Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Καλησπέρα σας!
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε να δειχθεί ότι
ΘΕΜΑ 2. Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω ένα σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε Εάν είναι το σημείο τομής της ευθείας με τη μεσοκάθετο του τμήματος , να δειχθεί ότι
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε
ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε
(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε να δειχθεί ότι
ΘΕΜΑ 2. Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω ένα σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε Εάν είναι το σημείο τομής της ευθείας με τη μεσοκάθετο του τμήματος , να δειχθεί ότι
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε
ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε
(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Απο εχουμε οτι .achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε να δειχθεί ότι
Όμως ειναι και το ζητούμενο γινεται προφανές.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Παρ Φεβ 24, 2017 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
● Προφανώς Έστω ότι το ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται στην πλευρά στο Τότε (σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), οπότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα το βρίσκεται στη μεσοκάθετη του και ταυτίζεται με το σημείοachilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 2. Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο και έστω ένα σημείο στην πλευρά τέτοιο ώστε Εάν είναι το σημείο τομής της ευθείας με τη μεσοκάθετο του τμήματος , να δειχθεί ότι
● Αν το ημικύκλιο διαμέτρου δεν εφάπτεται στην πλευρά τότε επειδή έχει ένα κοινό σημείο με την θα την τέμνει και σε ένα δεύτερο σημείο, έστω Τότε (ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο). Άρα το βρίσκεται στη μεσοκάθετη του και το ισοδύναμο ζητούμενο αποδείχτηκε.
Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Η διαίσθηση σου είναι σωστή. Αλλά τι δεν πάει καλά;JimNt. έγραψε:Ορίζουμε τα στοιχεία του : . Από την εκφώνηση προκύπτει ότι . Συνεπώς, . Επομένως, αφού θέλουμε το μέγιστο , . (μου φαίνεται πως κάτι δεν πάει καλά...)achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε
(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Μια λύση για αυτό:achilleas έγραψε:ΘΕΜΑ 4. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει ένα σύνολο με ακριβώς στοιχεία τέτοια ώστε
(i) Κάθε στοιχείο του είναι θετικός ακέραιος που δεν ξεπερνά το 2016.
(ii) Για οποιαδήποτε στοιχεία του , όχι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους, το γινόμενό τους δεν ανήκει στο
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Καταρχάς, αν , δεν μπορεί ο να περιέχεται στο .
Θεωρούμε τώρα τις τριάδες:
οι οποίες είναι της μορφής και για τις οποίες ισχύει .
Επομένως, από καθεμία από αυτές μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ στοιχεία.
Παρατηρούμε, ακόμα, πως κανένας εκ των αριθμών δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Θεωρούμε, τώρα, δυάδες της μορφής με , οι οποίες είναι το πλήθος. Τότε αφού από καθεμία από αυτές
μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ ένα στοιχείο.
Για τους εναπομείναντες μέχρι το αριθμούς έχουμε πως είναι το πλήθος
(δε λαμβάνουμε υπόψη ούτε τον ).
Άρα .
Για επιλέγουμε το οποίο ικανοποιεί τα ζητούμενα αφού το ελάχιστο δυνατό γινόμενο δύο στοιχείων είναι
και άρα κανένα γινόμενο δύο στοιχείων του δεν ανήκει στο .
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Ηachilleas έγραψε: ↑Παρ Φεβ 24, 2017 8:24 pmΚαλησπέρα σας!
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ:
**********************************************
Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Έστω θετικός ακέραιος. Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε να δειχθεί ότι
Φιλικά,
Αχιλλέας
με δεύτερη παράγωγο βγαίνει κοίλη.
Η Jensen μετά το βγάζει.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης #3-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Τις γράφω στην μορφή
οπότε διώχνω το και προκύπτουν οι
Από αυτές προκύπτει ότι περιττός και έχω άρτιοι.
Τις αφαιρώ κατά μέλη άρα .
Θέτω και παίρνω
Αυτή δίνει πράγμα άτοπο αφού
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες