Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Κυρ Μαρ 05, 2017 12:56 pm

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R},} έτσι ώστε \displaystyle{\alpha+\beta+\gamma=2017} και \displaystyle{\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}=3}. Να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς \displaystyle{\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}, \dfrac{\beta^2+\gamma^2}{\beta\gamma}} και \displaystyle{\dfrac{\gamma^2+\alpha^2}{\gamma\alpha}} είναι μεγαλύτερος ή ίσος του \displaystyle{2016}.

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων \displaystyle{(\alpha, \beta)} που ικανοποιούν την εξίσωση: \displaystyle{\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{1}{2017}}

Πρόβλημα 3

Θεωρούμε αμβλυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC} με \displaystyle{\angle{ACB}>90^\circ}, εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{(O, R)}. Φέρουμε το ύψος \displaystyle{CK} του τριγώνου και έστω \displaystyle{D} το δεύτερο σημείο στο οποίο η ευθεία \displaystyle{CK} τέμνει τον κύκλο \displaystyle{(O, R)}. Από το \displaystyle{D} φέρουμε την κάθετη στην ευθεία \displaystyle{CB}, η οποία τέμνει την ευθεία \displaystyle{AB} στο \displaystyle{Z}. Να αποδείξετε ότι:

(α) η κάθετη από το \displaystyle{B} στην \displaystyle{CZ} περνά από το \displaystyle{D}

(β) \displaystyle{{CA}={CZ}}

(γ) \displaystyle{KA^2+KB^2+KC^2+KD^2=4R^2}

Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας, ο Βασίλης, ο Γιώργος, ο Δημήτρης και ο Ευθύμιος ανταλλάζουν πάσες με μία μπάλα με τους εξής κανόνες:

• Ο Βασίλης και ο Γιώργος ποτέ δεν πασάρει ο ένας στον άλλο.

• Ο Δημήτρης δεν πασάρει ποτέ στον Ευθύμιο, αλλά ο Ευθύμιος πασάρει στον Δημήτρη.

• Ο Ευθύμιος δεν πασάρει ποτέ στον Ανδρέα, αλλά ο Ανδρέας πασάρει στον Ευθύμιο.

Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν τα πιο πάνω αγόρια να αλλάξουν πέντε πάσες, αν ξεκινήσει η μπάλα από τον Ανδρέα και επιστέψει πάλι στον Ανδρέα στην πέμπτη πάσα.

Για παράδειγμα, ένας τρόπος είναι ο εξής:

Ανδρέας \displaystyle{\mapsto} Γιώργος \displaystyle{\mapsto} Ανδρέας \displaystyle{\mapsto} Βασίλης \displaystyle{\mapsto} Δημήτρης \displaystyle{\mapsto} Ανδρέας

Σημείωση: Εννοείται ότι κανένας δεν πασάρει στον εαυτό του.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:23 pm

1) Έχουμε ότι \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3\alpha\beta\gamma
Θα χρισημοπιασουμε το μεθοδο της εις άτοπον απαγωγής.
Αν
\dfrac{\gamma^2+\alpha^2}{\gamma\alpha}<2016
\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}<2016
\dfrac{\beta^2+\gamma^2}{\beta\gamma}<2016
Τότε
\frac{\alpha^2 \beta+\beta^2 \alpha+\alpha^2 \gamma +\gamma^2 \alpha+\beta^2 \gamma + \gamma^2 \beta}{\alpha \beta \gamma}<6048
\frac{\alpha^2 \beta+\beta^2 \alpha+\alpha^2 \gamma +\gamma^2 \alpha+\beta^2 \gamma + \gamma^2 \beta+2\alpha\beta\gamma}{\alpha \beta \gamma}<6050
\Rightarrow \frac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)}{\alpha\beta\gamma}<6050
\Rightarrow \frac{(2017-\alpha)(2017-\beta)(2017-\gamma)}{\alpha\beta\gamma}<6050
\Rightarrow \frac{(2017^3-2017^2(\alpha+\beta+\gamma)+2017(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-\alpha\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma}=\frac{6051\alpha\beta\gamma-\alpha\beta\gamma}{\alpha\beta\gamma}<6050
\Rightarrow 6050<6050
Που είναι άτοπο.
Έτσι ισχύει το ζητούμενο


Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:46 pm

2)
\displaystyle{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2017}
\displaystyle{\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{2017}
ab-2017a+2017b=0
(a-2017)(b-2017)=2017^2
Αφου 2017 είναι πρώτος αριθμός, εχουμε της περιπτοσεις
a-2017=2017^2
a-2017=2017
a-2017=1
a-2017=-1
a-2017=-2017 που απαγορεύεται
a-2017=-2017^2
Δηλαδή,¨
(a,b) \in  \{(4070306,2018),(4034,4034),(2018,4070306),(2016,-4066272),(-4066272,2016) \}


Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Μαρ 05, 2017 4:56 pm

3)
geomnice.PNG
geomnice.PNG (36.75 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές
α) Το σημείο Ζ είναι το ορθοκέντρο του τρίγωνου BCD. Αρα CZείναι κάθετη προς BD, δηλαδη B, H, D είναι συνευθειακά,
β) \angle {CAZ}=\frac{\stackrel{\frown}{BC}}{2}=\angle{CDB}=90-\angle{KBD}=\angle{BZH}=\angle{AZC}. Τότε το τρίγωνο CAZ είναι ισόσκελες. Δηλαδή AC=CZ
γ)Αν BO \cap (O,R) = N , CN \cap AD=T
\angle{ANC}=\angle{ADC}=\angle{ABC}=90-\angle{KCB}
=90-\angle{DNB}=\angle{NBD}=\angle{NAD}
Τότε το τρίγωνο ΝΑΤ είναι ισόσκελες. Δηλαδή NT=AT
\angle{CAD}=\angle{CND}
\angle{NTD}=\angle{ATC}
Τότε \triangle{TND}=\triangle{ATC} \Rightarrow TD=TC \Rightarrow NC=AD
Αρα
KA^2+KB^2+KC^2+KD^2=BC^2+AD^2=BC^2+NC^2=NB^2=4R^2


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Μαρ 05, 2017 5:25 pm

Datis-Kalali έγραψε:3) γ)Αν BO \cap (O,R) = N , CN \cap AD=T
\angle{ANC}=\angle{ADC}=\angle{ABC}=90-\angle{KCB}
=90-\angle{DNB}=\angle{NBD}=\angle{NAD}
Τότε το τρίγωνο ΝΑΤ είναι ισόσκελες. Δηλαδή NT=AT
\angle{CAD}=\angle{CND}
\angle{NTD}=\angle{ATC}
Τότε \triangle{TND}=\triangle{ATC} \Rightarrow TD=TC \Rightarrow NC=AD
Αρα
KA^2+KB^2+KC^2+KD^2=BC^2+AD^2=BC^2+NC^2=NB^2=4R^2
Μια άλλη προσέγγιση:

Χρησιμοποιώντας το Νόμο των Συνημιτόνων, έχουμε:

\displaystyle{K{A^2} + K{B^2} + K{C^2} + K{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = }

\displaystyle{ = 2{R^2} - 2{R^2}\cos \left( {\angle AOC} \right) + 2{R^2} - 2{R^2}\cos \left( {\angle BOD} \right) = 4{R^2},}

αφού

\displaystyle{\angle AOC + \angle BOD = \stackrel{\frown} {AC}+\stackrel{\frown} {BD}  = 2 \cdot {90^ \circ } = {180^ \circ }}.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8175
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 10, 2017 11:35 am

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Ο Ανδρέας, ο Βασίλης, ο Γιώργος, ο Δημήτρης και ο Ευθύμιος ανταλλάζουν πάσες με μία μπάλα με τους εξής κανόνες:

• Ο Βασίλης και ο Γιώργος ποτέ δεν πασάρει ο ένας στον άλλο.

• Ο Δημήτρης δεν πασάρει ποτέ στον Ευθύμιο, αλλά ο Ευθύμιος πασάρει στον Δημήτρη.

• Ο Ευθύμιος δεν πασάρει ποτέ στον Ανδρέα, αλλά ο Ανδρέας πασάρει στον Ευθύμιο.

Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν τα πιο πάνω αγόρια να αλλάξουν πέντε πάσες, αν ξεκινήσει η μπάλα από τον Ανδρέα και επιστέψει πάλι στον Ανδρέα στην πέμπτη πάσα.

Για παράδειγμα, ένας τρόπος είναι ο εξής:

Ανδρέας \displaystyle{\mapsto} Γιώργος \displaystyle{\mapsto} Ανδρέας \displaystyle{\mapsto} Βασίλης \displaystyle{\mapsto} Δημήτρης \displaystyle{\mapsto} Ανδρέας

Σημείωση: Εννοείται ότι κανένας δεν πασάρει στον εαυτό του.
Γράφουμε A_n,B_n,C_n,D_n,E_n για το πλήθος των τρόπων ώστε μετά από n πάσες η μπάλα να καταλήξεις στον Ανδρέα, Βασίλη, Γιώργο, Δημήτρη, Ευθύμη αντίστοιχα.

Αρχικά είναι A_1=0,B_1=C_1=D_1=E_1 = 1. Επίσης ισχύουν οι αναδρομικές σχέσεις

A_{n+1} = B_n+C_n+D_n
B_{n+1} = A_n+D_n+E_n
C_{n+1} = A_n+D_n+E_n
D_{n+1} = A_n + B_n+C_n+E_n
E_{n+1} = A_n + B_n+C_n

Είναι απλό τώρα να κατασκευαστεί αναδρομικά ο πιο κάτω πίνακας:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} 
\hline 
n & A_n & B_n & C_n & D_n & E_n \\ \hline \hline 
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\ \hline  
2 & 3 & 2 & 2 & 3 & 2 \\ \hline 
3 & 7 & 8 & 8 & 9 & 7 \\ \hline 
4 & 25 & 23 & 23 & 30 & 23 \\ \hline 
5 & 76 & & & & \\ \hline 
\end{tabular}

Οπότε οι πάσες μπορούν να γίνουν με 76 διαφορετικούς τρόπους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης