Νομίζω ότι υπάρχει και άλλες συναρτήσεις. Π.χ. μπορουμε να θέτουμε όπου υπάρχει μια σχέση μεταξύ των και ...Demetres έγραψε: ↑Παρ Ιαν 05, 2018 1:08 pmΓια συγκεκριμένο πρώτο, ορίζουμε , όπου είναι η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το . Ας ελέγξουμε ότι ισχύουν τα (i)-(iii)Datis-Kalali έγραψε: ↑Δευ Ιαν 01, 2018 8:19 pmNT1) Έστω ότι είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνάρτησεις που ικανοποιούν τις σχέσεις ταυτόχρονα:
i. Η συνάρτηση είναι (ένα προς ένα)
ιii.Αν τότε
iii.Το πλήθος των διαιρέτων του είναι διπλάσιο του πλήθου των διαιρέτων του
(i) Αν η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το , τότε είναι η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το . Άρα όπου η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το .
(ii) Άμεσο γράφοντας τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.
(iii) Άμεσο από τον τύπο , όπου το πλήθος των διαιρετών του . Πράγματι, αν η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί τον , τότε η συνεισφορά του πρώτου στον τύπο για το πλήθος των διαιρετών είναι για το και για το .
Προφανώς για διαφορετικούς πρώτους έχουμε διαφορετικές συναρτήσεις (διαφέρουν π.χ. στο ) άρα υπάρχουν όντως άπειρες τέτοιες συναρτήσεις.
Επεξεργασία: Υπάρχουν άλλες τέτοιες συναρτήσεις ή όχι; (Έχω λύση, αλλά δεν λέω αν η απάντηση είναι αρνητική ή καταφατική.)
Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση
Θα προσθέσω και μία ανισότητα.
Α5) Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
Α5) Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 24 επισκέπτες