Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Φεβ 27, 2017 8:55 pm

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ, το 2ο τεστ, το 3ο τεστ, το 4ο τεστ, το 5ο τεστ, και το 6o τεστ , ακολουθούν τα προβλήματα του 7ου τεστ:

**********************************************

Practice TEST 6
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Κάθε διαγώνιος ενός κανονικού 2016-γωνου χρωματίζεται με ένα από n χρώματα έτσι ώστε αν δύο διαγώνιοι τέμνονται στο εσωτερικό του 2016-γώνου, τότε έχουν διαφορετικό χρώμα. Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή του n;

ΘΕΜΑ 2. Το σημείο P βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ABC ώστε \angle ABP=\angle PCA. Το σημείο Q είναι τέτοιο ώστε το PBQC είναι παραλληλόγραμμο. Να δειχθεί ότι \angle QAB=\angle CAP.

ΘΕΜΑ 3. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε ο x+y+1 διαιρεί τον 2xy και ο x+y-1 διαιρεί τον x^2+y^2-1.

ΘΕΜΑ 4. Η συνάρτηση f ορίζεται στους θετικούς ακέραιους ως εξής:

f(1)=1,
f(2n)=f(n), εάν ο n είναι άρτιος,
f(2n)=2f(n), εάν ο n είναι περιττός,
f(2n+1)=2f(n)+1, εάν ο n είναι άρτιος
f(2n+1)=f(n), εάν ο n είναι περιττός.

Να βρεθεί το πλήθος των θετικών ακεραίων n που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 2017 και έχουν την ιδιότητα f(n)=f(2017).


**********************************************

Καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους το Σάββατο, 4 Μαρτίου! :)

Φιλικά,

Αχιλλέας


Λέξεις Κλειδιά:
τεστ-εξάσκησης
Αρχιμήδης
practice-test
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Φεβ 27, 2017 9:48 pm

achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

ΘΕΜΑ 3. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε ο x+y+1 διαιρεί τον 2xy και ο x+y-1 διαιρεί τον x^2+y^2-1.
Είναι x+y-1|x^2+y^2-1=(x+y-1)^2-2(1+xy-x-y) \Leftightarrow x+y-1|2xy. Είναι όμως και x+y+1|2xy. Συνεπώς, αν (x+y-1,x+y+1)=1, έχουμε άτοπο. Επομένως, (x+y+1,x+y-1)=2. Θέτουμε x=2n και y=2m+1. Πρέπει n+m+1|2n(2m+1) και n+m|2n(2m+1). Συνεπώς, (n+m+1)(n+m)|2n(2m+1) \Rightarrow (n+m)(n+m+1)\le 2n(2m+1) \Leftrightarrow (m-n)(m-n+1)\le 0. Αν m>n, άτοπο. Αν n>m. Τότε πρέπει n=m+1 \Leftrightarrow x=2m+2=y+1. Και έχουμε τις λύσεις (x,y)=(k+1,k), όπου k οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος. Αν n=m, έχουμε και την λύση (x,y)=(f,f+1), όπου f οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος. (Μήπως , αυτή θα έπρεπε να είναι στους Juniors....)
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Δευ Φεβ 27, 2017 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Bye :')
Κορυφή
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Φεβ 27, 2017 10:04 pm

JimNt. έγραψε:
achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

ΘΕΜΑ 3. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε ο x+y+1 διαιρεί τον 2xy και ο x+y-1 διαιρεί τον x^2+y^2-1.
....Συνεπώς, (n+m+1)(n+m)|2n(2m+1) \Leftrightarrow (n+m)(n+m+1)\le 2n(2m+1) ....
Γιατί ισχύει η ισοδυναμία;
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Φεβ 27, 2017 10:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Φεβ 27, 2017 10:05 pm

achilleas έγραψε:
JimNt. έγραψε:
achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

ΘΕΜΑ 3. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε ο x+y+1 διαιρεί τον 2xy και ο x+y-1 διαιρεί τον x^2+y^2-1.
....Συνεπώς, (n+m+1)(n+m)|2n(2m+1) \Leftrightarrow ...)
Γιατί ισχύει η ισοδυναμία;
Γιατί (n+m,n+m+1)=1


Bye :')
Κορυφή
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Φεβ 27, 2017 10:06 pm

JimNt. έγραψε:
achilleas έγραψε:
JimNt. έγραψε:
achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

ΘΕΜΑ 3. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι x και y τέτοιοι ώστε ο x+y+1 διαιρεί τον 2xy και ο x+y-1 διαιρεί τον x^2+y^2-1.
....Συνεπώς, (n+m+1)(n+m)|2n(2m+1) \Leftrightarrow ...)
Γιατί ισχύει η ισοδυναμία;
Γιατί (n+m,n+m+1)=1
Είσαι σίγουρος;


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Φεβ 27, 2017 10:07 pm

Σε ποια αναφέρεστε ακριβώς. Αν είναι για την δεύτερη γιατί αν a|b \Leftrightarrow a \le b. (Νομίζω χρησιμοποίησα λάθος κάποιο σύμβολο... (το "συνεπάγεται") )


Bye :')
Κορυφή
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Φεβ 27, 2017 10:11 pm

JimNt. έγραψε:Σε ποια αναφέρεστε ακριβώς. Αν είναι για την δεύτερη γιατί αν a|b \Leftrightarrow a \le b
Δεν ισχύει ισοδυναμία. Αυτό θέλω να σου πω. Ισχύει συνεπαγωγή.

Δεν επηρρεάζει το αποτέλεσμα, αλλά χρειάζεται προσοχή η χρήση της ισοδυναμίας vs η χρήση της συνεπαγωγής.

Αν a\leq b, δε σημαίνει ότι ο a διαιρεί τον b.


Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 22, 2020 2:15 am

Επαναφορά!
Άλυτα παραμένουν τα θέματα 1,2 και 4!


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
giannisd
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Κυρ Μαρ 22, 2020 4:06 pm

Για το θέμα 2, εδώ https://artofproblemsolving.com/communi ... lity_lemma


Κορυφή
min##
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Μαρ 22, 2020 4:12 pm

Είναι άμεση εφαρμογή και της "Ισοπτικής Υπερβολής" που έχω χαρακτηρίσει στο :logo: μερικές φορές..


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 6 επισκέπτες