Αρχιμήδης 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέμα 4 Μικρών:
Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού σχηματίζονται ζεύγη παικτών. Άρα, στους γύρους θα σχηματίζονται το πολύ διαφορετικά ζεύγη παικτών.
Επειδή όλα τα δυνατά ζεύγη παικτών είναι θα πρέπει να ισχύει:
Για , αν οι παίκτες είναι Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η, τότε το παιχνίδι μπορεί να εξελιχθεί ως εξής:
Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού σχηματίζονται ζεύγη παικτών. Άρα, στους γύρους θα σχηματίζονται το πολύ διαφορετικά ζεύγη παικτών.
Επειδή όλα τα δυνατά ζεύγη παικτών είναι θα πρέπει να ισχύει:
Για , αν οι παίκτες είναι Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η, τότε το παιχνίδι μπορεί να εξελιχθεί ως εξής:
τελευταία επεξεργασία από emouroukos σε Σάβ Μαρ 04, 2017 2:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αρχιμήδης 2017
Πρόβλημα 1(μεγάλων)
Πολύ εύκολη για Αρχιμήδη. Από το ισοσκελές και το εγγεγραμμένο προκύπτει ότι όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και από το ισοσκελές και οι γαλάζιες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Τέλος επειδή είναι το μέσο του έχουμε και το ζητούμενο έπεται.
Πολύ εύκολη για Αρχιμήδη. Από το ισοσκελές και το εγγεγραμμένο προκύπτει ότι όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και από το ισοσκελές και οι γαλάζιες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Τέλος επειδή είναι το μέσο του έχουμε και το ζητούμενο έπεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Πρόβλημα 2 Seniors
Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς .
Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το . Οι τρόποι επιλογής είναι .
Στην συνέχεια δύο σημεία που βρίσκονται σε κατακορυφήν τομείς μπορούν να ενωθούν με τουλάχιστον σημεία τα οποία βρίσκονται σε διαφορετικούς τομείς από τα αρχικά και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το ως προς την ευθεία που ενώνει τα κατακορυφήν σημεία. Οι τρόποι επιλογής τους είναι . Αρα σύνολο υπάρχουν τουλάχιστον τρίγωνα.
Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς .
Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το . Οι τρόποι επιλογής είναι .
Στην συνέχεια δύο σημεία που βρίσκονται σε κατακορυφήν τομείς μπορούν να ενωθούν με τουλάχιστον σημεία τα οποία βρίσκονται σε διαφορετικούς τομείς από τα αρχικά και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το ως προς την ευθεία που ενώνει τα κατακορυφήν σημεία. Οι τρόποι επιλογής τους είναι . Αρα σύνολο υπάρχουν τουλάχιστον τρίγωνα.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2017
Ακριβώς την ίδια λύση έγραψα.Υπάρχει περίπτωση να αφαιρεθούν μονάδες λόγω ελλειπούς αιτιολόγησης;Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Πρόβλημα 2 Seniors
Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς .
Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το . Οι τρόποι επιλογής είναι .
Στην συνέχεια δύο σημεία που βρίσκονται σε κατακορυφήν τομείς μπορούν να ενωθούν με τουλάχιστον σημεία τα οποία βρίσκονται σε διαφορετικούς τομείς από τα αρχικά και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το ως προς την ευθεία που ενώνει τα κατακορυφήν σημεία. Οι τρόποι επιλογής τους είναι . Αρα σύνολο υπάρχουν τουλάχιστον τρίγωνα.
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Στο πρόβλημα 3 έπρεπε κάποιος να παρατηρησει μετά την αντικατάσταση ότι
. Μετά εκτελώντας διαφορά τετραγώνων φτάνουμε εύκολα στην λύση. Περιμένω πως και πως να δω την λύση στο 4ο...
. Μετά εκτελώντας διαφορά τετραγώνων φτάνουμε εύκολα στην λύση. Περιμένω πως και πως να δω την λύση στο 4ο...
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Σίγουρα χρειάζεται παραπάνω αιτιολόγηση για το 2ο είδος τριγώνων. Πως τα πήγες εσύ;Friedoon έγραψε:Ακριβώς την ίδια λύση έγραψα.Υπάρχει περίπτωση να αφαιρεθούν μονάδες λόγω ελλειπούς αιτιολόγησης;Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Πρόβλημα 2 Seniors
Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς .
Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το . Οι τρόποι επιλογής είναι .
Στην συνέχεια δύο σημεία που βρίσκονται σε κατακορυφήν τομείς μπορούν να ενωθούν με τουλάχιστον σημεία τα οποία βρίσκονται σε διαφορετικούς τομείς από τα αρχικά και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το ως προς την ευθεία που ενώνει τα κατακορυφήν σημεία. Οι τρόποι επιλογής τους είναι . Αρα σύνολο υπάρχουν τουλάχιστον τρίγωνα.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2017
Έλυσα το 1ο .Στο 2ο δεν νομίζω να έδωσα επαρκή αιτολόγηση για το 2ο είδος τριγώνων και στο 3ο από ότι βλέπω έβγαλα λάθος παραγοντοποίηση,4ο τίποτα.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Σίγουρα χρειάζεται παραπάνω αιτιολόγηση για το 2ο είδος τριγώνων. Πως τα πήγες εσύ;Friedoon έγραψε:Ακριβώς την ίδια λύση έγραψα.Υπάρχει περίπτωση να αφαιρεθούν μονάδες λόγω ελλειπούς αιτιολόγησης;Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Πρόβλημα 2 Seniors
Για ευκολία ονομάζουμε τους τομείς .
Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε οποιαδήποτε σημεία από τους τομείς: ένα από τον καθένα μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνα που φράζουν το . Οι τρόποι επιλογής είναι .
Στην συνέχεια δύο σημεία που βρίσκονται σε κατακορυφήν τομείς μπορούν να ενωθούν με τουλάχιστον σημεία τα οποία βρίσκονται σε διαφορετικούς τομείς από τα αρχικά και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το ως προς την ευθεία που ενώνει τα κατακορυφήν σημεία. Οι τρόποι επιλογής τους είναι . Αρα σύνολο υπάρχουν τουλάχιστον τρίγωνα.
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Θεωρώ τα θέματα των μεγάλων ήταν πολύ πιο δύσκολα από ότι προηγούμενων χρόνων. Το 4ο ειδικά από ότι άκουσα από άλλα παιδιά που δίναμε μαζί, δεν το κατάφεραν οι περισσότεροι. Ο Μελάς μου είπε στο περίπου την λύση αλλά ήταν τόσο περίπλοκη που δεν την κατάλαβα καν.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 02, 2017 6:27 pm
Re: Αρχιμήδης 2017
Είμαι Α Λυκείου και έδωσα για πρώτη φορά...οι πιθανότητες να περάσω είναι ελάχιστες αλλά ήθελα να τα πάω όσο καλύτερα το δυνατό μπορώ έτσι ώστε τις επόμενες χρονιές να χω περισσότερες ελπίδες...έλυσα το 1ο και το 2ο πρόβλημα, στο τρίτο πρόβλημα έγραψα πολύ λίγους σωστούς τύπους και θέσεις αλλά δε νομίζω να χω πάρει πάνω από 1 μονάδα. Το 4ο δεν το άγγιξα καν λόγω έλλειψης γνώσεων...πιστεύετε ότι έχω πιθανότητες για πρόκριση?
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους και ειδικότερα σε όσους μόχθησαν!
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους και ειδικότερα σε όσους μόχθησαν!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Αρχιμήδης 2017
Μια άλλη λύση είναι η εξής:emouroukos έγραψε:Θέμα 2 Μικρών:
Το δοσμένο σύστημα γράφεται ισοδύναμα:
.
Με αφαίρεση της δεύτερης ισότητας από την πρώτη, της τρίτης από τη δεύτερη και της πρώτης από την τρίτη, προκύπτει ότι το δοσμένο σύστημα είναι ισοδύναμο με το
.
Αν δύο από τους αγνώστους είναι ίσοι, για παράδειγμα τότε έχουμε ότι και άρα οπότε έχουμε τη λύση
Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Με πολλαπλασιασμό των παραπάνω εξισώσεων κατά μέλη, βρίσκουμε ότι:
οπότε
πράγμα άτοπο, αφού οι αριθμοί είναι θετικοί.
Ώστε, το σύστημα έχει τη μοναδική λύση
(1)
(2)
Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε πως:
Όμοια προκύπτει πως και πως
Άρα .
Τέλος , άρα μοναδική λύση του συστήματος η .
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Re: Αρχιμήδης 2017
Θέμα 4ο μεγάλων
Έχουμε με μη αρνητικούς ακεραίους για συντελεστές και , όπου η θετική ρίζα του .
1) Ισχυρίζομαι ότι . Όντως παρατηρούμε ότι η τιμή αυτή ισούται με . Το είναι ανάγωγο και άρα έχουμε τη (σημαντική) σχέση στο . Άρα η ίδια σχέση διαιρετότητας ισχύει και στο . Τότε . Θέτω και έχω .
2) Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα! Η απάντηση είναι . Για να το δείξω αυτό, γράφω όπου το ακέραιο πολυώνυμο και εξετάζω τους διαφόρους βαθμούς που μπορεί να πάρει το
a) Αν το είναι σταθερό, έστω τότε έχω . Άρα . Η ποσότητα που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε είναι . Συνεπώς
b) Αν το είναι γραμμικό, έστω τότε . Θέλουμε όλοι οι συντελεστές να είναι μη αρνητικοί συνεπώς θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την συνάρτηση υπό τις συνθήκες . Εύκολα λαμβάνουμε ότι το ελάχιστο είναι όταν και έχει την τιμή
c) Για γενικό βαθμό του έστω . Τότε έχουμε να ελαχιστοποιήσουμε την τιμή υπό τις συνθήκες: .
Άρα ας ξεκινήσουμε από το . Μετά έχουμε . Μετά έχουμε . Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μην μπορούμε να προχωρήσουμε άλλο. Τότε έχουμε ελάχιστο ίσο με
.
Το παραπάνω δεν είναι πολύ καλογραμμένο αλλά ελπίζω η ιδέα να είναι ξεκάθαρη. Τα συγχαρητήριά μου σε όποιον πρότεινε αυτό το πρόβλημα στον φετινό Αρχιμήδη.
Φιλικά,
Νίκος
Έχουμε με μη αρνητικούς ακεραίους για συντελεστές και , όπου η θετική ρίζα του .
1) Ισχυρίζομαι ότι . Όντως παρατηρούμε ότι η τιμή αυτή ισούται με . Το είναι ανάγωγο και άρα έχουμε τη (σημαντική) σχέση στο . Άρα η ίδια σχέση διαιρετότητας ισχύει και στο . Τότε . Θέτω και έχω .
2) Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα! Η απάντηση είναι . Για να το δείξω αυτό, γράφω όπου το ακέραιο πολυώνυμο και εξετάζω τους διαφόρους βαθμούς που μπορεί να πάρει το
a) Αν το είναι σταθερό, έστω τότε έχω . Άρα . Η ποσότητα που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε είναι . Συνεπώς
b) Αν το είναι γραμμικό, έστω τότε . Θέλουμε όλοι οι συντελεστές να είναι μη αρνητικοί συνεπώς θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την συνάρτηση υπό τις συνθήκες . Εύκολα λαμβάνουμε ότι το ελάχιστο είναι όταν και έχει την τιμή
c) Για γενικό βαθμό του έστω . Τότε έχουμε να ελαχιστοποιήσουμε την τιμή υπό τις συνθήκες: .
Άρα ας ξεκινήσουμε από το . Μετά έχουμε . Μετά έχουμε . Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μην μπορούμε να προχωρήσουμε άλλο. Τότε έχουμε ελάχιστο ίσο με
.
Το παραπάνω δεν είναι πολύ καλογραμμένο αλλά ελπίζω η ιδέα να είναι ξεκάθαρη. Τα συγχαρητήριά μου σε όποιον πρότεινε αυτό το πρόβλημα στον φετινό Αρχιμήδη.
Φιλικά,
Νίκος
τελευταία επεξεργασία από nickthegreek σε Σάβ Μαρ 04, 2017 4:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Re: Αρχιμήδης 2017
Κύριε Μπάρμπα,Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Στο πρόβλημα 3 έπρεπε κάποιος να παρατηρησει μετά την αντικατάσταση ότι
. Μετά εκτελώντας διαφορά τετραγώνων φτάνουμε εύκολα στην λύση. Περιμένω πως και πως να δω την λύση στο 4ο...
Μπορείτε σας παρακαλώ να ολοκληρώσετε αναλυτικά τη λύση του 3ου Θέματος;
Re: Αρχιμήδης 2017
Το (i) βγαίνει και με άλγεβρα Β λυκείου.nickthegreek έγραψε:Θέμα 4ο μεγάλων
Έχουμε με μη αρνητικούς ακεραίους για συντελεστές και , όπου η θετική ρίζα του .
1) Ισχυρίζομαι ότι . Όντως παρατηρούμε ότι η τιμή αυτή ισούται με . Το είναι ανάγωγο και άρα έχουμε τη (σημαντική) σχέση στο . Άρα η ίδια σχέση διαιρετότητας ισχύει και στο . Τότε . Θέτω και έχω .
....
Φιλικά,
Νίκος
Έστω με το υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης και έστω το αντίστοιχο πηλίκο.
Τότε .
Αφού ο είναι άρρητος, έχουμε , κι άρα .
Συνεπώς, ο είναι περιττός.
Σημείωση: Το πολυώνυμο που προκύπτει από τη λύση του Νίκου είναι το
κι άρα
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Πρόβλημα 2 Seniors
Αρχικά παρατηρούμε ότι υπάρχουν αρνητικοί ακέραιοι και μόνο θετικός. Οπότε βολεύει να κάνουμε την αντικατάσταση
Έστω για κάποιο ακέραιο . Η σχέση γίνεται:
. Σε αυτό το σημείο ο μαθητής πρέπει να μυριστεί ότι:
. Άρα η οποία ισοδύναμα γράφεται:. Ο αριθμόςείναι πρώτος και ο δεξιός παράγοντας είναι μεγαλύτερος του αριστερού διακρίνοντας τις περιπτώσεις:καιόπου με αφαίρεση κατα μέλη έχουμε:. Η διακρίνουσα του τριωνύμου πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο έστω. Άρα. Με έλεγχο παρατηρούμε ότι γιαπροκύπτει η λύση:η οποία είναι δεκτή αφού
βγαίνει ότι.Η δεύτερη περίπτωση είναι:και. Πάλι με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε: που είναι ίδια με την προηγούμενη άρα μοναδική λύση είναι ή .
Παρατήρηση: Η σχέσημπορεί να γραφεί ως:. Αφού όμωςκαιπρέπει οι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα άρτιοι. Από εκεί μπορούμε να γλιτώσουμε περιπτώσεις χρησιμοποιώντας επίσης ότι.
Αρχικά παρατηρούμε ότι υπάρχουν αρνητικοί ακέραιοι και μόνο θετικός. Οπότε βολεύει να κάνουμε την αντικατάσταση
Έστω για κάποιο ακέραιο . Η σχέση γίνεται:
. Σε αυτό το σημείο ο μαθητής πρέπει να μυριστεί ότι:
. Άρα η οποία ισοδύναμα γράφεται:. Ο αριθμόςείναι πρώτος και ο δεξιός παράγοντας είναι μεγαλύτερος του αριστερού διακρίνοντας τις περιπτώσεις:καιόπου με αφαίρεση κατα μέλη έχουμε:. Η διακρίνουσα του τριωνύμου πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο έστω. Άρα. Με έλεγχο παρατηρούμε ότι γιαπροκύπτει η λύση:η οποία είναι δεκτή αφού
βγαίνει ότι.Η δεύτερη περίπτωση είναι:και. Πάλι με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε: που είναι ίδια με την προηγούμενη άρα μοναδική λύση είναι ή .
Παρατήρηση: Η σχέσημπορεί να γραφεί ως:. Αφού όμωςκαιπρέπει οι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα άρτιοι. Από εκεί μπορούμε να γλιτώσουμε περιπτώσεις χρησιμοποιώντας επίσης ότι.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Αρχιμήδης 2017
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Πρόβλημα 2 Seniors
Αρχικά παρατηρούμε ότι υπάρχουν αρνητικοί ακέραιοι και μόνο θετικός. Οπότε βολεύει να κάνουμε την αντικατάσταση
Έστω για κάποιο ακέραιο . Η σχέση γίνεται:
. Σε αυτό το σημείο ο μαθητής πρέπει να μυριστεί ότι:
. Άρα η οποία ισοδύναμα γράφεται:. Ο αριθμόςείναι πρώτος και ο δεξιός παράγοντας είναι μεγαλύτερος του αριστερού διακρίνοντας τις περιπτώσεις:καιόπου με αφαίρεση κατα μέλη έχουμε:. Η διακρίνουσα του τριωνύμου πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο έστω. Άρα. Με έλεγχο παρατηρούμε ότι γιαπροκύπτει η λύση:η οποία είναι δεκτή αφού
βγαίνει ότι.Η δεύτερη περίπτωση είναι:και. Πάλι με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε:που είναι άτοπο αφούοπότε μοναδική λύση είναι η.
Παρατήρηση: Η σχέσημπορεί να γραφεί ως:. Αφού όμωςκαιπρέπει οι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα άρτιοι. Από εκεί μπορούμε να γλιτώσουμε περιπτώσεις χρησιμοποιώντας επίσης ότι.
Από τη σχέση έχουμε ότι οι αριθμοί είναι άρτιοι. Αν και τότε έχουμε ότι
,
από όπου προκύπτει ότι και οι αριθμοί είναι άρτιοι. Αν γράψουμε και τότε έχουμε ότι
,
και αφού θα είναι:
Με δοκιμές βρίσκουμε ότι οπότε και άρα και
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Αρχιμήδης 2017
Κρίμα, μου έφαγε πολύ ώρα το 4ο θέμα και δεν πρόλαβα να ολοκληρώσω την γεωμετρία που ήταν το πιο εύκολο...
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά και πολλά συγχαρητήρια σε όσους κατάφεραν να λύσουν το 4ο Seniors.
Από εκεί κιόλας θα ξεχωρίσουν οι μαθητές που αξίζουν να προκριθούν!
Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά και πολλά συγχαρητήρια σε όσους κατάφεραν να λύσουν το 4ο Seniors.
Από εκεί κιόλας θα ξεχωρίσουν οι μαθητές που αξίζουν να προκριθούν!
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: Αρχιμήδης 2017
Ευχαριστώ το για την πολύτιμη βοήθεια του.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Σάβ Μαρ 04, 2017 9:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Αρχιμήδης 2017
Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν και ιδιαίτερα στα "δικά μας" από το mathematica. Βλέπω ο Διονυσάκης και ο Ορέστης πήραν τα όπλα τους!!!
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Αρχιμήδης 2017
Αν κάποιος πρόλαβε και κατέβασε τα αποτελέσματα του Αρχιμήδη από τη σελίδα της ΕΜΕ πριν πέσει, ας τα βάλει εδώ να τα δούμε κι εμείς...
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες