Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 436
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 1

Ένα σχολείο έχει \displaystyle{218} μαθητές. Σε μια έρευνα που έγινε στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι:
i. Οι \displaystyle{140} μαθητές έχουν στην κατοχή τους ποδήλατο.
ii. Οι \displaystyle{159} μαθητές έχουν κινητό τηλέφωνο.
iii. Οι \displaystyle{181} μαθητές έχουν μπάλα ποδοσφαίρου.
iv. Οι \displaystyle{176} μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό μαθητών που έχουν σίγουρα στην κατοχή τους και ποδήλατο και κινητό τηλέφωνο και μπάλα ποδοσφαίρου και ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ο αριθμός \displaystyle{A=\dfrac{\mu}{\nu}+\dfrac{14\nu}{9\mu}}, με \displaystyle{\mu, \nu \in\mathbb{N}} και \displaystyle{\mu, \nu} να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(\mu, \nu)}, για τα οποία ο αριθμός \displaystyle{A} είναι ακέραιος.

Πρόβλημα 3

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC}} \displaystyle{(CA=CB)}. Φέρουμε τις διχοτόμους \displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)} των γωνιών \displaystyle{\anlge{CAB}, \angle{CBA}}, αντίστοιχα. Από την κορυφή \displaystyle{C} φέρουμε τις κάθετες \displaystyle{(\varepsilon_1)} και \displaystyle{(\varepsilon_2)} προς τις \displaystyle{(\delta_1)} και \displaystyle{(\delta_2)}, οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους \displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)} στα σημεία \displaystyle{Z, H}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{L, I} τα σημεία τομής των \displaystyle{(\varepsilon_1)} και \displaystyle{(\varepsilon_2)} με την ευθεία \displaystyle{AB}, αντίστοιχα. Αν \displaystyle{K, N} είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων \displaystyle{LH, IZ}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο \displaystyle{ZHIL} είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β) \displaystyle{(CKN)=(ZKNH)}

Σημείωση: Με \displaystyle{(T)} συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος \displaystyle{T}.

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{a, b} τέτοιοι, ώστε \displaystyle{a^3+b^3+9ab=27}. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του \displaystyle{S=a+b}.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1170
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιαν 13, 2018 3:16 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 2

Δίνεται ο αριθμός \displaystyle{A=\dfrac{\mu}{\nu}+\dfrac{14\nu}{9\mu}}, με \displaystyle{\mu, \nu \in\mathbb{N}} και \displaystyle{\mu, \nu} να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη \displaystyle{(\mu, \nu)}, για τα οποία ο αριθμός \displaystyle{A} είναι ακέραιος.
Δείτε το πρόβλημα 4 της Β Λυκείου: http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... 1_2016.pdf


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6045
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 13, 2018 4:17 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{a, b} τέτοιοι, ώστε \displaystyle{a^3+b^3+9ab=27}. Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του \displaystyle{S=a+b}.
\displaystyle{a^3+b^3+9ab=27\implies a^3+b^3+(-3)^3=3(-3)ab\implies a=b=-3 \vee a+b+(-3)=0\implies }

\displaystyle{\implies a+b=-6\vee a+b=3.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 13, 2018 5:46 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 3

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC}} \displaystyle{(CA=CB)}. Φέρουμε τις διχοτόμους \displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)} των γωνιών \displaystyle{\anlge{CAB}, \angle{CBA}}, αντίστοιχα. Από την κορυφή \displaystyle{C} φέρουμε τις κάθετες \displaystyle{(\varepsilon_1)} και \displaystyle{(\varepsilon_2)} προς τις \displaystyle{(\delta_1)} και \displaystyle{(\delta_2)}, οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους \displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)} στα σημεία \displaystyle{Z, H}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{L, I} τα σημεία τομής των \displaystyle{(\varepsilon_1)} και \displaystyle{(\varepsilon_2)} με την ευθεία \displaystyle{AB}, αντίστοιχα. Αν \displaystyle{K, N} είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων \displaystyle{LH, IZ}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο \displaystyle{ZHIL} είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β) \displaystyle{(CKN)=(ZKNH)}

Σημείωση: Με \displaystyle{(T)} συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος \displaystyle{T}.
Α'  Παγκύπριος  JBMO 2018.png
Α' Παγκύπριος JBMO 2018.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές
α) Τα ορθογώνια τρίγωνα CZA, CHB είναι ίσα διότι έχουν CA=CB, C\widehat AZ=C\widehat BH. Άρα CH=CZ.

Επίσης, επειδή Z\widehat AL=H\widehat BI τα ορθογώνια τρίγωνα ZAL, HBI είναι ισογώνια, οπότε L\widehat IC=I\widehat LC, άρα

το CIL είναι ισοσκελές κι επειδή CH=CZ, θα είναι HZ||IL και το ζητούμενο έπεται.

β) Έστω N', Z' οι προβολές των N, Z στην CI. Επειδή N είναι το μέσο της IZ, θα είναι \boxed{ZZ'=2NN'} (1)

\displaystyle (CHNKZ) = 2(CHN) + (CKN) \Leftrightarrow \boxed{(CHNKZ)=CH\cdot NN'+(CKN)} (2)

\displaystyle (CHNKZ) = (CHZ) + (ZHNK) = \frac{1}{2}CH \cdot ZZ' + (ZHNK)\mathop  = \limits^{(1),(2)} \boxed{(CKN)=(ZKNH)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης