Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015 (8η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

[b][i]Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)[/i][/b]

[b]1.[/b] Οι ακέραιοι μη μηδενικοί αριθμοί a,b,c,d

είναι τέτοιοι, ώστε $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{b}{c}+\dfrac{d}{a}$ . Επιπλέον αυτά τα τέσσερα κλάσματα είναι ανάγωγα, δεν είναι ακέραιοι αριθμοί και δεν είναι απαραίτητα θετικά. Να βρείτε το ad+bc

.

[b]2.[/b] Σε τραπέζιο ABCD

το σημείο

είναι το μέσο της πλάγιας πλευράς του

και το σημείο

είναι το ίχνος της καθέτου από το

προς την άλλη πλάγια πλευρά

. Αν $3AK \leq KD$ να αποδείξετε, ότι $AB+CD \geq 2AF$ .

[b]3.[/b] Ο σκακιστικός πεσσός «καγκουρό» απειλεί 8 τετράγωνα τα οποία είναι δυο ή τρία τετράγωνα αριστερά, δεξιά, πάνω ή κάτω από την παρούσα θέση του (δεν απειλεί τα γειτονικά τετράγωνα). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός καγκουρό που μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μια $8 \times 8$ σκακιέρα ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους;

[b]4.[/b] Δίνονται 30 διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί για κάθε έναν από τους οποίους το προτελευταίο ψηφίο είναι μεγαλύτερο του 5. Για όλους αυτούς τους αριθμούς εκτελούμε την Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρέτη το 99 και τα πηλίκα και υπόλοιπα που προκύπτουν τα καταγράφουμε στο πίνακα. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα στους 60 καταγραμμένους αριθμούς τουλάχιστον 9 είναι διαφορετικοί.

[b]Καταληκτική αίθουσα (**)[/b]

[b]5.[/b] Δίνονται οι θετικοί αριθμοί $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ . Προέκυψε ότι ο $a_{k}$ είναι πέντε φορές μεγαλύτερος από τον μέσο όρο όλων των αριθμών. Ποια είναι ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο

;

[b]6.[/b] Σε τρίγωνο ABC

με $\angle B = 2 \angle C$ φέρουμε την διχοτόμο

. Στην πλευρά

θεωρούμε σημείο

τέτοιο, ώστε AB=CD

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι τα εμβαδά των τριγώνων ALD

και

είναι ίσα.

[b]7.[/b] Κάθε μέλος του συλλόγου εύθυμης αχρωματοψίας γνωρίζεται το πολύ με άλλα δέκα μέλη. Ο σύλλογος αγόρασε γάντια 23 διαφορετικών χρωμάτων (γάντια του ίδιου χρώματος είναι απεριόριστα). Στην πρωτοχρονιάτικη δεξίωση του συλλόγου τα μέλη προσέρχονταν ο ένας μετά τον άλλον και ο καθένας, με την είσοδό του, έβρισκε, ότι τα μέλη με τα οποία γνωρίζεται και ήδη έχουν προσέλθει, γνωρίζονται και μεταξύ τους. Να αποδείξετε, ότι μετά την αλλαγή του χρόνου (που δίνονται τα δώρα) σε κάθε μέλος του συλλόγου μπορούμε να δωρίσουμε γάντια διαφορετικού χρώματος έτσι, ώστε δυο οποιαδήποτε μέλη που γνωρίζονται μεταξύ τους να έχουν γάντια τεσσάρων διαφορετικών χρωμάτων και οποιαδήποτε δυο μέλη που έχουν κοινό γνωστό, γάντια τουλάχιστον τριών διαφορετικών χρωμάτων.

[size=85][i](*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν δυο από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα τρία σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.[/i]

Στατιστικά: Στον πρώτο πίνακα αναγράφεται ο αριθμός των λυτών ανά θέμα (πόσοι έλυσαν το πρώτο, δύτερο θέμα κτλ.). Στον δεύτερο πίνακα ο αριθμός των μαθητών ανά πλήθος θεμάτων που έλυσαν(πόσοι έλυσαν ένα, δυο κτλ θέματα).

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr τάξη} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \text{\gr σύνολο} &\text{\gr καταληκτική} \\ \hline 8 & 27 & 63 & 20 & 9 & 18 & 15 & 4 & 94 & 32 \\ \hline \end{tabular}$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr τάξη} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 34 & 6 & 13 & 2 & 7 & 0 & 4 \\ \hline \end{tabular}$ [/size]

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

2. Σε τραπέζιο το σημείο είναι το μέσο της πλάγιας πλευράς του και το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το προς την άλλη πλάγια πλευρά . Αν $3AK \leq KD$ να αποδείξετε, ότι $AB+CD \geq 2AF$ .

Έστω

μέσο του

: Πετρούπολη 2015 ΙΙΦ 8_2.png (8.49 KiB) Προβλήθηκε 2303 φορές

$\displaystyle{3AK \le KD \Leftrightarrow AK \le \frac{{AD}}{4} = \frac{{AE}}{2} \Leftrightarrow AK \le KE \Leftrightarrow AF \le FE = \frac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AB + CD \ge 2AF}$

JimNt. · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

1. Οι ακέραιοι μη μηδενικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}= \dfrac{b}{c}+\dfrac{d}{a}$ . Επιπλέον αυτά τα τέσσερα κλάσματα είναι ανάγωγα, δεν είναι ακέραιοι αριθμοί και δεν είναι απαραίτητα θετικά. Να βρείτε το .

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι (a,b)=(b,c)=(c,d)=(d,a)=1

. Η αρχική γίνεται: a^2cd+c^2ba=b^2da+d^2bc

. Πρέπει λοιπόν a|d^2bc

$\Leftrightarrow$ a|c

. Ομoίως παίρνουμε: c|a

,

. Συνεπώς, |a|=|c|,|b|=|d|

. Αν

, η αρχική γίνεται: $\frac{a}{b}+\frac{a}{d}=\frac{b}{a}+\frac{d}{a}$ $\Leftrightarrow$ a^2d+a^2b=b^2d+d^2b

, αν

, έχουμε άτοπο. Συνεπώς, b=-d

, αντικαθιστούμε και παίρνουμε: 0=0

, που ισχύει. Συνεπώς, σε αυτήν την περίπτωση ad+bc=a(b+d)=0

. Ομοίως και στην άλλη.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

Καταλληκτική αίθουσα (**)

6. Σε τρίγωνο με $\angle B = 2 \angle C$ φέρουμε την διχοτόμο . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι τα εμβαδά των τριγώνων και είναι ίσα.

: Πετρούπολη 2015 ΙΙΦ 8_6.png (21.36 KiB) Προβλήθηκε 2288 φορές

Προφανώς

οπότε τα τρίγωνα BAL, CDL

είναι ίσα (Π-Γ-Π), άρα $\displaystyle{AL = LD,{\omega _1} = {\omega _2} \Leftrightarrow L\widehat AD = A\widehat DL = \widehat C},$

απ' όπου προκύπτει ότι $\displaystyle{AD = DC = AB = c}.$ Τα τρίγωνα ALD

και

έχουν μία γωνία ίση άρα:

$\displaystyle{\frac{{(ALD)}}{{(CLT)}} = \frac{{AL \cdot LD}}{{LT \cdot LC}} = \frac{{AL}}{{LC}} \cdot \frac{{AL}}{{LT}} = \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{c} = 1}$ (*) και το ζητούμενο έπεται.

(*) Είναι $\displaystyle{\frac{{AL}}{{LT}} = \frac{a}{c}}$ , επειδή τα τρίγωνα TLA, ABC

είναι όμοια.

nikkru · #5

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

5. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ . Προέκυψε ότι ο $a_{k}$ είναι πέντε φορές μεγαλύτερος από τον μέσο όρο όλων των αριθμών. Ποια είναι ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο ;

Έστω $\displaystyle{A=a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}}$ και $\displaystyle{B=a_k+\cdots+a_{2015}}$

Αν $\bar{x}$ ο μέσος όρος όλων των αριθμών, τότε $a_k=5\bar{x}$ .

Αφού $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ , άρα $B>(2015-k+1)a_k\Leftrightarrow B>5(2016-k)\bar{x}\,\,(1)$

Η σχέση $\displaystyle{\bar{x}=\frac{A+B}{2015}}\Leftrightarrow A=2015\bar{x}-B$ λόγω της (1)

γίνεται: $A<2015\bar{x}-5(2016-k)\bar{x}\Leftrightarrow A<(5k-8065)\bar{x}$ .

Τα $A,\bar{x}>0$ οπότε $\displaystyle{k>\frac{8065}{5}}\Leftrightarrow k>1613$ , δηλαδή η ελάχιστη τιμή του

είναι το

.

#6

nikkru έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

5. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ . Προέκυψε ότι ο $a_{k}$ είναι πέντε φορές μεγαλύτερος από τον μέσο όρο όλων των αριθμών. Ποια είναι ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο ;
Έστω $\displaystyle{A=a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}}$ και $\displaystyle{B=a_k+\cdots+a_{2015}}$

Αν $\bar{x}$ ο μέσος όρος όλων των αριθμών, τότε $a_k=5\bar{x}$ .

Αφού $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ , άρα $B>(2015-k+1)a_k\Leftrightarrow B>5(2016-k)\bar{x}\,\,(1)$

Η σχέση $\displaystyle{\bar{x}=\frac{A+B}{2015}}\Leftrightarrow A=2015\bar{x}-B$ λόγω της γίνεται: $A<2015\bar{x}-5(2016-k)\bar{x}\Leftrightarrow A<(5k-8065)\bar{x}$ .

Τα $A,\bar{x}>0$ οπότε $\displaystyle{k>\frac{8065}{5}}\Leftrightarrow k>1613$ , δηλαδή η ελάχιστη τιμή του είναι το .

Πρέπει να δοθεί και παράδειγμα με k=1614

.

Περισσότερο ενδιαφέρον θα παρουσίαζε αν η άσκηση έλεγε ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι. (Τότε η απάντηση αλλάζει.) Υποψιάζομαι μάλιστα πως αυτή είναι η εκφώνηση μιας και πρόκειται για την άσκηση

. Αλέξανδρε, μπορείς να μας διαφωτίσεις;

Επεξεργασία: Το κοκκινισμένο είναι λάθος. Δείτε πιο κάτω.

Al.Koutsouridis · #7

Demetres έγραψε:
Πρέπει να δοθεί και παράδειγμα με .

Περισσότερο ενδιαφέρον θα παρουσίαζε αν η άσκηση έλεγε ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι. (Τότε η απάντηση αλλάζει.) Υποψιάζομαι μάλιστα πως αυτή είναι η εκφώνηση μιας και πρόκειται για την άσκηση . Αλέξανδρε, μπορείς να μας διαφωτίσεις;

Καλημέρα κ.Δημήτρη,

Η άσκηση λέει "αριθμούς" και όχι συγκεκριμένα ακέραιους αριθμούς. Έχω κρατήσει, προσπαθώ δηλαδή, την αυτολεξή μετάφραση(για αυτό και ίσως καμιά φορά να μην "ταιριάζουν" στα ελληνικά). Στα ρώσικα βιβλία, θέματα κτλ όταν αναφέρονται απλά σαν αριθμοί (χωρίς κάποιο προσδιορισμό ακέραιοι, φυσικοί) εννοούνται οι πραγματικοί, εκτός αν έχουμε να κάνουμε με κάποια πολύ μικρή τάξη. Οπότε το πρόβλημα κατα 99% έχει να κάνει με πραγματικούς.

Ως αναφορά αυτό κάθε αυτό το πρόβλημα σύχνα στα προβλήματα μεγίστου/ελαχίστου ξεχνάμε, αμελούμε να δείξουμε ότι η μέγιστη/ελάχιστη τιμή όντως επιτυγχάνεται, που αν πάμε ας το πούμε κατά το γράμμα του νόμου, πρέπει να ξεκινάμε από εκεί. Εδώ μπορεί να φαίνεται σχετικά προφανές ότι εφόσον είναι πραγματικοί θα υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί, αλλά δεν παύει να έχει ενδιαφέρον να βρούμε ένα τέτοιο παράδειγμα και μάλιστα έχει και την δυσκολία του.

Και ένα σχόλιο σχετικά με τον τρόπο διεξαγωγής/εξέτασης της συγκεκριμμένης ολυμπιάδας. Ο μαθητή έχει τρεις προσπάθειες να εξηγήσει την λύση του σε κάποιο εξεταστή. Πέρα απο αυτές ακόμα και αν το λύσει αργότερα δεν θα προσμετρηθεί. Αυτό γίνεται λόγω του προφορικού της εξέτασης για να μην σπαταλάται πολύς χρόνος. Επίσης εκτός από κάποιοες εξεραίσεις, μερικώς λυμένα θέματα δεν προσμετρώνται για αυτό και στα στατιστικά δεν υπάρχουν 2,5 ή 3,5 κτλ λυμένα θέματα. Σε μια τέτοια περίπτωση ο εξεταστής αναφαίρει στο μαθητή οτι η λύση του δεν είναι πλήρης και πρέπει να βρει τι της λείπει και να την συμπληρώσει.

nikkru · #8

Demetres έγραψε:
nikkru έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

5. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ . Προέκυψε ότι ο $a_{k}$ είναι πέντε φορές μεγαλύτερος από τον μέσο όρο όλων των αριθμών. Ποια είναι ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο ;
Έστω $\displaystyle{A=a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}}$ και $\displaystyle{B=a_k+\cdots+a_{2015}}$

Αν $\bar{x}$ ο μέσος όρος όλων των αριθμών, τότε $a_k=5\bar{x}$ .

Αφού $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ , άρα $B>(2015-k+1)a_k\Leftrightarrow B>5(2016-k)\bar{x}\,\,(1)$

Η σχέση $\displaystyle{\bar{x}=\frac{A+B}{2015}}\Leftrightarrow A=2015\bar{x}-B$ λόγω της γίνεται: $A<2015\bar{x}-5(2016-k)\bar{x}\Leftrightarrow A<(5k-8065)\bar{x}$ .

Τα $A,\bar{x}>0$ οπότε $\displaystyle{k>\frac{8065}{5}}\Leftrightarrow k>1613$ , δηλαδή η ελάχιστη τιμή του είναι το .
Πρέπει να δοθεί και παράδειγμα με .

Περισσότερο ενδιαφέρον θα παρουσίαζε αν η άσκηση έλεγε ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι. (Τότε η απάντηση αλλάζει.) Υποψιάζομαι μάλιστα πως αυτή είναι η εκφώνηση μιας και πρόκειται για την άσκηση . Αλέξανδρε, μπορείς να μας διαφωτίσεις;

Και ο Αλέξανδρος μου ανέφερε ότι καλό είναι να αναφερθεί μια λύση για k=1614

.

Στο δεκάλεπτο που έχω, γράφω μια λύση (όχι και τόσο κομψή και με επιφύλαξη ως προς την ορθότητα).

$\displaystyle{a_k=3+\frac{k-806}{1613}}$ για $1\leq k\leq 1613$ , $a_{1614}=5240$ και $\displaystyle{a_k=5241+\frac{k-1814}{403}}$ για $1615\leq k\leq 2015$

#9

Al.Koutsouridis έγραψε:
4. Δίνονται 30 διαφορετικοί θετικοί φυσικοί αριθμοί για κάθε έναν από τους οποίους το προτελευταίο ψηφίο είναι μεγαλύτερο του 5. Για όλους αυτούς τους αριθμούς εκτελούμε την Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρέτη το 99 και τα πηλίκα και υπόλοιπα που προκύπτουν τα καταγράφουμε στο πίνακα. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα στους 60 καταγραμμένους αριθμούς τουλάχιστον 9 είναι διαφορετικοί.

Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί ένας από τους αριθμούς να αφήνει το ίδιο πηλίκο και υπόλοιπο. Πράγματι αν τόσο το πηλίκο όσο και το υπόλοιπο ήταν ίσα με

τότε ο αριθμός θα ήταν ο 99r+r = 100r

, άτοπο αφού το προτελευταίο ψηφίο του ισούται με

.

Θα δείξω τώρα ότι δεν υπάρχουν δύο από τους αριθμούς ώστε το πηλίκο του ενός να ισούται με το υπόλοιπο του άλλου και αντιστρόφως. Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση οι δυο αριθμοί x,y

ισούνται με 99q+r

και

για κάποια q,r

. Τότε όμως x+y = 100(q+r)

. Αυτό όμως είναι αδύνατο αφού αν τα προτελευταία ψηφία των x,y

είναι πολλαπλάσια του

, τότε το

δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο του 100

.

Έστω

το σύνολο όλων των πηλίκων και υπολοίπων που καταγράψαμε και έστω $|A| \leqslant 8$ . Τότε το

έχει το πολύ $\binom{8}{2} = 28$ υποσύνολα δύο στοιχείων. Από τα πιο πάνω όμως, κάθε ένας από τους

αριθμούς που ξεκινήσαμε αντιστοιχεί σε διαφορετικό υποσύνολο δύο στοιχείων. Αυτό είναι άτοπο.

$\rule{100pt}{0.5pt}$

Το ίδιο συμπέρασμα ισχύει ακόμη και αν επιτρέψουμε το προτελευταίο ψηφίο να ισούται με

. Πράγματι στην δεύτερη παράγραφο πάλι θα καταλήγαμε σε άτοπο εκτός και αν q=r=50

. Αλλά ήδη απορρίψαμε την περίπτωση q=r

στην πρώτη παράγραφο.

nikkru · #10

Demetres έγραψε:
nikkru έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

5. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ . Προέκυψε ότι ο $a_{k}$ είναι πέντε φορές μεγαλύτερος από τον μέσο όρο όλων των αριθμών. Ποια είναι ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο ;
Περισσότερο ενδιαφέρον θα παρουσίαζε αν η άσκηση έλεγε ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι. (Τότε η απάντηση αλλάζει.) Υποψιάζομαι μάλιστα πως αυτή είναι η εκφώνηση μιας και πρόκειται για την άσκηση . Αλέξανδρε, μπορείς να μας διαφωτίσεις;

Θα δούμε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_{1} < a_{2},… < a_{2015}$ για k=1614

.

Θεωρούμε $a_1=1,\, a_2=2,\, a_3=3,\cdots , a_{1613}=1613\,$ και $a_{1614}=n,\, a_{1615}=n+1,\,\cdots a_{2015}=n+401$ .

Τότε, $\displaystyle{\frac{(1+2+\cdots+1613)+(n+(n+1)+\cdots+(n+401)))}{2015}=\frac{n}{5}}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1613}{2}(1+1613)+\frac{402}{2}(n+n+401)=\frac{n}{5}2015}$ $\Leftrightarrow 807\cdot1613+201\cdot401=n\Leftrightarrow n=1.382.292$ .

Οπότε για k=1614

μια λύση είναι οι αριθμοί: $1,\,2,\,3,\,\cdots,1612,\,1613,\,1.382.292,\,1.382.293,\cdots,1.382.693$ .

#11

Demetres έγραψε: Περισσότερο ενδιαφέρον θα παρουσίαζε αν η άσκηση έλεγε ότι οι αριθμοί είναι ακέραιοι. (Τότε η απάντηση αλλάζει.) Υποψιάζομαι μάλιστα πως αυτή είναι η εκφώνηση μιας και πρόκειται για την άσκηση . Αλέξανδρε, μπορείς να μας διαφωτίσεις;
.

Χωρίς να κάνω τις πράξεις ήμουν σίγουρος ότι η τελική απάντηση άλλαζε. Εν τέλει το παράδειγμα του nikkru πιο πάνω δείχνει ότι η απάντηση εξακολουθεί να παραμένει η ίδια.

#12

Al.Koutsouridis έγραψε:
7. Κάθε μέλος του συλλόγου εύθυμης αχρωματοψίας γνωρίζεται το πολύ με άλλα δέκα μέλη. Ο σύλλογος αγόρασε γάντια 23 διαφορετικών χρωμάτων (γάντια του ίδιου χρώματος είναι απεριόριστα). Στην πρωτοχρονιάτικη δεξίωση του συλλόγου τα μέλη προσέρχονταν ο ένας μετά τον άλλον και ο καθένας, με την είσοδό του, έβρισκε, ότι τα μέλη με τα οποία γνωρίζεται και ήδη έχουν προσέλθει, γνωρίζονται και μεταξύ τους. Να αποδείξετε, ότι μετά την αλλαγή του χρόνου (που δίνονται τα δώρα) σε κάθε μέλος του συλλόγου μπορούμε να δωρίσουμε γάντια διαφορετικού χρώματος έτσι, ώστε δυο οποιαδήποτε μέλη που γνωρίζονται μεταξύ τους να έχουν γάντια τεσσάρων διαφορετικών χρωμάτων και οποιαδήποτε δυο μέλη που έχουν κοινό γνωστό, γάντια τουλάχιστον τριών διαφορετικών χρωμάτων.

Θα τους δίνουμε τα γάντια όπως προσέρχονται.

Έστω ότι καταφθάνει ένα μέλος και ότι ήδη

από τους γνωστούς του έχουν προσέλθει. Όλοι αυτοί γνωρίζονται μεταξύ τους οπότε κάθε ένας γνωρίζει το πολύ άλλα 10-k

άτομα τα οποία ήδη έχουν προσέλθει.

Στο μέλος που κατέφθασε πρέπει να δώσουμε δύο γάντια και έχουμε 23-2k

χρώματα στην διάθεσή μας ώστε με κάθε γνωστό του να έχουν γάντια τεσσάρων διαφορετικών χρωμάτων. Έχουμε λοιπόν $\binom{23-2k}{2}$ δυνατές επιλογές. Από αυτές πρέπει να απορρίψουμε τις επιλογές όπου μαζί με ένα άλλο μέλος που έχει ήδη προσέλθει και που έχουν κοινό γνωστό δώσαμε γάντια μόνο δύο χρωμάτων. Συνολικά όμως υπάρχουν το πολύ k(10-k)

τέτοια μέλη. Αν λοιπόν δειχθεί ότι $\displaystyle{ \binom{23-2k}{2} > (10-k)k}$ τότε τελειώσαμε.

Όμως μετά από πράξεις καταλήγουμε στο

$\displaystyle{ \binom{23-2k}{2} - (10-k)k =3\left( k - \frac{55}{6}\right)^2 + \frac{11}{12} > 0}$

nikkru · #13

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

3. Ο σκακιστικός πεσσός «καγκουρό» απειλεί 8 τετράγωνα τα οποία είναι δυο ή τρία τετράγωνα αριστερά, δεξιά, πάνω ή κάτω από την παρούσα θέση του (δεν απειλεί τα γειτονικά τετράγωνα). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός καγκουρό που μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μια $8 \times 8$ σκακιέρα ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους;

Χρωματίζουμε μπλε τα κελιά στο οποία βρίσκεται καγκουρό και κίτρινα τα κελιά που απειλούνται από ένα τουλάχιστον καγκουρό.

Σε κάθε πεντάδα διαδοχικών κελιών ( γραμμής ή στήλης ) μπορούν να τοποθετηθούν το πολύ δύο καγκουρό που δεν απειλούνται μεταξύ τους
(οι τρεις μοναχικές γραμμές στο σχήμα 1 και οι συμμετρικές τους ).

Καλύπτοντας την σκακιέρα με δώδεκα πεντάδες (σχήμα 2) τοποθετούμε

το πολύ καγκουρό και μένουν κενά τα

κεντρικά κελιά .

Αν τοποθετήσουμε και στα τέσσερα κεντρικά κελιά καγκουρό τότε (σχήμα 3) μένουν ελεύθερες τέσσερις περιοχές των εννιά κελιών που κάθε μια
χωράει το πολύ πέντε "καγκουρό" έτσι έχουμε συνολικά το πολύ

καγκουρό.

Αν όμως τοποθετήσουμε τρία καγκουρό στα τέσσερα κεντρικά κελιά τότε "χωράνε" συνολικά

καγκουρό που είναι και ο μέγιστος αριθμός (σχήμα 4).

: Πετρουπολη_ΦΙΙ_Τ8_Θ3.png (23.7 KiB) Προβλήθηκε 1994 φορές

#14

nikkru έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

3. Ο σκακιστικός πεσσός «καγκουρό» απειλεί 8 τετράγωνα τα οποία είναι δυο ή τρία τετράγωνα αριστερά, δεξιά, πάνω ή κάτω από την παρούσα θέση του (δεν απειλεί τα γειτονικά τετράγωνα). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός καγκουρό που μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μια $8 \times 8$ σκακιέρα ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους;
Χρωματίζουμε μπλε τα κελιά στο οποία βρίσκεται καγκουρό και κίτρινα τα κελιά που απειλούνται από ένα τουλάχιστον καγκουρό.

Σε κάθε πεντάδα διαδοχικών κελιών ( γραμμής ή στήλης ) μπορούν να τοποθετηθούν το πολύ δύο καγκουρό που δεν απειλούνται μεταξύ τους
(οι τρεις μοναχικές γραμμές στο σχήμα 1 και οι συμμετρικές τους ).

Καλύπτοντας την σκακιέρα με δώδεκα πεντάδες (σχήμα 2) τοποθετούμε το πολύ καγκουρό και μένουν κενά τα κεντρικά κελιά .

Αν τοποθετήσουμε και στα τέσσερα κεντρικά κελιά καγκουρό τότε (σχήμα 3) μένουν ελεύθερες τέσσερις περιοχές των εννιά κελιών που κάθε μια
χωράει το πολύ πέντε "καγκουρό" έτσι έχουμε συνολικά το πολύ καγκουρό.

Αν όμως τοποθετήσουμε τρία καγκουρό στα τέσσερα κεντρικά κελιά τότε "χωράνε" συνολικά καγκουρό που είναι και ο μέγιστος αριθμός (σχήμα 4).

Πετρουπολη_ΦΙΙ_Τ8_Θ3.png

Να προσθέσω ότι υπάρχουν μόνο

τρόποι να τοποθετήσουμε

καγκουρό. Αυτός τους σχήματος

και οι περιστροφές του. Δεν είναι δύσκολο να δειχθεί μετά την πιο πάνω απόδειξη αλλά είναι φασαρία να γραφτεί. Το πρώτο βήμα είναι να δούμε ότι το $2\times 3$ και $3 \times 2$ ορθογώνια που περιτριγυρίζουν το κεντρικό $2\times 2$ τετράγωνο πρέπει να έχουν από ένα καγκουρό το καθένα. Υπάρχει μοναδικός τρόπος να τοποθετηθούν. Το επόμενο βήμα είναι να παρατηρήσουμε ότι οι πεντάδες του σχήματος 2 αλλά και οι συμμετρικές τους πρέπει να έχουν από 2 καγκουρό όπως στο σχήμα 1. Πλέον ένα ένα τα καγκουρό καθορίζονται στο που πρέπει να βρίσκονται.

mikemoke · #15

nikkru έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

3. Ο σκακιστικός πεσσός «καγκουρό» απειλεί 8 τετράγωνα τα οποία είναι δυο ή τρία τετράγωνα αριστερά, δεξιά, πάνω ή κάτω από την παρούσα θέση του (δεν απειλεί τα γειτονικά τετράγωνα). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός καγκουρό που μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μια $8 \times 8$ σκακιέρα ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους;
Χρωματίζουμε μπλε τα κελιά στο οποία βρίσκεται καγκουρό και κίτρινα τα κελιά που απειλούνται από ένα τουλάχιστον καγκουρό.

Σε κάθε πεντάδα διαδοχικών κελιών ( γραμμής ή στήλης ) μπορούν να τοποθετηθούν το πολύ δύο καγκουρό που δεν απειλούνται μεταξύ τους
(οι τρεις μοναχικές γραμμές στο σχήμα 1 και οι συμμετρικές τους ).

Καλύπτοντας την σκακιέρα με δώδεκα πεντάδες (σχήμα 2) τοποθετούμε το πολύ καγκουρό και μένουν κενά τα κεντρικά κελιά .

Αν τοποθετήσουμε και στα τέσσερα κεντρικά κελιά καγκουρό τότε (σχήμα 3) μένουν ελεύθερες τέσσερις περιοχές των εννιά κελιών που κάθε μια
χωράει το πολύ πέντε "καγκουρό" έτσι έχουμε συνολικά το πολύ καγκουρό.

Αν όμως τοποθετήσουμε τρία καγκουρό στα τέσσερα κεντρικά κελιά τότε "χωράνε" συνολικά καγκουρό που είναι και ο μέγιστος αριθμός (σχήμα 4).

Πετρουπολη_ΦΙΙ_Τ8_Θ3.png

https://en.wikipedia.org/wiki/Fairy_chess_piece Παραθέτω πληροφορίες για τους ανορθόδοξους σκακιστικούς πεσσούς για όποιον ενδιαφέρεται

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 8)

Μέλη σε σύνδεση