεις να τελειώσουν το βάψιμο του δωματίου.

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται η τετράγωνη αυλή πλευράς μήκους $\displaystyle{12~m}$ . Στο εσωτερικό της αυλής θα κατασκευαστεί μια μικρή παιδική πισίνα, επίσης τετράγωνου σχήματος, πλευράς μήκους $\displaystyle{8~m}$ . Στο χώρο της αυλής, γύρω από την πισίνα (σκιασμένο εμβαδόν), θα τοποθετηθούν πλακάκια. Να υπολογίσετε το ποσοστό με το οποίο θα πρέπει να αυξηθεί το μήκος της πλευράς της πισίνας, έτσι ώστε το εμβαδόν της επιφάνειας όπου θα τοποθετηθούν πλακάκια να ελαττωθεί κατά $\displaystyle{45~\%}$ .

: B' Gymnasiou 2016.PNG (3.71 KiB) Προβλήθηκε 2127 φορές

JimNt. · #8

Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται η τετράγωνη αυλή πλευράς μήκους $\displaystyle{12~m}$ . Στο εσωτερικό της αυλής θα κατασκευαστεί μια μικρή παιδική πισίνα, επίσης τετράγωνου σχήματος, πλευράς μήκους $\displaystyle{8~m}$ . Στο χώρο της αυλής, γύρω από την πισίνα (σκιασμένο εμβαδόν), θα τοποθετηθούν πλακάκια. Να υπολογίσετε το ποσοστό με το οποίο θα πρέπει να αυξηθεί το μήκος της πλευράς της πισίνας, έτσι ώστε το εμβαδόν της επιφάνειας όπου θα τοποθετηθούν πλακάκια να ελαττωθεί κατά $\displaystyle{45~\%}$ .

B' Gymnasiou 2016.PNG

Λύνω πρώτα αυτό γιατί το άλλο είναι λίγο πιο χρονοβόρο. Το εμβαδόν της επιφάνειας των πλακακίων είναι ίσο με $12^{2}-8^{2}=80 m^{2}$ .Το εμβαδόν της επιφάνειας των πλακακίων θα πρέπει να ελαττωθεί κατά $45~\%$ , δηλαδή να γίνει ίσο με $\frac{55}{100} *80=44m^{2}$ . Άρα το εμβαδόν της πισίνας πρέπει να γίνει $144-44=100m^{2}$ . Επομένως, η πλευρά της πισίνας θα αυξηθεί κατά

, που είναι ίσο με το $25~\%$ της πλευράς που έχει τώρα.

Soteris · #9

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}+y}=\dfrac{\sqrt{x}-y}{x-y^2}}$

(β) Να βρείτε την τιμή του ακέραιου αριθμού $\displaystyle{n}$ , για τον οποίο ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=15}$

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το πρόβλημα 3 της B' Γυμνασίου.

Πρόβλημα 3

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a, b, c, x}$ με $\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)\neq 0}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τις συνθήκες:

$\displaystyle{\begin{cases} \dfrac{a^2}{a+b}=\dfrac{a^2}{a+c}+35\\ \\ \dfrac{b^2}{b+c}=\dfrac{b^2}{b+a}+11\\ \\ \dfrac{c^2}{c+a}=\dfrac{c^2}{c+b}+x \end{cases}}$

Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα $\displaystyle{\rm{AB}\parallel \rm{\Delta\Gamma}, \rm{E}}$ και $\displaystyle{\rm{Z}}$ σημεία των $\displaystyle{\rm{AB}}$ και $\displaystyle{\rm{\Delta\Gamma}}$ , αντίστοιχα. Τα $\displaystyle{\rm{AZ, BZ, E\Delta}}$ και $\displaystyle{\rm{E\Gamma}}$ είναι ευθύγραμμα τμήματα και οι αριθμοί $\displaystyle{19,21, x}$ και $\displaystyle{57}$ αντιπροσωπεύουν τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων. Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

: B4_2016.PNG (11.32 KiB) Προβλήθηκε 2008 φορές

Tolaso J Kos · #10

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1

(α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}+y}=\dfrac{\sqrt{x}-y}{x-y^2}}$

(β) Να βρείτε την τιμή του ακέραιου αριθμού $\displaystyle{n}$ , για τον οποίο ισχύει η σχέση: $\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=15}$

α) Κάνοντας χιαστί και εκτελώντας τις πράξεις φτάνουμε σε κάτι που ισχύει.

β) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{\nu+1} + \sqrt{\nu}} = 15 & \Leftrightarrow \sum_{\kappa=1}^{\nu} \frac{1}{\sqrt{\kappa+1}+ \sqrt{\kappa}} = 15 \\ &\Leftrightarrow \sum_{\kappa=1}^{\nu} \frac{\sqrt{\kappa+1} - \sqrt{\kappa}}{\left ( \sqrt{\kappa+1} + \sqrt{\kappa} \right )\left ( \sqrt{\kappa+1} - \sqrt{\kappa} \right )} = 15 \\ &\Leftrightarrow \sum_{\kappa=1}^{\nu} \left ( \sqrt{\kappa+1} - \sqrt{\kappa} \right ) =15 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\! \overset{\text{\gr τηλεσποπικό}}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} \sqrt{\nu+1} - 1 = 15 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{\nu+1} = 16 \\ &\Leftrightarrow \nu +1 = 16^2 \\ &\Leftrightarrow \nu = 16^2 -1 \\ &\Leftrightarrow \nu = 255 \end{aligned}}$

nikkru · #11

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα $\displaystyle{\rm{AB}\parallel \rm{\Delta\Gamma}, \rm{E}}$ και $\displaystyle{\rm{Z}}$ σημεία των $\displaystyle{\rm{AB}}$ και $\displaystyle{\rm{\Delta\Gamma}}$ , αντίστοιχα. Τα $\displaystyle{\rm{AZ, BZ, E\Delta}}$ και $\displaystyle{\rm{E\Gamma}}$ είναι ευθύγραμμα τμήματα και οι αριθμοί $\displaystyle{19,21, x}$ και $\displaystyle{57}$ αντιπροσωπεύουν τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων. Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{x}$ .

B4_2016.PNG

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2016 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση