Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Soteris

Πρόβλημα 1

Ένα σχολείο έχει $\displaystyle{218}$ μαθητές. Σε μια έρευνα που έγινε στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι:
i. Οι $\displaystyle{140}$ μαθητές έχουν στην κατοχή τους ποδήλατο.
ii. Οι $\displaystyle{159}$ μαθητές έχουν κινητό τηλέφωνο.
iii. Οι $\displaystyle{181}$ μαθητές έχουν μπάλα ποδοσφαίρου.
iv. Οι $\displaystyle{176}$ μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό μαθητών που έχουν σίγουρα στην κατοχή τους και ποδήλατο και κινητό τηλέφωνο και μπάλα ποδοσφαίρου και ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=\dfrac{\mu}{\nu}+\dfrac{14\nu}{9\mu}}$ , με $\displaystyle{\mu, \nu \in\mathbb{N}}$ και $\displaystyle{\mu, \nu}$ να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(\mu, \nu)}$ , για τα οποία ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι ακέραιος.

Πρόβλημα 3

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ $\displaystyle{(CA=CB)}$ . Φέρουμε τις διχοτόμους $\displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)}$ των γωνιών $\displaystyle{\anlge{CAB}, \angle{CBA}}$ , αντίστοιχα. Από την κορυφή $\displaystyle{C}$ φέρουμε τις κάθετες $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ προς τις $\displaystyle{(\delta_1)}$ και $\displaystyle{(\delta_2)}$ , οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους $\displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)}$ στα σημεία $\displaystyle{Z, H}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{L, I}$ τα σημεία τομής των $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ με την ευθεία $\displaystyle{AB}$ , αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{K, N}$ είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{LH, IZ}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο $\displaystyle{ZHIL}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β) $\displaystyle{(CKN)=(ZKNH)}$

Σημείωση: Με $\displaystyle{(T)}$ συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος $\displaystyle{T}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a, b}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{a^3+b^3+9ab=27}$ . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $\displaystyle{S=a+b}$ .

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 2

Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=\dfrac{\mu}{\nu}+\dfrac{14\nu}{9\mu}}$ , με $\displaystyle{\mu, \nu \in\mathbb{N}}$ και $\displaystyle{\mu, \nu}$ να είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(\mu, \nu)}$ , για τα οποία ο αριθμός $\displaystyle{A}$ είναι ακέραιος.

Δείτε το πρόβλημα 4 της Β Λυκείου: http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... 1_2016.pdf

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a, b}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{a^3+b^3+9ab=27}$ . Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του $\displaystyle{S=a+b}$ .

$\displaystyle{a^3+b^3+9ab=27\implies a^3+b^3+(-3)^3=3(-3)ab\implies a=b=-3 \vee a+b+(-3)=0\implies }$

$\displaystyle{\implies a+b=-6\vee a+b=3.}$

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 13, 2018 1:35 pm

Πρόβλημα 3

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{ABC}}$ $\displaystyle{(CA=CB)}$ . Φέρουμε τις διχοτόμους $\displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)}$ των γωνιών $\displaystyle{\anlge{CAB}, \angle{CBA}}$ , αντίστοιχα. Από την κορυφή $\displaystyle{C}$ φέρουμε τις κάθετες $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ προς τις $\displaystyle{(\delta_1)}$ και $\displaystyle{(\delta_2)}$ , οι οποίες τέμνουν τις διχοτόμους $\displaystyle{(\delta_1), (\delta_2)}$ στα σημεία $\displaystyle{Z, H}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{L, I}$ τα σημεία τομής των $\displaystyle{(\varepsilon_1)}$ και $\displaystyle{(\varepsilon_2)}$ με την ευθεία $\displaystyle{AB}$ , αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{K, N}$ είναι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{LH, IZ}$ , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) Το τετράπλευρο $\displaystyle{ZHIL}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(β) $\displaystyle{(CKN)=(ZKNH)}$

Σημείωση: Με $\displaystyle{(T)}$ συμβολίζουμε τον εμβαδόν του σχήματος $\displaystyle{T}$ .

: Α' Παγκύπριος JBMO 2018.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα CZA, CHB

είναι ίσα διότι έχουν $CA=CB, C\widehat AZ=C\widehat BH.$ Άρα CH=CZ.

Επίσης, επειδή $Z\widehat AL=H\widehat BI$ τα ορθογώνια τρίγωνα ZAL, HBI

είναι ισογώνια, οπότε $L\widehat IC=I\widehat LC,$ άρα

το CIL

είναι ισοσκελές κι επειδή CH=CZ,

θα είναι

και το ζητούμενο έπεται.

β) Έστω N', Z'

οι προβολές των N, Z

στην

Επειδή

είναι το μέσο της IZ,

θα είναι $\boxed{ZZ'=2NN'}$ (1)

$\displaystyle (CHNKZ) = 2(CHN) + (CKN) \Leftrightarrow$ $\boxed{(CHNKZ)=CH\cdot NN'+(CKN)}$ (2)

$\displaystyle (CHNKZ) = (CHZ) + (ZHNK) = \frac{1}{2}CH \cdot ZZ' + (ZHNK)\mathop = \limits^{(1),(2)}$ $\boxed{(CKN)=(ZKNH)}$

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Μέλη σε σύνδεση