Το σχήμα είναι κάπως παραπλανητικό μιας και δεν είναι απαραίτητο να μπορούμε να βάλουμε τα σχηματιζόμενα τρίγωνα στην σειρά. Π.χ. το πολύγωνο θα μπορούσε να διαμεριστεί όπως πιο κάτω:nikkru έγραψε:Έστω ότι το κυρτό πολύγωνο έχει όλες τις πλευρές τουAl.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016-2017
Θέματα της 3ης φάσης για την 9η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 4 ώρες/μέρα.
Δεύτερη μέρα (31/01/17)
7. Κυρτό πολύγωνο διαμερίζεται, με τις μη τεμνομένες διαγωνίους του, σε ισοσκελή τρίγωνα. Να αποδείξετε ότι σε αυτό το πολύγωνο θα βρεθούν δυο ίσες πλευρές.άνισες
.
Οι μη τεμνόμενες διαγώνιες τουορίζουν τα τρίγωνα
.
ΠανρωσικήΟΜ 3Φ_Τ9__2016_7_θ7.png
Αφού το τρίγωνοείναι ισοσκελές άρα η διαγώνιος
θα είναι ίση με μία από τις πλευρές
.
Διαγράφουμε το τρίγωνοστο οποίο η
ισούται με κάποια από τις διεγραμμένες πλευρές του πολυγώνου.
Καταλήξαμε έτσι σε άτοπο , αφού το τρίγωνο
Επομένως, το πολύγωνο έχει τουλάχιστον δύο πλευρές ίσες.
![\displaystyle{\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-2.48,0.6) rectangle (3.68,6.38);
\draw [line width=1.2pt] (-2.19,3.52219163867212)-- (-0.78,1.08);
\draw [line width=1.2pt] (-0.78,1.08)-- (2.04,1.08);
\draw [line width=1.2pt] (2.04,1.08)-- (3.45,3.5221916386721173);
\draw [line width=1.2pt] (-0.78,5.964383277344236)-- (-2.19,3.52219163867212);
\draw [line width=0.8pt] (-0.78,5.964383277344236)-- (2.04,5.964383277344235);
\draw [line width=1.2pt] (2.04,5.964383277344235)-- (3.45,3.5221916386721173);
\draw [line width=0.8pt] (-0.78,1.08)-- (-0.78,5.964383277344236);
\draw [line width=0.8pt] (-0.78,5.964383277344236)-- (3.45,3.5221916386721173);
\draw [line width=1.2pt] (3.45,3.5221916386721173)-- (-0.78,1.08);
\draw [fill=black] (-0.78,1.08) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (2.04,1.08) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (3.45,3.5221916386721173) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (2.04,5.964383277344235) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (-0.78,5.964383277344236) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (-2.19,3.52219163867212) circle (2.0pt);
\end{tikzpicture}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/692d614bc9eb6084316c10bd5d15f721.png "\displaystyle{\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-2.48,0.6) rectangle (3.68,6.38);
\draw [line width=1.2pt] (-2.19,3.52219163867212)-- (-0.78,1.08);
\draw [line width=1.2pt] (-0.78,1.08)-- (2.04,1.08);
\draw [line width=1.2pt] (2.04,1.08)-- (3.45,3.5221916386721173);
\draw [line width=1.2pt] (-0.78,5.964383277344236)-- (-2.19,3.52219163867212);
\draw [line width=0.8pt] (-0.78,5.964383277344236)-- (2.04,5.964383277344235);
\draw [line width=1.2pt] (2.04,5.964383277344235)-- (3.45,3.5221916386721173);
\draw [line width=0.8pt] (-0.78,1.08)-- (-0.78,5.964383277344236);
\draw [line width=0.8pt] (-0.78,5.964383277344236)-- (3.45,3.5221916386721173);
\draw [line width=1.2pt] (3.45,3.5221916386721173)-- (-0.78,1.08);
\draw [fill=black] (-0.78,1.08) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (2.04,1.08) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (3.45,3.5221916386721173) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (2.04,5.964383277344235) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (-0.78,5.964383277344236) circle (2.0pt);
\draw [fill=black] (-2.19,3.52219163867212) circle (2.0pt);
\end{tikzpicture}}")
Η ιδέα πάντως μπορεί να διαμορφωθεί κατάλληλα για την γενική περίπτωση.
[Παρεμπιπτόντως, ίσως θα ήταν καλύτερα η εκφώνηση να έλεγε «... με μη τεμνόμενες ...» παρά «... με τις μη τεμνόμενες ...»]
.