Κουβανή συνδυαστική

[Soteris]

Στα κελιά ενός πίνακα τοποθετούνται αυθαίρετα οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί από το μέχρι και το (ένας αριθμός σε κάθε κελί). Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε το γινόμενο των αριθμών της οστής γραμμής του πίνακα αυτού να είναι διαφορετικό από το γινόμενο των αριθμών της οστής στήλης του.

Edit: Προσθήκη πηγής
Εθνική Ολυμπιάδα Κούβας 2008

[JimNt.]

Οι πρώτοι με είναι . Αφού από τους πρώτους αυτούς δεν προκύπτουν πολλαπλάσια μικρότερα του θα πρέπει για να ικανοποιηθεί η συνθήκη να μπουν σε κελιά της μορφής , διαφορετικά σε κάποιο μέλος από τις ισότητες θα εμφανίζεται ένας πρώτος της μορφής αυτής χωρίς κάποιο πολλαπλάσιο του στο άλλο μέλος. Αυτά όμως είναι σε πλήθος. Συνεπώς, η αρχική πρόταση ισχύει.

[Demetres]

Ας δειχθεί επίσης ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο τέτοια .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Όπως είπαμε παραπάνω θα υπάρχει πρώτος με , όπου θα βρίσκεται στο τετράγωνο με . Τότε όχι μόνο το γινόμενο της γραμμής δεν ταυτίζεται με αυτό της καθέτου , αλλά και το γινόμενο της γραμμής δεν ταυτίζεται με αυτό της καθέτου . Άρα υπάρχουν τουλάχιστον διαφορετικά .

[Demetres]

Ωραία. Ας το δυσκολέψουμε πιο πολύ:

Ας γράψουμε και για τα γινόμενα των στηλών και των γραμμών αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό μέγεθος του . Μέχρι στιγμής ξέρουμε ότι είναι μικρότερο ή ίσο του .

[Demetres]

Επειδή είναι δύσκολο, δίνω την απάντηση και αναμένω την απόδειξη:

Το μέγιστο μέγεθος είναι . Με άλλα λόγια έχουμε πάντα τουλάχιστον τέτοια όπου το γινόμενο της -οστής γραμμής είναι διαφορετικό από το γινόμενο της -οστής στήλης. Υπάρχει όμως παράδειγμα όπου δεν έχουμε .