3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am

1) Έστω ότι w(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x. Να βρείτε ολα τα ζευγή ακέραιων (a,b) με a \neq b έτσι ώστε w(a)=w(b) (Polish Olympiad 2003)

2) Αν a,b,c είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αρίθμοι, έτσι ώστε ab+bc+ca=3 να δείξετε ότι (a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \geq 8

3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:R \rightarrow R έτσι ώστε για καθε πραγματικοί αριθμοί x,y, έχουμε xf(x)-yf(y)=(x-y) \cdot f(x+y)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Δεκ 12, 2017 5:04 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am
3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:R \rightarrow R έτσι ώστε για καθε πραγματικοί αριθμοί x,y, έχουμε xf(x)-yf(y)=(x-y) \cdot f(x+y)
Θέτω g(x) = f(x) -f(0) και παρατηρώ ότι xg(x) - yg(y) = \cdots = (x-y)g(x-y). Επίσης, g(0) = 0.

Με y=-x, παίρνω x[g(x) + g(-x)] = 2x g(0) = 0. Άρα x=0 ή g(x) + g(-x) = 0. Οπότε g(-x) = -g(x) για κάθε x \in \mathbb{R}.

Έστω a,b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.

Θέτω x = (a+b)/2 και y = (a-b)/2. Τότε x-y = a και x+y = b. Άρα:

\displaystyle {ag(b) = (x-y)g(x+y) = xg(x) - yg(y) = xg(x) +yg(-y) = xg(x) - (-y)g(-y) = (x-(-y))g(x-y) = bg(a).}

Άρα \frac{g(a)}{a} = \frac{g(b)}{b}. Δηλάδή υπάρχει σταθερά k ώστε g(x)/x = k για x \neq 0. Άρα g(x) = kx για κάθε x. (Αφού ισχύει και για x=0.)

Επομένως f(x) = kx + \ell για κάποιες σταθερές k,\ell. Παρατηρούμε ότι αυτές οι συναρτήσεις ικανοποιούν για οποιαδήποτε k,\ell.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Δεκ 13, 2017 11:30 am

Datis-Kalali έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am
1) Έστω ότι w(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x. Να βρείτε ολα τα ζευγή ακέραιων (a,b) με a \neq b έτσι ώστε w(a)=w(b) (Polish Olympiad 2003)
Μου βγήκε, αλλά με αρκετές πράξεις. Δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο σύντομο.

Έχουμε

\displaystyle  0 = w(a) - w(b) = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3 - 3(a^2+ab+b^2)+5(a+b)-9)

Άρα a=b ή a^3+a^2b+ab^2+b^3 - 3(a^2+ab+b^2)+5(a+b)-9 = 0. Γράφω s = a+b,p=ab. Τότε

a^3+a^2b+ab^2+b^2 = (a+b)(a^2+b^2) = s(s^2-2p) και a^2+ab+b^2 = s^2-p. Άρα

\displaystyle  s^3 - 2ps -3s^2 + 3p + 5s - 9 = 0

οπότε

\displaystyle  p(2s-3) = s^3 - 3s^2+5s - 9

Κάνοντας την διαίρεση του s^3 - 3s^2 + 5s-9 με το 2s-3 καταλήγω στο

\displaystyle  8(s^3 - 3s^2 + 5s-9) = (4s^2-6s+11)(2s-3) - 39

Άρα

\displaystyle  (2s-3)(4s^2-6s + 11-8p) = 39

και ισοδύναμα

\displaystyle  (2s-3)(2s(2s-3)+11-8p) = 39

Επειδή 2s-3|39, πρέπει 2s-3 = \pm 1, \pm 3, \pm 13, \pm 39. Φτιάχνω λοιπόν τον πιο κάτω πίνακα

\begin{tabular}{c|c|c|c|c} 
2s-3 & s & 2s(2s-3)+11 & 2s(2s-3)+11-8p & 8p \\ \hline 
1 & 2 & 15 & 39 & -3 \\ 
-1 & 1 & 9 & -39 & 6 \\ 
3 & 3 & 29 & 13 & 2 \\ 
-3 & 0 & 11 & -13 & 3 \\ 
13 & 8 & 219 & 3 & 217 \\ 
-13 & -5 & 141 & -3 & 18 \\ 
39 & 21 & 1649 & 1 & 206 \\ 
-39 & -18 & 1415 & -1 & 177 
\end{tabular}

Έχουμε τώρα 8 πιθανά ζεύγη (s,p) τα ελέγχουμε ένα προς ένα και βρίσκουμε ότι τα μόνα που δίνουν ακέραιους a,b είναι το (s,p) = (2,-3) και (s,p) = (3,2). Το πρώτο δίνει a=3,b=-1 (και αντίστροφα) και το δεύτερο δίνει a=2,b=1 (και αντίστροφα).

Άρα το σύνολο λύσεων είναι το

\displaystyle  \{(n,n):n \in \mathbb{Z}\} \cup \{ (3,-1),(-1,3),(2,1),(1,2)\}


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6109
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Δεκ 13, 2017 12:03 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am

2) Αν a,b,c είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αρίθμοι, έτσι ώστε ab+bc+ca=3 να δείξετε ότι (a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \geq 8
Από Cauchy-Schwarz είναι \displaystyle{a+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{a+1}} και τα όμοια, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq 8(a+1)(b+1)(c+1),}

δηλαδή ότι

\displaystyle{[3(a+b+c)-abc]^2\geq 8(a+b+c+abc+4).}

Αν ονομάσουμε \displaystyle{x=a+b+c\geq 3, y=abc\leq 1,} θα αποδείξουμε ότι \displaystyle{(3x-y)^2\geq 8(x+y+4).}

Αρκεί τώρα \displaystyle{(3x-1)^2\geq 8(x+5)\iff (x-3)(9x+13)\geq 0} που ισχύει.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6109
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Δεκ 13, 2017 12:27 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am

3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:R \rightarrow R έτσι ώστε για καθε πραγματικοί αριθμοί x,y, έχουμε xf(x)-yf(y)=(x-y) \cdot f(x+y)
Μια απόδειξη ακόμα:

Ισχύει

\displaystyle{\begin{cases}xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y), \\  yf(y)-zf(z)=(y-z)f(y+z), \\ zf(z)-xf(x)=(z-x)f(z+x)\end{cases}}

οπότε λαμβάνουμε

\displaystyle{(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)+(z-x)f(z+x)=0~~\forall x,y,z.}

Θέτουμε \displaystyle{x+y=c, y+z=a, z+x=b} και η παραπάνω σχέση γίνεται \displaystyle{(b-a)f(c)+(c-b)f(a)+(a-c)f(b)=0~~\forall a,b,c.}

Θέτουμε \displaystyle{b=2, c=1} και βρίσκουμε \displaystyle{f(a)=(2-a)f(1)+(a-1)f(2),} δηλαδή η \displaystyle{f} είναι γραμμική, \displaystyle{f(x)=Ax+B.}

Είναι άμεσο ότι όλες οι γραμμικές ικανοποιούν την αρχική συναρτησιακή σχέση.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: nikos_el και 3 επισκέπτες