Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Φεβ 24, 2017 8:29 pm

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1.Έστω p ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (m,n) θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει \displaystyle{(p-1)(p^n+1)=4m(m+1).}

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} για τις οποίες ισχύει \displaystyle{f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+\left(f(y)\right)^2} για κάθε x,y\in \mathbb{R}.

ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί A,B,C,D τέτοιοι ώστε \displaystyle{(Ax+B)(Cx+D)=ax^2+bx+c} για κάθε x\in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c είναι μεγαλύτερος ή ίσος του \dfrac{4}{9}(A+B)(C+D).

ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C' σε κύκλο τέτοια ώστε η AA' να είναι κάθετη στη BC, η BB' να είναι κάθετη στη CA, και η CC' είναι κάθετη στη AB. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο D του κύκλου, και έστω ότι η DA' τέμνει την ευθεία BC στο A'', η DB' τέμνει την ευθεία CA στο B'', και η D{\textcolor{red}{C}}' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C'' και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC είναι συνευθειακά.


**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού στην 4.
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Φεβ 25, 2017 3:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Φεβ 24, 2017 10:15 pm

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} για τις οποίες ισχύει \displaystyle{f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+\left(f(y)\right)^2} για κάθε x,y\in \mathbb{R}.
Για \displaystyle{x=y=0} προκύπτει \displaystyle{f(0)=0\vee f(0)=1.}

\displaystyle{\bullet} Αν \displaystyle{f(0)=0,} για \displaystyle{y=x} προκύπτει \displaystyle{(f(x)-x)^2=0} δηλαδή \displaystyle{f(x)\equiv x.}

\displaystyle{\bullet} Αν \displaystyle{f(0)=1} για \displaystyle{y=x} προκύπτει \displaystyle{(f(x)-x)^2=1} άρα

\displaystyle{f(x)=x+1\vee f(x)=x-1} για κάθε \displaystyle{x}. (1)

Για \displaystyle{y=0} προκύπτει \displaystyle{f(x^2)=x^2+1,} ενώ για \displaystyle{x=0} προκύπτει \displaystyle{f(y^2)=f(y)^2-2y,} που λόγω της προηγούμενης δίνει \displaystyle{f(y)^2=(y+1)^2.}.

Από την (1) προκύπτει \displaystyle{f(x)=x+1.}

Άρα \displaystyle{f(x)\equiv x\vee f(x)\equiv x+1}, που ικανοποιούν την αρχική και οι δύο.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Παρ Φεβ 24, 2017 11:25 pm

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 1.Έστω p ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (m,n) θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει \displaystyle{(p-1)(p^n+1)=4m(m+1).}
Η αρχική γίνεται 4m^2+4m-p^{n+1}-p+p^n+1=0, που έχει \Delta=16(p^{n+1}+p-p^n). Πρέπει p^{n+1}+p-p^n=x^2 \Leftrightarrow p(p^n+1-p^{n-1})=x^2. Για n>1 παίρνουμε (p,p^n+1-p^{n-1})=1 \Rightarrow p=y^2, άτοπο. Συνεπώς, n=1. Αντικαθιστούμε και λύνουμε την δευτεροβάθμια που προκύπτει και δίνει την λύση m=\frac{p-1}{2} . Συνεπώς, \boxed{(m,n)=(\frac{p-1}{2},1)}


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 25, 2017 2:59 pm

achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ και το 3ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 4ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 4
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1.Έστω p ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (m,n) θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει \displaystyle{(p-1)(p^n+1)=4m(m+1).}

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} για τις οποίες ισχύει \displaystyle{f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+\left(f(y)\right)^2} για κάθε x,y\in \mathbb{R}.

ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί A,B,C,D τέτοιοι ώστε \displaystyle{(Ax+B)(Cx+D)=ax^2+bx+c} για κάθε x\in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c είναι μεγαλύτερος ή ίσος του \dfrac{4}{9}(A+B)(C+D).

ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C' σε κύκλο τέτοια ώστε η AA' να είναι κάθετη στη BC, η BB' να είναι κάθετη στη CA, και η CC' είναι κάθετη στη AB. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο D του κύκλου, και έστω ότι η DA' τέμνει την ευθεία BC στο A'', η DB' τέμνει την ευθεία CA στο B'', και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C'' και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC είναι συνευθειακά.


**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:07 pm

mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C' σε κύκλο τέτοια ώστε η AA' να είναι κάθετη στη BC, η BB' να είναι κάθετη στη CA, και η CC' είναι κάθετη στη AB. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο D του κύκλου, και έστω ότι η DA' τέμνει την ευθεία BC στο A'', η DB' τέμνει την ευθεία CA στο B'', και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C'' και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:16 pm

achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C' σε κύκλο τέτοια ώστε η AA' να είναι κάθετη στη BC, η BB' να είναι κάθετη στη CA, και η CC' είναι κάθετη στη AB. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο D του κύκλου, και έστω ότι η DA' τέμνει την ευθεία BC στο A'', η DB' τέμνει την ευθεία CA στο B'', και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C'' και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒC


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:18 pm

mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C' σε κύκλο τέτοια ώστε η AA' να είναι κάθετη στη BC, η BB' να είναι κάθετη στη CA, και η CC' είναι κάθετη στη AB. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο D του κύκλου, και έστω ότι η DA' τέμνει την ευθεία BC στο A'', η DB' τέμνει την ευθεία CA στο B'', και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C'' και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒC
Πρέπει να ξανακοιτάξεις τον ισχυρισμό σου.

Είναι άλλο η ευθεία AB κι άλλο η πλευρά AB.

Η διατύπωση είναι σωστή.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:32 pm

achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. Θεωρούμε τα σημεία A,B,C, A', B',C' σε κύκλο τέτοια ώστε η AA' να είναι κάθετη στη BC, η BB' να είναι κάθετη στη CA, και η CC' είναι κάθετη στη AB. Επιπλέον, θεωρούμε σημείο D του κύκλου, και έστω ότι η DA' τέμνει την ευθεία BC στο A'', η DB' τέμνει την ευθεία CA στο B'', και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A'', B'', C'' και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC είναι συνευθειακά.

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος
Είσαι σίγουρος;

Φιλικά,

Αχιλλέας
Ναι κατα μεγαλο ποσοστό γιατι αν δεν ήταν λάθος τοτε Α'' , C'' , D συνευθειακα και το ζητούμενο ισχύει μονο αν D ταυτίζεται με μια απο της κορυφες ΑΒC
Πρέπει να ξανακοιτάξεις τον ισχυρισμό σου.

Είναι άλλο η ευθεία AB κι άλλο η πλευρά AB.

Η διατύπωση είναι σωστή.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από matha σε Σάβ Φεβ 25, 2017 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διαγραφή συνημμένου σκαναρισμένου αρχείου.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:42 pm

Τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Εννοείς ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην πρώτη ανάρτηση.
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. ...

και η DA' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

....
Σε αυτό έχεις δίκιο. Φαίνεται ότι άλλαξες το DA' σε DC', οπότε στην παράθεσή σου δεν είδα κάποια διαφορά, αφού διάβασα
mikemoke έγραψε:.....
achilleas έγραψε:....
και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.
,....
....
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος
Πράγματι, το σωστό είναι DC'. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος.

Ευχαριστώ πολύ!

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Σάβ Φεβ 25, 2017 3:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:47 pm

achilleas έγραψε:Τώρα κατάλαβα τι εννοείς. Εννοείς ότι υπήρχε τυπογραφικό λάθος στην πρώτη ανάρτηση.
achilleas έγραψε:.....
ΘΕΜΑ 4. ...

και η DA' τέμνει την ευθεία AB στο C''.

....
Σε αυτό έχεις δίκιο. Φαίνεται ότι άλλαξες το DA' σε DC', οπότε στην παράθεσή σου δεν είδα κάποια διαφορά, αφού διάβασα
mikemoke έγραψε:.....
achilleas έγραψε:....
και η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''.
,....
....
η DC' τέμνει την ευθεία AB στο C''. Υπαρχει λάθος
Πράγματι, το σωστό είναι DC'.

Ευχαριστώ.

Αχιλλέας
Παρακαλώ


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:50 pm

mikemoke έγραψε:...
Παρακαλώ
Αναμένουμε απόδειξη της άσκησης τώρα. :)

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 214
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Φεβ 25, 2017 5:59 pm

achilleas έγραψε:
mikemoke έγραψε:...
Παρακαλώ
Αναμένουμε απόδειξη της άσκησης τώρα. :)

Φιλικά,

Αχιλλέας
ΛΥΣΗ:
Αρκεί να δείξουμε οτι BC,AB,ACμεσοκάθετοι των A'H,C'H,B'H αντίστοιχα. Aς αποδείξουμε την BCμε A'H
\widehat{AA'C}=\widehat{ABC} ως εγγεγραμένες στο τόξο AC

έστω N σημείο τομής C'H μεAB και M της BC με A'H
\widehat{ABC}=\widehat{C'HA} αφού ANH, ABM ορθογώνια τρίγωνα με \widehat{A} κοινή
\widehat{C'HA}=\widehat{A'HC} ως κατακορυφήν
Άρα τρίγωνα HMC=A'MC και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Ο λόγος που αρκεί αυτό είναι :
\widehat{DA'C}=\widehat{CC'D} ως εγγεγραμένες στο τόξο DC
\widehat{CC'D}=\widehat{C''HC'} λογω της μεσοκαθετότητας
και αρα και η κατακορυφήν της \widehat{C''HC'} θα ναι ίση με \widehat{DA'C}
Άρα C''H,DA',BCσυντρέχουν στοA''
και ετσι αποδείξαμε ότι C'',H,A''συνευθειακά. Oμοιώς αποδεικνύεται και για H,A'' ,B''


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8175
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης #4-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 11, 2017 7:00 pm

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί A,B,C,D τέτοιοι ώστε \displaystyle{(Ax+B)(Cx+D)=ax^2+bx+c} για κάθε x\in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c είναι μεγαλύτερος ή ίσος του \dfrac{4}{9}(A+B)(C+D).
Εφόσον η σχέση ισχύει για κάθε x \in \mathbb{R}, αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές των δύο πολυωνύμων είναι ίσοι. Δηλαδή

a = AC, b = AD+BC και c = BD.

Ας γράψουμε t = (A+B)(C+D). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι t \geqslant 0. (Σε διαφορετική περίπτωση αλλάζουμε τα πρόσημα των A,B,C,D.) Έχουμε a+b+c = t. Θέτω s = a+c = t-b και p = ac \leqslant b^2/4. Η τελευταία ανισότητα προκύπτει επειδή το ax^2+bx+c έχει πραγματικές λύσεις οπότε η διακρίνουσά του είναι μη αρνητική.

Ας υποθέσουμε a,c < 4t/9. Τότε

\displaystyle{ \frac{4t}{9} > \max{\{a,c\}} = \frac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2} \geqslant \frac{t-b + \sqrt{t^2-2tb}}{2}}

Οπότε

\displaystyle{ b - \frac{t}{9} > \sqrt{t^2-2tb}}.

Πρέπει λοιπόν b > \frac{t}{9} \geqslant 0.

Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

\displaystyle{ 81b^2 - 18bt + t^2 > 81t^2 - 162tb}

ή ισοδύναμα

(9b+8t)^2 > 144t^2.

Αυτό δίνει b > 4t/9, οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες