Αρχιμήδης 2016-2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Δευ Φεβ 20, 2017 9:09 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 13 Seniors
Η ακολουθία a_{n} ορίζεται από την σχέση:
2a_{n+1}+2=a_{n+2}+a_{n}, n\ge1 και
a_{1}=2, a_{2}=5 Να βρεθούν οι διάφορες τιμές
του θετικού ακέραιου c για τον οποίο ισχύει ότι
ο αριθμός a_{c}^2+a_{c+1} είναι τέλειο τετράγωνο
Αρχικά παρατηρούμε πως ισχύει για c=1
Έστω τώρα c>1
Επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε πως a_n=(n-1)a_2+(n-2)(n-1)-(n-2)a_1=n^2+1
Άρα a_{c}^2+a_{c+1}=c^4+3c^2+2c+1 ,όμως για c>1 ισχύει:
(c^2+1)^2<c^4+3c^2+2c+1<(c^2+2)^2
Άρα μοναδική λύση είναι το c=1


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος

Λέξεις Κλειδιά:
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Φεβ 20, 2017 10:39 pm

Friedoon έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 2 Seniors
Αν για τα πολυώνυμα P(x)=ax^3+bx^2+cx+d και Q(x)=(a-b)x^3+(b-c)x^2+(c-d)x+d-a όπου a,b,c,d μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι:
1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς 2 κοινές ρίζες.
2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξονα x'x σε ακριβώς 3 διαφορετικά σημεία
3)Αν r,s\in\mathbb{R} : P(r)=0 , Q(s)=0 , P(s)Q(r)\not=0 τότε s-r=5
Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα P(x),Q(x) συναρτήσει του a.
Ουσιαστικά έχουμε 2 πολυώνυμα 3ου βαθμού που το καθένα έχει 3 ρίζες,2 εκ των οποίων είναι κοινές.
Παρατηρούμε πως Q(1)=0 και διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
1) το 1 είναι μη κοινή ρίζα των πολυωνύμων , τότε
s=1 και r=-4.Τώρα από τους τύπους του Vieta έχουμε τα εξής.
x+y=4-\frac{b}{a} (1) ,
xy-4(x+y)=\frac{c}{a} (2) ,
-4xy=-\frac{d}{a} (3) ,
x+y=-1+\frac{c-b}{a-b} (4),
xy+x+y=\frac{c-d}{a-b} (5),
xy=\frac{a-d}{a-b} (6),
όπου χ,y οι 2 κοινές ρίζες.
λύνοντας διαδοχικά για κάθε μεταβλητή βρίσκουμε πως :
b=4a,
c=a και
d=4a
2) Το 1 είναι κοινή ρίζα, τότε απο τους τύπους του Vieta θα έχουμε :
Όπου και θα πάρουμε ένα σύστημα 7 μετβλητών και 8 εξισώσεων.

Θα χρειαστεί να λύσω τo παραπάνω σύστημα,ή μου διαφεύγει κάτι;
Νομίζω είναι εμφανές πως δεν θα έβαζα στον κόπο κάποιο λύτη να ακολουθήσει αυτόν τον δρόμο.
Υπάρχει και ένας πιο όμορφος τρόπος!


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Φεβ 20, 2017 10:48 pm

simantiris j. έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 30 Seniors
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση:
P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R}.
Καλησπέρα!Μια λύση για αυτήν.
P(0,0)\Rightarrow f(f(0)=0
P(f(0),f(0))\Rightarrow f(0)=f(0)(f(0)+1)\Rightarrow f(0)=0.
P(0,y)\Rightarrow f(f(y))=y άρα η f είναι 1-1.
P(x,1)\Rightarrow f(x+f(1))=f(x)+1 όπου για x το f(x) έχουμε f(f(x)+f(1))=x+1=f(f(x+1))\Rightarrow f(x+1)=f(x)+f(1) (λόγω του 1-1),άρα είναι και f(f(x)+1)=x+f(1)(1).
P(1,x)\Rightarrow f(f(x)+1)+f(xf(1))=2x+f(1)\Rightarrow f(xf(1))=x (χρησιμοποιήθηκε η (1))
Αν f(1)=0 έχω άτοπο άρα στην προηγούμενη θέτοντας όπου x το x/f(1) έχω f(x)=cx και με αντικατάσταση στην αρχική παίρνω ότι c=1 ήc=-1.
Άρα f(x)=x, \forall x\in \mathbb{R} ή f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}.
Πάρα πολύ όμορφα!


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#124

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Πέμ Φεβ 23, 2017 2:16 pm

Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 560
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#125

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Φεβ 23, 2017 2:34 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!
:clap2: για τον χρόνο που αφιέρωσες!


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#126

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Φεβ 23, 2017 2:35 pm

JimNt. έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Λόγω Αρχιμήδη δεν έχω αρκετό χρόνο να ετοιμάσω παραπάνω ασκήσεις. Καλή επιτυχία σε όσους θα συμμετάσχουν!
:clap2: για τον χρόνο που αφιέρωσες!
:clap: Μπράβο και απο εμένα μας βοηθήσεις ιδιαίτερα!

Καλή τύχη σου εύχομαι.


Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

#127

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Παρ Φεβ 24, 2017 3:37 pm

WLOG έγραψε:Άσκηση 6 (Seniors)

Αν \displaystyle{P(x), Q(x), R(x), S(x)} είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:

\displaystyle{P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5}) = (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)S(x)}

Να δείξετε ότι το \displaystyle{x-1} διαιρεί το \displaystyle{P(x).}
Επειδή (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)=(x-w)(x-w^2)(x-w^3)(x-w^4) ,
όπου w=Cis\frac{2\pi}{5}
Άρα:
P(1)+wQ(1)+w^2R(1)=0 (1)
P(1)+w^2Q(1)+w^4R(1)=0 (2)
P(1)+w^3Q(1)+w^6R(1)=0 (3)
P(1)+w^4Q(1)+w^8R(1)=0
Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε πως :
4P(1)=Q(1)+R(1)
Ακόμα (2)-(1)\Rightarrow:
w^2Q(1)-wQ(1)+w^4R(1)-w^2R(1)=w(w-1)[Q(1)+w^2R(1)+wR(1)]=0 \Leftrightarrow Q(1)+w^2R(1)+wR(1)=0
Q(1)(1-w)+wR(1)=P(1)
και (3)-(2)\Rightarrow
w^3Q(1)-w^2Q(1)+w^6R(1)-w^4R(1)=0 \Leftrightarrow w^2(w-1)[Q(1)+w^3R(1)+w^2R(1)]=0
\Leftrightarrow Q(1)(1-w)+w^3R(1)=P(1)
Από τις παραπάνω σχέσεις είναι φανερό πως :
w^3R(1)=wR(1) \Leftrightarrow R(1)=0
Άρα 4P(1)=Q(1)
Άρα αντικαθιστώντας στην (1): P(1)(1+4w)=0 \Leftrightarrow P(1)=0 και το ζητούμενο έπεται.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης