Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 11)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 11)
[b]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015/16.
Θέματα της πρώτης φάσης για την 11η τάξη.[/b]
[b]1.[/b] Η εξίσωση , στην οποία οι συντελεστές και είναι μη μηδενικοί, έχει λύση. Αποδείξτε, ότι θα έχει λύση και μια εκ των εξισώσεων και .
[b]2.[/b] Σε κύκλο τοποθετήθηκαν οι αριθμοί από το έως το . Ο αριθμός ονομάζεται «καλός», αν διαιρείται με τον αριθμό, που βρίσκεται στα δεξιά του. Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος καλών αριθμών που μπορεί να προκύψουν;
[b]3.[/b] Η διχοτόμος της γωνίας ισοσκελούς τραπεζίου τέμνει την βάση στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .
[b]4.[/b] Η συνάρτηση για όλα τα ικανοποιεί την ανισότητα
.
Είναι γνωστό, ότι . Να βρείτε το .
[b]5.[/b] Στον πίνακα είναι γραμμένοι δυο αριθμοί: και . Επιτρέπετε να γράψουμε στον πίνακα τον αριθμητικό μέσο δυο ήδη γραμμένων αριθμών, αν αυτός ο αριθμός είναι ακέραιος και δεν έχει γραφεί νωρίτερα. Πόσους αριθμούς μπορούμε να γράψουμε με αυτόν τον τρόπο;
Θέματα της πρώτης φάσης για την 11η τάξη.[/b]
[b]1.[/b] Η εξίσωση , στην οποία οι συντελεστές και είναι μη μηδενικοί, έχει λύση. Αποδείξτε, ότι θα έχει λύση και μια εκ των εξισώσεων και .
[b]2.[/b] Σε κύκλο τοποθετήθηκαν οι αριθμοί από το έως το . Ο αριθμός ονομάζεται «καλός», αν διαιρείται με τον αριθμό, που βρίσκεται στα δεξιά του. Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος καλών αριθμών που μπορεί να προκύψουν;
[b]3.[/b] Η διχοτόμος της γωνίας ισοσκελούς τραπεζίου τέμνει την βάση στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .
[b]4.[/b] Η συνάρτηση για όλα τα ικανοποιεί την ανισότητα
.
Είναι γνωστό, ότι . Να βρείτε το .
[b]5.[/b] Στον πίνακα είναι γραμμένοι δυο αριθμοί: και . Επιτρέπετε να γράψουμε στον πίνακα τον αριθμητικό μέσο δυο ήδη γραμμένων αριθμών, αν αυτός ο αριθμός είναι ακέραιος και δεν έχει γραφεί νωρίτερα. Πόσους αριθμούς μπορούμε να γράψουμε με αυτόν τον τρόπο;
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Οκτ 09, 2022 7:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 11)
Έστω ότι ο κύκλος τέμνει την στο .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 07, 2018 1:26 pm
3. Η διχοτόμος της γωνίας ισοσκελούς τραπεζίου τέμνει την βάση στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .
Είναι , από το εγγεγραμμένο και , άρα (1).
Επίσης, από το ισοσκελές τραπέζιο (2).
Από (1), (2), το είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Έτσι, (3).
Αν τώρα , είναι και (από το εγγεγραμένο ).
Ακόμη,
, επομένως (4).
Από (3), (4), ό.έ.δ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 11)
Έστω η σχέση .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 07, 2018 1:26 pm
4. Η συνάρτηση για όλα τα ικανοποιεί την ανισότητα
.
Είναι γνωστό, ότι . Να βρείτε το .
Τότε:
(1).
(2).
(3).
Από (2), (3) , και από (1), , άρα .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 11)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 07, 2018 1:26 pm
1. Η εξίσωση , στην οποία οι συντελεστές και είναι μη μηδενικοί, έχει λύση. Αποδείξτε, ότι θα έχει λύση και μια εκ των εξισώσεων και .
Η γράφεται , και αφού έχει λύση, είναι (1).
Έστω ότι καμία εκ των εξισώσεων και δεν έχει λύση.
Τότε, και , επομένως (2) και (3).
Από και από (1), , άτοπο.
Άρα, κάποια εκ των και έχει λύση.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες