3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Datis-Kalali · #1

1) Έστω ότι w(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x

. Να βρείτε ολα τα ζευγή ακέραιων (a,b)

με $a \neq b$ έτσι ώστε w(a)=w(b)

(Polish Olympiad 2003)

2) Αν a,b,c

είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αρίθμοι, έτσι ώστε ab+bc+ca=3

να δείξετε ότι $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \geq 8$

3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$ έτσι ώστε για καθε πραγματικοί αριθμοί x,y

, έχουμε $xf(x)-yf(y)=(x-y) \cdot f(x+y)$

#2

Datis-Kalali έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am 3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$ έτσι ώστε για καθε πραγματικοί αριθμοί , έχουμε $xf(x)-yf(y)=(x-y) \cdot f(x+y)$

Θέτω

και παρατηρώ ότι $xg(x) - yg(y) = \cdots = (x-y)g(x-y)$ . Επίσης, g(0) = 0

.

Με

, παίρνω

. Άρα

ή

. Οπότε

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Έστω $a,b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Θέτω x = (a+b)/2

και

. Τότε

και

. Άρα:

$\displaystyle {ag(b) = (x-y)g(x+y) = xg(x) - yg(y) = xg(x) +yg(-y) = xg(x) - (-y)g(-y) = (x-(-y))g(x-y) = bg(a).}$

Άρα $\frac{g(a)}{a} = \frac{g(b)}{b}$ . Δηλάδή υπάρχει σταθερά

ώστε

για $x \neq 0$ . Άρα g(x) = kx

για κάθε

. (Αφού ισχύει και για x=0

.)

Επομένως $f(x) = kx + \ell$ για κάποιες σταθερές $k,\ell$ . Παρατηρούμε ότι αυτές οι συναρτήσεις ικανοποιούν για οποιαδήποτε $k,\ell$ .

#3

Datis-Kalali έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am 1) Έστω ότι . Να βρείτε ολα τα ζευγή ακέραιων με $a \neq b$ έτσι ώστε (Polish Olympiad 2003)

Μου βγήκε, αλλά με αρκετές πράξεις. Δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι πιο σύντομο.

Έχουμε

$\displaystyle 0 = w(a) - w(b) = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3 - 3(a^2+ab+b^2)+5(a+b)-9)$

Άρα a=b

ή

. Γράφω

. Τότε

και

. Άρα

$\displaystyle s^3 - 2ps -3s^2 + 3p + 5s - 9 = 0$

οπότε

$\displaystyle p(2s-3) = s^3 - 3s^2+5s - 9$

Κάνοντας την διαίρεση του s^3 - 3s^2 + 5s-9

με το

καταλήγω στο

$\displaystyle 8(s^3 - 3s^2 + 5s-9) = (4s^2-6s+11)(2s-3) - 39$

Άρα

$\displaystyle (2s-3)(4s^2-6s + 11-8p) = 39$

και ισοδύναμα

$\displaystyle (2s-3)(2s(2s-3)+11-8p) = 39$

Επειδή 2s-3|39

, πρέπει $2s-3 = \pm 1, \pm 3, \pm 13, \pm 39$ . Φτιάχνω λοιπόν τον πιο κάτω πίνακα

$\begin{tabular}{c|c|c|c|c} 2s-3 & s & 2s(2s-3)+11 & 2s(2s-3)+11-8p & 8p \\ \hline 1 & 2 & 15 & 39 & -3 \\ -1 & 1 & 9 & -39 & 6 \\ 3 & 3 & 29 & 13 & 2 \\ -3 & 0 & 11 & -13 & 3 \\ 13 & 8 & 219 & 3 & 217 \\ -13 & -5 & 141 & -3 & 18 \\ 39 & 21 & 1649 & 1 & 206 \\ -39 & -18 & 1415 & -1 & 177 \end{tabular}$

Έχουμε τώρα

πιθανά ζεύγη (s,p)

τα ελέγχουμε ένα προς ένα και βρίσκουμε ότι τα μόνα που δίνουν ακέραιους a,b

είναι το

και

. Το πρώτο δίνει a=3,b=-1

(και αντίστροφα) και το δεύτερο δίνει a=2,b=1

(και αντίστροφα).

Άρα το σύνολο λύσεων είναι το

$\displaystyle \{(n,n):n \in \mathbb{Z}\} \cup \{ (3,-1),(-1,3),(2,1),(1,2)\}$

#4

Datis-Kalali έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am
2) Αν είναι μη-αρνητικοί πραγματικοί αρίθμοι, έτσι ώστε να δείξετε ότι $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \geq 8$

Από Cauchy-Schwarz είναι $\displaystyle{a+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{a+1}}$ και τα όμοια, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq 8(a+1)(b+1)(c+1),}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{[3(a+b+c)-abc]^2\geq 8(a+b+c+abc+4).}$

Αν ονομάσουμε $\displaystyle{x=a+b+c\geq 3, y=abc\leq 1,}$ θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{(3x-y)^2\geq 8(x+y+4).}$

Αρκεί τώρα $\displaystyle{(3x-1)^2\geq 8(x+5)\iff (x-3)(9x+13)\geq 0}$ που ισχύει.

#5

Datis-Kalali έγραψε: Τρί Δεκ 12, 2017 9:04 am
3) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$ έτσι ώστε για καθε πραγματικοί αριθμοί , έχουμε $xf(x)-yf(y)=(x-y) \cdot f(x+y)$

Μια απόδειξη ακόμα:

Ισχύει

$\displaystyle{\begin{cases}xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y), \\ yf(y)-zf(z)=(y-z)f(y+z), \\ zf(z)-xf(x)=(z-x)f(z+x)\end{cases}}$

οπότε λαμβάνουμε

$\displaystyle{(x-y)f(x+y)+(y-z)f(y+z)+(z-x)f(z+x)=0~~\forall x,y,z.}$

Θέτουμε $\displaystyle{x+y=c, y+z=a, z+x=b}$ και η παραπάνω σχέση γίνεται $\displaystyle{(b-a)f(c)+(c-b)f(a)+(a-c)f(b)=0~~\forall a,b,c.}$

Θέτουμε $\displaystyle{b=2, c=1}$ και βρίσκουμε $\displaystyle{f(a)=(2-a)f(1)+(a-1)f(2),}$ δηλαδή η $\displaystyle{f}$ είναι γραμμική, $\displaystyle{f(x)=Ax+B.}$

Είναι άμεσο ότι όλες οι γραμμικές ικανοποιούν την αρχική συναρτησιακή σχέση.

3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Re: 3 θέματα- Αλγεβρά και θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση