EGMO 2017 Μέρα 1η

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8643
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

EGMO 2017 Μέρα 1η

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Απρ 10, 2017 12:54 pm

Πρόβλημα 1: Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD με \angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ} και \angle ABC > \angle CDA. Έστω Q και R τα σημεία των ευθύγραμμων τμημάτων BC και CD, αντίστοιχα, έτσι ώστε η ευθεία QR τέμνει τις ευθείες AB και AD στα σημεία P και S αντίστοιχα. Δίνεται ότι PQ = RS. Το σημείο M είναι το μέσο του BD και το N είναι το μέσο του QR. Να αποδείξετε ότι τα σημεία M,N,A και C είναι ομοκυκλικά.

Πρόβλημα 2: Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο k για τον οποίο υπάρχει ένας χρωματισμός των θετικών ακεραίων \mathbb{Z}_{>0} με k χρώματα, και μια συνάρτηση f:\mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} με τις πιο κάτω ιδιότητες:
(α) Για όλους τους θετικούς ακεραίους m,n που έχουν το ίδιο χρώμα, f(m+n) = f(m) + f(n).
(β) Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n έτσι ώστε f(m+n) \neq f(m) + f(n).
[Και στις δύο ιδιότητες (α) και (β) οι θετικοί ακέραιοι m,n δεν είναι κατ' ανάγκη διαφορετικοί.]

Πρόβλημα 3: Υπάρχουν 2017 ευθείες στο επίπεδο έτσι ώστε να μην υπάρχουν τρεις ευθείες που να περνούν από το ίδιο σημείο. Το σαλιγκάρι Turbo κάθεται σε ένα σημείο σε ακριβώς μία ευθεία και αρχίζει να γλυστρά κατά μήκως των ευθειών με την εξής τρόπο: Κινείται στην ίδια ευθεία μέχρι να φτάσει σε σημείο που τέμνονται δύο ευθείες. Στο σημείο τομής, συνεχίζει το ταξίδι του σε άλλη ευθεία στρίβοντας δεξιά ή αριστερά, αλλάζοντας την επιλογή του (από δεξιά σε αριστερά ή από αριστερά σε δεξιά) σε κάθε σημείο που συναντά. Αλλάζει κατεύθυνση μόνο στα σημεία τομής. Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του, μπορεί να υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο να πέρασε και από τις δύο κατευθύνσεις;



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Απρ 10, 2017 2:27 pm

Demetres έγραψε:Πρόβλημα 1: Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD με \angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ} και \angle ABC > \angle CDA. Έστω Q και R τα σημεία των ευθύγραμμων τμημάτων BC και CD, αντίστοιχα, έτσι ώστε η ευθεία QR τέμνει τις ευθείες AB και AD στα σημεία P και S αντίστοιχα. Δίνεται ότι PQ = RS. Το σημείο M είναι το μέσο του BD και το N είναι το μέσο του QR. Να αποδείξετε ότι τα σημεία M,N,A και C είναι ομοκυκλικά.
Τα βασικά σημεία της λύσης μου:

1) ABCD εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου M

2) Τα QCR,APS έχουν κοινό περίκεντρο (N).

Από τα παραπάνω έπεται:

\widehat {AMC}=2\widehat {ADC}=\widehat {ANC}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 10, 2017 7:07 pm

EGMO.png
EGMO.png (36.7 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές
Από τον κόκκινο κύκλο , είναι : \widehat{AMC}=2\omega . Ακόμη : \widehat{ANP}=2\phi ,

\widehat{QNC}=2\theta . Αλλά : \omega=\phi+\theta , οπότε : \widehat{AMC}=\widehat{ANC} , ό .ε.δ.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Απρ 10, 2017 9:22 pm

Demetres έγραψε: Πρόβλημα 3: Υπάρχουν 2017 ευθείες στο επίπεδο έτσι ώστε να μην υπάρχουν τρεις ευθείες που να περνούν από το ίδιο σημείο. Το σαλιγκάρι Turbo κάθεται σε ένα σημείο σε ακριβώς μία ευθεία και αρχίζει να γλυστρά κατά μήκως των ευθειών με την εξής τρόπο: Κινείται στην ίδια ευθεία μέχρι να φτάσει σε σημείο που τέμνονται δύο ευθείες. Στο σημείο τομής, συνεχίζει το ταξίδι του σε άλλη ευθεία στρίβοντας δεξιά ή αριστερά, αλλάζοντας την επιλογή του (από δεξιά σε αριστερά ή από αριστερά σε δεξιά) σε κάθε σημείο που συναντά. Αλλάζει κατεύθυνση μόνο στα σημεία τομής. Κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του, μπορεί να υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο να πέρασε και από τις δύο κατευθύνσεις;
Ονομάζουμε βατή διάταξη μια αντιστοίχιση φοράς σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο τομών (ή ημιευθεία, αν δεν υπάρχουν άλλες τομές) έτσι ώστε, σε κάθε τομή, τα δύο ευθύγραμμα τμήματα που αντιστοιχούν στην ίδια ευθεία είτε να "έρχονται" και τα δύο στην τομή είτε να "φεύγουν" και τα δύο από αυτήν (και τα άλλα δύο να κάνουν το αντίθετο).

Αν υπάρχει βατή διάταξη, τότε, αφού ο σκώληξ είναι υποχρεωμένος να στρίβει σε κάθε τομή (το δεξιά-αριστερά δεν μας απασχολεί), θα την σέβεται πάντα (είτε αυτήν είτε την αντίθετή της, που είναι επίσης βατή) και έτσι αποκλείεται να διασχίσει το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα με διαφορετικές φορές.

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι υπάρχει πάντα βατή διάταξη. Είναι προφανές για την περίπτωση των δύο ευθειών.

Έστω βατή διάταξη για n ευθείες. Εισάγουμε ακόμα μία.

Στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που αυτή ορίζει αντιστρέφουμε όλες τις φορές. Επίσης, λόγω της βατής διάταξης, σε κάθε δύο συνεχόμενες τομές επί της νέας ευθείας οι φορές των ευθυγράμμων τμημάτων (στο ίδιο ημιεπίπεδο) που την τέμνουν θα είναι μεταξύ τους αντίθετες (δηλαδή, η μία θα έρχεται στην ευθεία και η άλλη θα φεύγει). Έτσι, ορίζουμε μονοσήμαντα και τις φορές των ευθυγράμμων τμημάτων επί της νέας ευθείας και έχουμε πάλι βατή διάταξη.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Απρ 10, 2017 11:02 pm

Στο πρόβλημα 2 γίνεται να επιλέξουμε κλαδική συνάρτηση;


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3369
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 10, 2017 11:11 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Στο πρόβλημα 2 γίνεται να επιλέξουμε κλαδική συνάρτηση;
Φυσικά.
Και οι κλαδικές συναρτήσεις είναι.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8643
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: EGMO 2017 Μέρα 1η

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 15, 2017 1:07 pm

Demetres έγραψε: Πρόβλημα 2: Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο k για τον οποίο υπάρχει ένας χρωματισμός των θετικών ακεραίων \mathbb{Z}_{>0} με k χρώματα, και μια συνάρτηση f:\mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} με τις πιο κάτω ιδιότητες:
(α) Για όλους τους θετικούς ακεραίους m,n που έχουν το ίδιο χρώμα, f(m+n) = f(m) + f(n).
(β) Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n έτσι ώστε f(m+n) \neq f(m) + f(n).
[Και στις δύο ιδιότητες (α) και (β) οι θετικοί ακέραιοι m,n δεν είναι κατ' ανάγκη διαφορετικοί.]
Θα δείξουμε ότι ο ελάχιστος k είναι ο 3.

Το k=3 επιτυγχάνεται με τον χρωματισμό modulo 3 και την συνάρτηση f(n) = \begin{cases} n & 3 \nmid n \\ 2n & 3|n.\end{cases}

Ο έλεγχος ότι τα (α) και (β) ικανοποιούνται είναι απλός.

Ας δείξουμε τώρα ότι δεν μπορούμε να έχουμε k \leqslant 3.

Έστω ότι χρησιμοποιήσαμε το πολύ δύο χρώματα. Αν f(n) = nf(1) για κάθε n \in \mathbb{N}, τότε δεν ισχύει η (β). Οπότε υπάρχει ελάχιστο n ώστε f(n) \neq nf(1). Επειδή f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1) πρέπει n \geqslant 3.

Αν οι k,n-k έχουν το ίδιο χρώμα, τότε f(n) = f(k) + f(n-k) = kf(1) + (n-k)f(1) = nf(1), άτοπο. Άρα πρέπει ο n να είναι περιττός, έστω n=2m+1 και επιπλέον, χωρίς βλάβη της γενικότητας, πρέπει:

Οι 1,3,\ldots,2m-1 να είναι μπλε.
Οι 2,4,\ldots,2m να είναι κόκκινοι.

Αν ο 2m+1 είναι μπλε, τότε
\displaystyle{f(1) + f(2m+1) = f(2m+2) = 2f(m+1) = 2(m+1)f(1)}
αφού m+1 < 2m+1. Αλλά τότε είναι f(2m+1) = (2m+1)f(1), άτοπο.

Άρα ο 2m+1 είναι κόκκινος.

Αν ο 2m+2 είναι κόκκινος τότε
\displaystyle{ 2f(2m+1) = f(4m+2) = f(2m) + f(2m+2) = 2mf(1) + 2f(m+1) = 2mf(1) + 2(m+1)f(1)  }
που δίνει f(2m+1) = (2m+1)f(1), άτοπο.

Αν ο 2m+2 είναι μπλε τότε
\displaystyle{ (2m+3)f(1) = f(1) + 2f(m+1) = f(1) + f(2m+2) = f(2m+3) = f(2m+1) + f(2) = f(2m+1) + 2f(1)}
που πάλι δίνει f(2m+1) = (2m+1)f(1), άτοπο.

Άρα αναγκαστικά ο 2m+2 θέλει ένα τρίτο χρώμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες