Ασκήσεις Άλγεβρας/θεωρία αριθμών (Επίπεδο BMO, Αρχιμήδης και JBMO)-Ανοιχτή συζήτηση

[Datis-Kalali]

NT1) Έστω ότι είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνάρτησεις που ικανοποιούν τις σχέσεις ταυτόχρονα:
i. Η συνάρτηση είναι (ένα προς ένα)
ιii.Αν τότε
iii.Το πλήθος των διαιρέτων του είναι διπλάσιο του πλήθου των διαιρέτων του

Για συγκεκριμένο πρώτο, ορίζουμε , όπου είναι η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το . Ας ελέγξουμε ότι ισχύουν τα (i)-(iii)

(i) Αν η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το , τότε είναι η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το . Άρα όπου η μεγαλύτερη δύναμη του η οποία διαιρεί το .

(ii) Άμεσο γράφοντας τους σε γινόμενα πρώτων παραγόντων.

(iii) Άμεσο από τον τύπο , όπου το πλήθος των διαιρετών του . Πράγματι, αν η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί τον , τότε η συνεισφορά του πρώτου στον τύπο για το πλήθος των διαιρετών είναι για το και για το .

Προφανώς για διαφορετικούς πρώτους έχουμε διαφορετικές συναρτήσεις (διαφέρουν π.χ. στο ) άρα υπάρχουν όντως άπειρες τέτοιες συναρτήσεις.

Επεξεργασία: Υπάρχουν άλλες τέτοιες συναρτήσεις ή όχι; (Έχω λύση, αλλά δεν λέω αν η απάντηση είναι αρνητική ή καταφατική.)

Νομίζω ότι υπάρχει και άλλες συναρτήσεις. Π.χ. μπορουμε να θέτουμε όπου υπάρχει μια σχέση μεταξύ των και ...

[Datis-Kalali]

Θα προσθέσω και μία ανισότητα.
Α5) Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

[ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ]

Επαναφορά!