Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (7ή τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018, θέματα της 7ης τάξης
(XXIX Μαθηματική Γιορτή)


Πρόβλημα 1. Στην πολύχρωμη οικογένεια υπήρχαν από ίσο αριθμό λευκά, γαλάζια και γαλανόλευκα παιδιά χταποδάκια. Όταν μερικά γαλάζια χταποδάκια έγιναν γαλανόλευκα, ο μπαμπάς αποφάσισε να καταμετρήσει τα παιδιά. Γαλάζια και λευκά μαζί προέκυψαν , ενώ λευκά και γαλανόλευκα μαζί . Πόσα παιδιά έχει η πολύχρωμη οικογένεια;


Πρόβλημα 2. Χρησιμοποιώντας κάθε ψηφίο από το έως το ακριβώς μια φορά, γράψτε μη μηδενικούς αριθμούς έτσι, ώστε ο καθένας τους να διαιρείται με τον προηγούμενό του.


Πρόβλημα 3. Όλα τα κελιά της πάνω γραμμής τετραγώνου είναι γεμάτα με νερό και σε ένα κελί είναι τοποθετημένο ένα τσουβάλι με άμμο (βλέπε σχήμα). Με μια κίνηση ο Βασίλης μπορεί να τοποθετήσει τσουβάλια με άμμο σε οποιοδήποτε μη καλυμμένα με νερό κελιά, μετά την οποία το νερό γεμίζει κάθε κελί που συνορεύει με νερό (κατά πλευρά), αν σε αυτό το κελί δεν έχει τσουβάλι με άμμο. Η διαδικασία (κινήσεις) συνεχίζονται, όσο το νερό μπορεί να γεμίζει νέα κελιά. Πώς πρέπει να δράσει ο Βασίλης, ώστε στην πορεία το νερό να γεμίσει όσο το δυνατόν λιγότερα κελιά;

mmo_2018_class7_pr3.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές

Πρόβλημα 4. Δυο τετράγωνα και ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα (η κορυφή του μεγάλου τετραγώνου βρίσκεται πάνω στην πλευρά του τριγώνου). Να αποδείξετε, ότι τα σημεία και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

mmo_2018_class7_pr4.png (5.5 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές

Πρόβλημα 5. Σχήματα που αποτελούνται από τέσσερα τετραγωνάκια ονομάζονται τετράμινο. Μπορεί να είναι πέντε ειδών (βλέπε σχήμα). Υπάρχει άραγε σχήμα, ώστε για οποιαδήποτε επιλογή του είδους του τετράμινο αυτό το σχήμα να μπορεί να σχηματιστεί, χρησιμοποιώντας τετράμινο μόνο αυτής της επιλογής είδους; (τα τετράμινο επιτρέπεται να αναποδογυριστούν.)

mmo_2018_class7_pr5.png (10 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές

Πρόβλημα 6. Ο Ρομπέν των δασών αιχμαλώτισε εφτά πλούσιους άρχοντες και ζητάει λύτρα. Ο υπηρέτης κάθε πλούσιου έφερε ένα σακί με χρυσάφι και όλοι τους μπήκαν σε μια σειρά έξω από το αντίσκηνό του, για να παραδώσουν τα λύτρα. Ο κάθε εισερχόμενος στο αντίσκηνο υπηρέτης τοποθετεί το σακί που έχει φέρει στο τραπέζι στο κέντρο τη σκηνής και εάν τέτοιο ή μεγαλύτερο σε βάρος σακί πιο πριν δεν έχει φέρει κανείς, ο πλούσιος αφήνεται ελεύθερος μαζί με τον υπηρέτη του. Διαφορετικά στον υπηρέτη προστάζεται να φέρει άλλο ένα σακί, το οποίο να είναι βαρύτερο, από όλα μαζί τα σακιά που είναι στο τραπέζι εκείνη τη χρονική στιγμή. Έχοντας πάει για το άλλο σακί, ο υπηρέτης μπαίνει στο τέλος της σειράς. Το φέρσιμο του σακιού για όλους διαρκεί το ίδιο, για αυτό η σειρά με την οποία μπαίνουν στο αντίσκηνο δεν αλλάζει. Όταν ο Ρομπέν των δασών απελευθέρωσε όλους τους αιχμαλώτους, στο τραπέζι προέκυψε να έχει
Α) σακιά
Β) σακιά
Σε ποια θέση στέκονταν στην αρχική σειρά ο υπηρέτης του πλουσίου, που απελευθερώθηκε τελευταίος;



Πηγή.

[KARKAR]

Πρόβλημα 4. Δυο τετράγωνα και ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα

( η κορυφή του μεγάλου τετραγώνου βρίσκεται πάνω στην πλευρά του τριγώνου ).

Να αποδείξετε, ότι τα σημεία και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

ρώσικα τετράγωνα.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

Η ευθεία είναι η : , συνεπώς η είναι η : .

Η ευθεία είναι προφανώς η : και το σημείο τομής της με την , είναι

το , σημείο που προφανώς ανήκει στην πάνω πλευρά του μεγάλου τετραγώνου .