Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Φεβ 24, 2017 8:35 pm

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ, το 3ο τεστ και το 4ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 5ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 5
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Να βρεθούν όλες οι τριάδες (u,v,w) πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύει

(i) u+v+w=38,
(ii) uvw=2002,
(iii) 0\leq u\leq 11, w\geq 14.

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε τρίγωνο ABC, σημείο D στην πλευρά του AB και σημείο E στην πλευρά AC τέτοια ώστε τα DE και BC να είναι παράλληλα και το DE να εφάπτεται του εγγεγραμένου κύκλου στο τρίγωνο ABC. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ 
		8DE\leq AB+BC+CA. 
		}

ΘΕΜΑ 3. Να βρεθεί ο αριθμός των ακολουθιών a_1,a_2,\dots,a_{2016} που είναι οι αριθμοί 1,2,\dots,2016 σε κάποια σειρά (δηλ. είναι μια μετάθεση αυτών των αριθμών) τέτοιοι ώστε

\displaystyle{ 
		|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|. 
		}

ΘΕΜΑ 4. Έστω S το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 2211. Έστω T ένα υποσύνολο 2011 στοιχείων του S. Να δειχθεί ότι υπάρχει κάποιο στοιχείο του T το οποίο είναι άθροισμα 11, όχι απαραίτητα διαφορετικών μεταξύ τους, στοιχείων του T.


**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Φεβ 25, 2017 12:19 am

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε τρίγωνο ABC, σημείο D στην πλευρά του AB και σημείο E στην πλευρά AC τέτοια ώστε τα DE και BC να είναι παράλληλα και το DE να εφάπτεται του εγγεγραμένου κύκλου στο τρίγωνο ABC. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ 
		8DE\leq AB+BC+CA. 
		}
Τα τρίγωνα \displaystyle{ADE, ABC} είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \displaystyle{m=\frac{DE}{a}.}

Είναι επίσης

\displaystyle{\frac{(ADE)}{(ABC)}=m^2.}

Όμως

\displaystyle{\frac{(ADE)}{(ABC)}=\frac{DE\cdot AK}{BC\cdot h_a}=\frac{DE(h_a-2r)}{ah_a}=\frac{DE(h_a-2r)}{2E}.}

Επομένως είναι

\displaystyle{\frac{DE(h_a-2r)}{2E}=\left(\frac{DE}{a}\right)^2,}

οπότε

\displaystyle{DE=\frac{a^2(h_a-2r)}{2E}=a\frac{s-a}{s}}

και η αποδεικτέα γράφεται

\displaystyle{a\frac{s-a}{s}\leq \frac{s}{4}\iff (s-2a)^2\geq 0}
Συνημμένα
achilleas1.png
achilleas1.png (33.85 KiB) Προβλήθηκε 946 φορές


Μάγκος Θάνος
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Σάβ Φεβ 25, 2017 1:37 am

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Να βρεθεί ο αριθμός των ακολουθιών a_1,a_2,\dots,a_{2016} που είναι οι αριθμοί 1,2,\dots,2016 σε κάποια σειρά (δηλ. είναι μια μετάθεση αυτών των αριθμών) τέτοιοι ώστε

\displaystyle{ 
		|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|. 
		}
Θεωρούμε τους αριθμούς 1,2,...,2016 στη γραμμή των πραγματικών αριθμών σαν κορυφές ενός γράφου.Τώρα για κάθε απόλυτη τιμή |a_n-m| βάζουμε την κατευθυνόμενη ακμή από το a_n στο m.Άρα η δοθείσα ισότητα αντιστοιχεί σε έναν κατευθυνόμενο γράφο που κάθε κορυφή έχει in-degree και out-degree 1 και όλες οι ακμές του γράφου έχουν μήκος k=|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|,όπου με τον όρο μήκος ακμής εννοούμε την ευκλείδια απόσταση των κορυφών που ενώνει η ακμή.
Τώρα παρατηρούμε πως και στην ακμή που φεύγει από την κορυφή 1 αλλά και σε αυτή που έρχεται προς αυτή θα πρέπει το άλλο τους άκρο να είναι η κορυφή k+1 και ομοίως σε κάθε κορυφή l \le k και οι δύο ακμές αυτης της κορυφής θα ενώνονται με την κορυφή k+l (αφού είναι η μόνη κορυφή που απέχει k από αυτές).
αλλά και για κάθε κορυφή l>2016-k και οι δύο ακμές τους θα πρέπει να ενώνονται με την κορυφή l-k(αφού είναι η μόνη κορυφή που απέχει k από αυτές).
Αφού ενώσουμε τις 4k αυτές κορυφές θα μείνουν 2016-4k διαδοχικές κορυφές στις οποίες θα επαναλλάβουμε την παραπάνω διαδικάσία μέχρι να μείνουν λιγότερες από 4k κορυφές.
Αν μείνουν 0 κορυφές τότε ο γράφος αυτός είναι μοναδικός για το συγκεκριμένο k.
Αν μείνουν παραπάνω από 0 κορυφές τότε δεν μπορεί να δημιουργηθεί αντίστοιχoς γράφος για το συγκεκριμένο k .
Άρα υπάρχουν τόσες ακολουθίες όσα και k τέτοια ώστε 4k|2016 \Rightarrow k|504=2^3*3^2*7 δηλαδή υπάρχουν 24 τέτοιες ακολουθίες ,όμως υπάρχει και η περίπτωση k=0 όπου και αντιστοιχούμε κάθε κορυφή στον εαυτό της , άρα συνολίκα 25 ακολουθίες.
τελευταία επεξεργασία από Friedoon σε Κυρ Φεβ 26, 2017 12:02 am, έχει επεξεργασθεί 9 φορές συνολικά.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2625
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 25, 2017 5:03 am

Friedoon έγραψε:
achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Να βρεθεί ο αριθμός των ακολουθιών a_1,a_2,\dots,a_{2016} που είναι οι αριθμοί 1,2,\dots,2016 σε κάποια σειρά (δηλ. είναι μια μετάθεση αυτών των αριθμών) τέτοιοι ώστε

\displaystyle{ 
		|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|. 
		}
Έχουμε τα σημεία 1,2,...,2016 στη γραμμή των πραγματικών αριθμών ,ουσιαστικά το ζητούμενο της άσκησης είναι να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να ενώσουμε κάθε αριθμό με έναν άλλο χρησιμοποιώντας μόνο ευθύγραμμα τμήματα μήκους k , για όλες τις δυνατές τιμές του k.
Αρχικά παρατηρούμε πως για να είναι δυνατή τέτοια σύνδεση θα πρέπει k\le  \lfloor\frac{n}{2}\rfloor αφού αλλιώς ο αριθμός στη μέση δεν θα μπορεί να συνδεθεί με κανένα άλλο.
Αν k=0 τότε αναγκαστικά συνδέουμε κάθε αριθμό με τον εαυτό του και άρα υπάρχει 1 μόνο τρόπος.
Αν k>0 τότε κάθε αριθμό μπορούμε να τον ενώσουμε με 2 άλλους,εκτός των πρώτων k από κάθε άκρο (του οποίους μπορούμε μόνο με 1).Άρα οι τρόποι σύνδεσης είναι 2^{n-2k}
Άρα συνολικά για όλα τα k οι τρόποι σύνδεσης είναι:
(\sum_{k=1}^{ \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}2^{n-2k} ) +1
που είναι ίσο με
\frac{(2^n-1)}{3} +1=\frac{(2^n+2)}{3},αν n άρτιος, και
\frac{(2^n-2)}{3} +1=\frac{(2^n+1)}{3}, αν n περιττός.
Καλημέρα σας!

Το n τι είναι;

Η λύση αυτή απέχει πολύ από το να είναι σωστή.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Σάβ Φεβ 25, 2017 5:08 pm

achilleas έγραψε:
Friedoon έγραψε:
achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Να βρεθεί ο αριθμός των ακολουθιών a_1,a_2,\dots,a_{2016} που είναι οι αριθμοί 1,2,\dots,2016 σε κάποια σειρά (δηλ. είναι μια μετάθεση αυτών των αριθμών) τέτοιοι ώστε

\displaystyle{ 
		|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|. 
		}
Έχουμε τα σημεία 1,2,...,2016 στη γραμμή των πραγματικών αριθμών ,ουσιαστικά το ζητούμενο της άσκησης είναι να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να ενώσουμε κάθε αριθμό με έναν άλλο χρησιμοποιώντας μόνο ευθύγραμμα τμήματα μήκους k , για όλες τις δυνατές τιμές του k.
Αρχικά παρατηρούμε πως για να είναι δυνατή τέτοια σύνδεση θα πρέπει k\le  \lfloor\frac{n}{2}\rfloor αφού αλλιώς ο αριθμός στη μέση δεν θα μπορεί να συνδεθεί με κανένα άλλο.
Αν k=0 τότε αναγκαστικά συνδέουμε κάθε αριθμό με τον εαυτό του και άρα υπάρχει 1 μόνο τρόπος.
Αν k>0 τότε κάθε αριθμό μπορούμε να τον ενώσουμε με 2 άλλους,εκτός των πρώτων k από κάθε άκρο (του οποίους μπορούμε μόνο με 1).Άρα οι τρόποι σύνδεσης είναι 2^{n-2k}
Άρα συνολικά για όλα τα k οι τρόποι σύνδεσης είναι:
(\sum_{k=1}^{ \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}2^{n-2k} ) +1
που είναι ίσο με
\frac{(2^n-1)}{3} +1=\frac{(2^n+2)}{3},αν n άρτιος, και
\frac{(2^n-2)}{3} +1=\frac{(2^n+1)}{3}, αν n περιττός.
Καλημέρα σας!

Το n τι είναι;

Η λύση αυτή απέχει πολύ από το να είναι σωστή.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Φαίνεται ήμουν πολύ αφηρημένος όταν το έλυνα.
Ευχαριστώ για την υπόδειξη,νομίζω πως τώρα η λύση είναι σωστή.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Φεβ 26, 2017 7:08 pm

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 1. Να βρεθούν όλες οι τριάδες (u,v,w) πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύει

(i) u+v+w=38,
(ii) uvw=2002,
(iii) 0\leq u\leq 11, w\geq 14.

Είναι \displaystyle{\frac{u}{11}\frac{w}{14}\frac{38-u-w}{13}=1.} Όμως, από την ανισότητα των μέσων, έχουμε

\displaystyle{1=\frac{u}{11}\frac{w}{14}\frac{38-u-w}{13}\leq (\frac{\frac{2}{11\cdot13}u-\frac{1}{13\cdot14}w+\frac{38}{13}}{3})^3\leq 1,}

οπότε έχουμε παντού ισότητα με συνέπεια u=11, w=14, v=13.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8175
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 01, 2017 4:49 pm

Friedoon έγραψε:
achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Να βρεθεί ο αριθμός των ακολουθιών a_1,a_2,\dots,a_{2016} που είναι οι αριθμοί 1,2,\dots,2016 σε κάποια σειρά (δηλ. είναι μια μετάθεση αυτών των αριθμών) τέτοιοι ώστε

\displaystyle{ 
		|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|. 
		}
Άρα υπάρχουν τόσες ακολουθίες όσα και k τέτοια ώστε 4k|2016 \Rightarrow k|504=2^3*3^2*7 δηλαδή υπάρχουν 24 τέτοιες ακολουθίες ,όμως υπάρχει και η περίπτωση k=0 όπου και αντιστοιχούμε κάθε κορυφή στον εαυτό της , άρα συνολίκα 25 ακολουθίες.
Νομίζω εξακολουθεί να υπάρχει λάθος. Πρέπει 2k|2016. Υπάρχουν 30 τέτοια k. (31 μαζί με την επιπλέον περίπτωση k=0.)


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8175
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 01, 2017 4:54 pm

achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Έστω S το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 2211. Έστω T ένα υποσύνολο 2011 στοιχείων του S. Να δειχθεί ότι υπάρχει κάποιο στοιχείο του T το οποίο είναι άθροισμα 11, όχι απαραίτητα διαφορετικών μεταξύ τους, στοιχείων του T.
Κοιτάμε τα 201 ζεύγη της μορφής \{n,11n\} με 1 \leqslant n \leqslant 201. Είναι όλα υποσύνολα του S αφού 11 \times 201 = 2211. Επειδή από το T λείπουν μόνο 200 στοιχεία του S, τουλάχιστον ένα από αυτά τα ζεύγη, έστω το \{n,11n\}, θα είναι υποσύνολο του T. Τότε παίρνουμε τα 11 στοιχεία να είναι όλα ίσα με n και τελειώσαμε.


Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Τεστ Εξάσκησης #5-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τετ Μαρ 01, 2017 5:49 pm

Demetres έγραψε:
Friedoon έγραψε:
achilleas έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Να βρεθεί ο αριθμός των ακολουθιών a_1,a_2,\dots,a_{2016} που είναι οι αριθμοί 1,2,\dots,2016 σε κάποια σειρά (δηλ. είναι μια μετάθεση αυτών των αριθμών) τέτοιοι ώστε

\displaystyle{ 
		|a_1-1|=|a_2-2|=\cdots=|a_{2016}-2016|. 
		}
Άρα υπάρχουν τόσες ακολουθίες όσα και k τέτοια ώστε 4k|2016 \Rightarrow k|504=2^3*3^2*7 δηλαδή υπάρχουν 24 τέτοιες ακολουθίες ,όμως υπάρχει και η περίπτωση k=0 όπου και αντιστοιχούμε κάθε κορυφή στον εαυτό της , άρα συνολίκα 25 ακολουθίες.
Νομίζω εξακολουθεί να υπάρχει λάθος. Πρέπει 2k|2016. Υπάρχουν 30 τέτοια k. (31 μαζί με την επιπλέον περίπτωση k=0.)
Έχετε δίκαιο.Στη λύση μου δεν πήρα υπόψη μου την περίπτωση οι k κορυφές της μίας άκρης να αντιστοιχιθούν με τις k κορυφές της άλλης, όπου και αρκούν 2k κορυφές, άρα θα πρέπει 2k|2016 και μετά αυτά που είπατε.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες