Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-15 (ΦΙΙ τάξη 7)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)


1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι 2015 αριθμοί (όχι απαραίτητα διαφορετικοί). Για κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς υπολογίστηκε, το πλήθος των αριθμών του πίνακα που είναι μικρότεροι από το αυτόν και το πλήθος των αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από αυτόν. Μπορεί άραγε για κάθε αριθμό, αυτά τα δυο πλήθη αριθμών να έχουν διαφορετική ισοτιμία με το 2 (δηλαδή το πλήθος των μικρότερων να είναι άρτιο και το πλήθος των μεγαλύτερων περιττό ή το ανάποδο);


2. Σε επίπεδο τετραγωνικό πλέγμα είναι σημειωμένα κάποια κελιά. Σε κάθε κελί του επιπέδου είναι γραμμένος ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων σκακιστικού ίππου που χρειάζονται για να μεταβούμε από αυτό το κελί σε κάποιο από τα σημειωμένα. Ο Ανδρέας απέκοψε από το επίπεδο ορθογώνιο διαστάσεων , που δεν περιέχει κάποια από τα σημειωμένα κελιά. Να αποδείξετε, ότι στα κελιά αυτού του ορθογωνίου περιέχονται το πολύ τέσσερεις διαφορετικοί αριθμοί.


3. Σε ένα σκακιστικό τουρνουά συμμετείχαν 98 σκακιστές. Για να παίξουν στην επόμενη φάση του τουρνουά τους χωρίζουν, κάπως, σε ζευγάρια. Οι χαμένοι της κάθε παρτίδας εγκαταλείπουν το τουρνουά, αν υπάρχει ισοπαλία και οι δύο παίχτες προκρίνονται στην επόμενη φάση. Στην περίπτωση που το πλήθος των συμμετεχόντων σε κάποια φάση είναι περιττό, ένας από τους σκακιστές έχει ρεπό και προκρίνεται στην επόμενη φάση χωρίς παίξει κάποια παρτίδα. Ο μοναδικός νικητής προέκυψε μετά από 7 φάσης. Ποιος μπορεί να είναι μεγαλύτερος αριθμός σκακιστών που είχαν ρεπό;


4. Στον πίνακα είναι γραμμένοι 88 διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του 1000. Το άθροισμά τους είναι ίσο με . O Σέργιος πρόσθεσε σε κάθε αριθμό, τον αριθμό που προκύπτει από τα τρία τελευταία του ψηφία. (Για παράδειγμα, από τον αριθμό 1111 θα προκύψει ο αριθμός 1222, από τον αριθμό 1011 – ο 1022 και από τον αριθμό 10000 – ο ίδιος ο αριθμός.). Όλα τα 88 αποτελέσματα ο Σέργιος τα κατέγραψε στο τετράδιο. Να αποδείξετε, ότι στο τετράδιο είναι καταγραμμένοι τουλάχιστον 45 διαφορετικοί αριθμοί.


Καταληκτική αίθουσα (**)


5. Δίνεται τρίγωνο , στο οποίο . Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το μέσο του τμήματος . Να αποδείξετε, ότι .


6. Ο Γρηγόρης υπολόγισε το γινόμενο όλων των (μη μηδενικών φυσικών) αριθμών που δεν υπερβαίνουν το εκατομμύριο και δεν διαιρούνται με το 29, και το μείωσε (διαίρεσε/απλοποίησε) κατά την μέγιστη δυνατή δύναμη του 31. Ο Στάθης υπολόγισε το γινόμενο όλων των αριθμών, που δεν υπερβαίνουν το εκατομμύριο και δεν διαιρούνται με το 31, και το μείωσε (διαίρεσε/απλοποίησε) κατά την μέγιστη δυνατή δύναμη του 29. Ποιανού το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο;


7. Σε σκακιέρα διαστάσεων είναι τοποθετημένοι 1800 σκακιστικοί πεσσοί, πύργοι και βασίλισσες. Οι οποίοι απειλούν όλα τα μη κατειλημμένα κελιά της σκακιέρας. (Οι πεσσοί απειλούν όλα τα κελιά μέχρι τα οποία «φτάνει» η απειλή τους σύμφωνα με τους σκακιστικούς κανόνες, η «απειλή» δεν υπερπηδάει τους πεσσούς). Να αποδείξετε, ότι οι βασίλισσες είναι τουλάχιστον 214.



(*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν τρία από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα τρία σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.


Στατιστικά: Στον πρώτο πίνακα αναγράφεται ο αριθμός των λυτών ανά θέμα (πόσοι έλυσαν το πρώτο, δύτερο θέμα κτλ.). Στον δεύτερο πίνακα ο αριθμός των μαθητών ανά πλήθος θεμάτων που έλυσαν(πόσοι έλυσαν ένα, δυο κτλ θέματα).

[nikkru]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

Καταληκτική αίθουσα (**)

5. Δίνεται τρίγωνο , στο οποίο . Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το μέσο του τμήματος . Να αποδείξετε, ότι .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φέρνουμε την διάμεσο του ισοσκελούς τριγώνου .

[Demetres]

4. Στον πίνακα είναι γραμμένοι 88 διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του 1000. Το άθροισμά τους είναι ίσο με . O Σέργιος πρόσθεσε σε κάθε αριθμό, τον αριθμό που προκύπτει από τα τρία τελευταία του ψηφία. (Για παράδειγμα, από τον αριθμό 1111 θα προκύψει ο αριθμός 1222, από τον αριθμό 1011 – ο 1022 και από τον αριθμό 10000 – ο ίδιος ο αριθμός.). Όλα τα 88 αποτελέσματα ο Σέργιος τα κατέγραψε στο τετράδιο. Να αποδείξετε, ότι στο τετράδιο είναι καταγραμμένοι τουλάχιστον 45 διαφορετικοί αριθμοί.

Θα δείξω ότι για κάθε αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα, υπάρχει μόνο ένας άλλος αριθμός ο οποίος μπορεί να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με τον και επιπλέον ισχύει ότι ο είναι άρτιος.

Ο πιο πάνω ισχυρισμός είναι αρκετός για να τελειώσει η απόδειξη. Πράγματι ο μόνος τρόπος να έχουμε το πολύ διαφορετικά αποτελέσματα είναι αν μπορούμε να χωρίσουμε τους αριθμούς σε ζεύγη ώστε οι αριθμοί του ιδίου ζεύγος να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Αλλά τότε το άθροισμα όλων των αριθμών θα είναι άρτιο, άτοπο.

Ας αποδείξουμε λοιπόν τον ισχυρισμό. Έστω ότι όπου . Ας υποθέσουμε ότι ο δίνει το ίδιο αποτέλεσμα. Τότε



από το οποίο παίρνουμε



Πρέπει αφού σε αντίθετη περίπτωση είναι .

Αν , τότε και επειδή παίρνουμε και .

Αν , με παρόμοιο τρόπο καταλήγουμε στα και .

Και στις δύο περιπτώσεις ο καθορίζεται πλήρως όπως ισχυριστήκαμε.

[Demetres]

7. Σε σκακιέρα διαστάσεων είναι τοποθετημένοι 1800 σκακιστικοί πεσσοί, πύργοι και βασίλισσες. Οι οποίοι απειλούν όλα τα μη κατειλημμένα κελιά της σκακιέρας. (Οι πεσσοί απειλούν όλα τα κελιά μέχρι τα οποία «φτάνει» η απειλή τους σύμφωνα με τους σκακιστικούς κανόνες, η «απειλή» δεν υπερπηδάει τους πεσσούς). Να αποδείξετε, ότι οι βασίλισσες είναι τουλάχιστον 214.

Υπάρχουν (τουλάχιστον) σειρές και (τουλάχιστον) στήλες οι οποίες δεν περιέχουν κανένα κομμάτι (πεσσό). Θα δείξουμε ότι χρειάζονται τουλάχιστον βασίλισσες έξω από αυτές για να καλύψουν τα κοινά τους τετράγωνα.

Τα κοινά τετράγωνα αυτών των σειρών και στηλών σχηματίζουν ένα ορθογώνια πλέγμα. Αυτό το πλέγμα έχει τετράγωνα στην περιφέρειά του. Κάθε βασίλισσα όμως που δεν βρίσκεται σε αυτές τις στήλες απειλεί το πολύ από τα τετράγωνα της περιφέρειας. Οπότε όντως θέλουμε τουλάχιστον βασίλισσες για να καλύψουμε τα τετράγωνα της περιφέρειας και άρα και όλα τα τετράγωνα.

[Al.Koutsouridis]

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι 2015 αριθμοί (όχι απαραίτητα διαφορετικοί). Για κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς υπολογίστηκε, το πλήθος των αριθμών του πίνακα που είναι μικρότεροι από το αυτόν και το πλήθος των αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από αυτόν. Μπορεί άραγε για κάθε αριθμό, αυτά τα δυο πλήθη αριθμών να έχουν διαφορετική ισοτιμία με το 2 (δηλαδή το πλήθος των μικρότερων να είναι άρτιο και το πλήθος των μεγαλύτερων περιττό ή το ανάποδο);

Όχι δεν μπορεί.

Από την στιγμή που για κάθε αριθμό το πλήθος των αριθμών που είναι μικρότεροι από αυτόν είναι άρτιο και το πλήθος των μεγαλύτερων περιττό (ή το αντίστροφο), το άθροισμα του πλήθους των μεγαλύτερων και των μικρότερων για κάθε αριθμό θα είναι περιττό. Όμως το συνολικό πλήθος των αριθμών είναι 2015, που είναι περιττός. Άρα για κάθε αριθμό το πλήθος των αριθμών που ισούνται με αυτόν (συμπεριλαμβανομένου του ιδίου) είναι άρτιο.

Επομένως οι 2015 αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε ομάδες ίσων μεταξύ τους αριθμών και κάθε τέτοια ομάδα έχει άρτιο πλήθος αριθμών. Οπότε και το συνολικό πλήθος των αριθμών θα είναι άρτιο. Κάτι τέτοιο όμως δεν μπορεί να γίνει, αφού το συνολικό πλήθος των αριθμών είναι 2015 (περιττός).

[Demetres]

2. Σε επίπεδο τετραγωνικό πλέγμα είναι σημειωμένα κάποια κελιά. Σε κάθε κελί του επιπέδου είναι γραμμένος ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων σκακιστικού ίππου που χρειάζονται για να μεταβούμε από αυτό το κελί σε κάποιο από τα σημειωμένα. Ο Ανδρέας απέκοψε από το επίπεδο ορθογώνιο διαστάσεων , που δεν περιέχει κάποια από τα σημειωμένα κελιά. Να αποδείξετε, ότι στα κελιά αυτού του ορθογωνίου περιέχονται το πολύ τέσσερεις διαφορετικοί αριθμοί.

Πάρα πολύ καλό! Η λύση μου βασίζεται στο extremal principle (αρχή ακροτάτου).

Ας πάρουμε λοιπόν τον μικρότερο αριθμό που είναι γραμμένος σε ένα από τα κελιά του ορθογωνίου, έστω τον . Επειδή από κάθε κελί του ορθογωνίου μπορούμε να μεταβούμε σε κάθε άλλο κάνοντας το πολύ τρεις κινήσεις, αυτό σημαίνει πως σε κάθε κελί ο αριθμός που είναι γραμμένος ισούται το πολύ με . Άρα στο ορθογώνιο μπορούμε να έχουμε γραμμένους τους αριθμούς και κανένα άλλο. Δηλαδή τέσσερις το πολύ αριθμούς όπως είναι και το ζητούμενο.

[nikkru]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

6. Ο Γρηγόρης υπολόγισε το γινόμενο όλων των (μη μηδενικών φυσικών) αριθμών που δεν υπερβαίνουν το εκατομμύριο και δεν διαιρούνται με το 29, και το μείωσε (διαίρεσε/απλοποίησε) κατά την μέγιστη δυνατή δύναμη του 31. Ο Στάθης υπολόγισε το γινόμενο όλων των αριθμών, που δεν υπερβαίνουν το εκατομμύριο και δεν διαιρούνται με το 31, και το μείωσε (διαίρεσε/απλοποίησε) κατά την μέγιστη δυνατή δύναμη του 29. Ποιανού το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο;

Και των δύο τα γινόμενα έχουν παράγοντες όλους τους αριθμούς που δεν διαιρούνται με το 29 ή με το 31 ,
οπότε ελέγχουμε τους υπόλοιπους παράγοντες κάθε γινομένου.

Οι επιπλέον παράγοντες του γινομένου του Γρηγόρη (πριν την απλοποίηση) είναι:
που μετά την απλοποίηση είναι: .

Αντίστοιχα οι επιπλέον παράγοντες του Στάθη ( πριν την απλοποίηση ) είναι:
που μετά την απλοποίηση είναι: .

Έτσι, το αποτέλεσμα του Στάθη είναι μεγαλύτερο.