Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 453
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 1

Δίνεται η ακολουθία \displaystyle{(a_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}} με \displaystyle{a_1=1, a_2=3} και για \displaystyle{\nu\geqslant 3} ισχύει
\displaystyle{a_\nu=max\{a_\rho+a_{\nu-\rho} : 1\leqslant \rho\leqslant\nu-1\}}.

Να αποδείξετε ότι:

(α) Ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο:
\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3k,& \nu=2k \\ 3k+1,& \nu=2k+1\end{cases}, \forall k\in\mathbb{N}}

β) \displaystyle{a_{\nu+\mu}=a_\nu+a_\mu} αν και μόνον αν τουλάχιστον ένας από τους δείκτες \displaystyle{\nu, \mu} είναι άρτιος.


Πρόβλημα 2

Δίνεται ένας φυσικός αριθμός \displaystyle{n}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός \displaystyle{m}, ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{n} και έχει ακριβώς \displaystyle{n} θετικούς διαιρέτες.


Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι \displaystyle{c_1(O, R_1)} και \displaystyle{c_2(K, R_2)} με \displaystyle{R_2>R_1}, οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο \displaystyle{M}. Από ένα σημείο \displaystyle{A} του κύκλου \displaystyle{c_2} που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία \displaystyle{OK} φέρουμε τις εφαπτόμενες \displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)} προς τον κύκλο \displaystyle{c_1} και έστω \displaystyle{B, C} τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον \displaystyle{c_1}. Οι ευθείες \displaystyle{MB, MC} τέμνουν τον κύκλο \displaystyle{c_2} ξανά στα σημεία \displaystyle{E, Z}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{L} το σημείο τομής της ευθείας \displaystyle{EZ} και της εφαπτομένης του κύκλου \displaystyle{c_2} στο σημείο \displaystyle{A}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{LM\perp OK}.


Πρόβλημα 4

Δίνονται \displaystyle{2018} σύνολα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \displaystyle{64} από αυτά, έστω \displaystyle{A_1, A_2, \ldots, A_{64}}, τέτοια ώστε να ισχύει
\displaystyle{A_i\cup A_j\neq A_k} για κάθε \displaystyle{i, j, k\in\{1, 2, \ldots, 64\}} με \displaystyle{i\neq j, i\neq k, j\neq k}.

Δηλαδή η ένωση κάθε δύο από αυτά τα 64 σύνολα είναι ένα σύνολο διαφορετικό από κάθε άλλο από αυτά τα 64 σύνολα.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 25, 2018 5:26 am

Soteris έγραψε:
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 2

Δίνεται ένας φυσικός αριθμός \displaystyle{n}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός \displaystyle{m}, ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του \displaystyle{n} και έχει ακριβώς \displaystyle{n} θετικούς διαιρέτες.
Ωραία ασκησούλα. Μάλλον κανείς δεν θα είχε πρόβλημα να την λύσει.

Γράφουμε n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k} την ανάλυσή του σε πρώτους. Τότε ο m= p_1^{ p_1^{a_1}-1}...p_k^{p_k^{a_k}-1} κάνει την δουλειά. καθώς

α) Είναι πολλαπλάσιο του n αφού p_1^{a_1}-1 \ge a_1 και όμοια για τους υπόλοιπους παράγοντες του n (άμεσο από Bernoulli: p_1^{a_1}\ge (1+1)^ {a_1}  \ge 1+a_1 ). Επίσης,
β) το πλήθος των διαιρετών είναι \displaystyle{n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}} με χρήση του τύπου ότι το πλήθος των διαιρετών του \displaystyle{m= p_1^{b_1}...p_k^{b_k}} είναι \displaystyle{(b_1+1)...(b_k+1)}.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 25, 2018 11:44 am

Soteris έγραψε:
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι \displaystyle{c_1(O, R_1)} και \displaystyle{c_2(K, R_2)} με \displaystyle{R_2>R_1}, οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο \displaystyle{M}. Από ένα σημείο \displaystyle{A} του κύκλου \displaystyle{c_2} που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία \displaystyle{OK} φέρουμε τις εφαπτόμενες \displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)} προς τον κύκλο \displaystyle{c_1} και έστω \displaystyle{B, C} τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον \displaystyle{c_1}. Οι ευθείες \displaystyle{MB, MC} τέμνουν τον κύκλο \displaystyle{c_2} ξανά στα σημεία \displaystyle{E, Z}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{L} το σημείο τομής της ευθείας \displaystyle{EZ} και της εφαπτομένης του κύκλου \displaystyle{c_2} στο σημείο \displaystyle{A}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{LM\perp OK}.
Β-Παγκύπριος Επιλογής Seniors 2018 - 3.png
Β-Παγκύπριος Επιλογής Seniors 2018 - 3.png (42.06 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές
Πρέπει η LM να είναι εφαπτόμενη του c_2. Επομένως αρκεί το τετράπλευρο MEAZ να είναι αρμονικό, καθώς σε αυτή την περίπτωση από γνωστό λήμμα θα ξέρουμε πως οι εφαπτόμενες από το A και το M θα τέμνονται πάνω στην EZ.

Έστω ότι η AM τέμνει τον c_1 ξανά στο σημείο F. Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο MBFC είναι αρμονικό, καθώς οι εφαπτόμενες από το B και C στον c_1 τέμνονται πάνω στην MF (δηλαδή στο A).

Τέλος παρατηρούμε πως μια ομοιοθεσία και μια στροφή 180^o (αυτό λέγεται ομοιότητα) με κέντρο το M μεταφέρει τον c_1 στον c_2 και αντίστροφα.

Με αυτό τον μετασχηματισμό το B πάει στο E, το C πάει στο Z και το F πάει στο A.

Σύμφωνα λοιπόν με τις ιδιότητες της ομοιότητας τα τετράπλευρα MBFC και MEAZ είναι όμοια. Άρα αφού το MBFC είναι αρμονικό, είναι και το MEAZ.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 25, 2018 4:32 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 1

Δίνεται η ακολουθία \displaystyle{(a_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}} με \displaystyle{a_1=1, a_2=3} και για \displaystyle{\nu\geqslant 3} ισχύει
\displaystyle{a_\nu=max\{a_\rho+a_{\nu-\rho} : 1\leqslant \rho\leqslant\nu-1\}}.

Να αποδείξετε ότι:

(α) Ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο:
\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3k,& \nu=2k \\ 3k+1,& \nu=2k+1\end{cases}, \forall k\in\mathbb{N}}

β) \displaystyle{a_{\nu+\mu}=a_\nu+a_\mu} αν και μόνον αν τουλάχιστον ένας από τους δείκτες \displaystyle{\nu, \mu} είναι άρτιος.
α)

Θα το αποδείξουμε με επαγωγή:

Για \nu=2\cdot0+1=1 είναι a_1=3\cdot0+1=1 και για \nu=2\cdot1=2 είναι a_2=3\cdot1=3

Έστω ότι μέχρι κάποιο k\in\mathbb{N} ισχύει ότι:

\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3k,& \nu=2k \\ 3k+1,& \nu=2k+1\end{cases}

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3(k+1),& \nu=2(k+1) \\ 3(k+1)+1,& \nu=2(k+1)+1\end{cases}}

Έχουμε:

1η περίπτωση, αν \nu=2(k+1) τότε:

Αν το \rho είναι άρτιος, έστω \rho=2m έχουμε:
a_\rho+a_{2(k+1)-\rho} = a_{2m}+a_{2(k+1)-2m} = a_{2m}+a_{2(k+1-m)}=3m+3(k+1-m)=3k+3

Αν το \rho είναι περιττός, έστω \rho=2m+1 έχουμε:
a_\rho+a_{2(k+1)-\rho} = a_{2m+1}+a_{2(k+1)-(2m+1)} = a_{2m+1}+a_{2(k-m)+1}=3m+1+3(k-m)+1=3k+2

Άρα a_\nu=max\{3k+3, 3k+2\} = 3k+3=3(k+1)

2η περίπτωση, αν \nu=2(k+1)+1 τότε:

Αν το \rho είναι άρτιος, έστω \rho=2m έχουμε:
a_\rho+a_{2(k+1)+1-\rho} = a_{2m}+a_{2(k+1)+1-2m} = a_{2m}+a_{2(k+1-m)+1}=3m+3(k+1-m)+1=3k+4

Αν το \rho είναι περιττός, έστω \rho=2m+1 έχουμε:
\displaystyle{a_\rho+a_{2(k+1)+1-\rho} = a_{2m+1}+a_{2(k+1)+1-(2m+1)} = a_{2m+1}+a_{2(k+1-m)}=3m+1+3(k+1-m)=3k+4}

Άρα a_\nu=max\{3k+4, 3k+4\} = 3k+4=3(k+1)+1

Επομένως η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

β)

Αν και οι δύο δείκτες \displaystyle{\nu, \mu} είναι άρτιοι, έστω \nu=2m, \mu=2n έχουμε:

a_{\nu+\mu}=a_{2m+2n}=a_{2(m+n)}=3(m+n)= 3m+3n=a_{2m}+a_{2n}=a_\nu+a_\mu

Αν ο ένας δείκτης είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι \nu=2m, \mu=2n+1 έχουμε:

a_{\nu+\mu}=a_{2m+2n+1}=a_{2(m+n)+1}=3(m+n)+1= 3m+3n+1=a_{2m}+a_{2n+1}=a_\nu+a_\mu

Αν και οι δύο δείκτες \displaystyle{\nu, \mu} είναι περιττοί, έστω \nu=2m+1, \mu=2n+1 έχουμε:

a_{\nu+\mu}=a_{2m+1+2n+1}=a_{2(m+n+1)}=3(m+n+1)= 3m+3n+3

a_\nu+a_\mu = a_{2m+1}+a_{2n+1}=3m+1+3n+1=3m+3n+2

Άρα a_{\nu+\mu} \neq a_\nu+a_\mu

Επομένως, από όλες αυτές τις περιπτώσεις, προκύπτει το ζητούμενο.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1282
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Φεβ 26, 2018 12:26 am

Soteris έγραψε:
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι \displaystyle{c_1(O, R_1)} και \displaystyle{c_2(K, R_2)} με \displaystyle{R_2>R_1}, οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο \displaystyle{M}. Από ένα σημείο \displaystyle{A} του κύκλου \displaystyle{c_2} που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία \displaystyle{OK} φέρουμε τις εφαπτόμενες \displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)} προς τον κύκλο \displaystyle{c_1} και έστω \displaystyle{B, C} τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον \displaystyle{c_1}. Οι ευθείες \displaystyle{MB, MC} τέμνουν τον κύκλο \displaystyle{c_2} ξανά στα σημεία \displaystyle{E, Z}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{L} το σημείο τομής της ευθείας \displaystyle{EZ} και της εφαπτομένης του κύκλου \displaystyle{c_2} στο σημείο \displaystyle{A}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{LM\perp OK}.
Αυτή η ωραία άσκηση είναι από το Βιετνάμ 2003. Βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ, σελ 210.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1282
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Φεβ 26, 2018 1:45 am

Soteris έγραψε:
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται \displaystyle{2018} σύνολα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \displaystyle{64} από αυτά, έστω \displaystyle{A_1, A_2, \ldots, A_{64}}, τέτοια ώστε να ισχύει
\displaystyle{A_i\cup A_j\neq A_k} για κάθε \displaystyle{i, j, k\in\{1, 2, \ldots, 64\}} με \displaystyle{i\neq j, i\neq k, j\neq k}.

Δηλαδή η ένωση κάθε δύο από αυτά τα 64 σύνολα είναι ένα σύνολο διαφορετικό από κάθε άλλο από αυτά τα 64 σύνολα.
To επιχείρημα στη σελίδα 77 εδώ δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. https://users.renyi.hu/~p_erdos/1972-09.pdf
Να σημειώσω ότι το 2010 αποδείχθηκε από τους Fox, Lee, Sudakov ότι αν έχουμε μια οικογένεια με m σύνολα, τότε μπορούμε να βρούμε υποοικογένεια από \sqrt{4m+1}-1 σύνολα με την ιδιότητα η ένωση οποιονδήποτε δύο συνόλων της υποοικογένειας να μην ανήκει στην υποοικογένεια. Το αποτέλεσμα αυτό είναι βέλτιστο.
http://math.mit.edu/~cb_lee/resource/union-free.pdf


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Φεβ 26, 2018 11:52 pm

silouan έγραψε:
Δευ Φεβ 26, 2018 12:26 am
Soteris έγραψε:
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι \displaystyle{c_1(O, R_1)} και \displaystyle{c_2(K, R_2)} με \displaystyle{R_2>R_1}, οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο \displaystyle{M}. Από ένα σημείο \displaystyle{A} του κύκλου \displaystyle{c_2} που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία \displaystyle{OK} φέρουμε τις εφαπτόμενες \displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)} προς τον κύκλο \displaystyle{c_1} και έστω \displaystyle{B, C} τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον \displaystyle{c_1}. Οι ευθείες \displaystyle{MB, MC} τέμνουν τον κύκλο \displaystyle{c_2} ξανά στα σημεία \displaystyle{E, Z}, αντίστοιχα. Έστω \displaystyle{L} το σημείο τομής της ευθείας \displaystyle{EZ} και της εφαπτομένης του κύκλου \displaystyle{c_2} στο σημείο \displaystyle{A}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{LM\perp OK}.
Αυτή η ωραία άσκηση είναι από το Βιετνάμ 2003. Βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ, σελ 210.
Από ό,τι βλέπω κι εγώ, πράγματι είναι η άσκηση αυτή! Βέβαια η λύση που έδωσα είναι διαφορετική.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες