Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 453
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm

Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{(\alpha^2\gamma+\beta)(\beta^2\alpha+\gamma)(\gamma^2\beta+\alpha)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\geqslant 8}
Πότε ισχύει η ισότητα;

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{({\rm O}, R)} και \displaystyle{{\rm \Delta}} το αντιδιαμετρικό του \displaystyle{{\rm A}}. Σημειώνουμε με \displaystyle{{\rm \Delta}_1} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm AB}} και με \displaystyle{{\rm \Delta}_2} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm A\Gamma}}. Αν \displaystyle{{\rm I}} είναι το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{{\rm A\Gamma, B\Delta}} και \displaystyle{{\rm K, N}} τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{{\rm \Delta_1\Delta_2, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) \displaystyle{\angle{\rm \Delta_1AI}=\angle{\rm \Delta_1\Delta_2I}}

(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο \displaystyle{{\rm N}} προς την \displaystyle{{\rm A\Delta}} διέρχεται από το μέσο του \displaystyle{{\rm AK}}.

Πρόβλημα 3

Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί \displaystyle{\alpha, \beta}, με: \displaystyle{\alpha=2^{2018}+3^{2018}+4^{2018}+5^{2018}, \beta=\dfrac{3^{2019}-3}{2}}

Να προσδιορίσετε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού \displaystyle{K=\alpha^2+\beta^2+\alpha\beta}.

Πρόβλημα 4

Έχουμε δύο στοίβες με \displaystyle{2000} και \displaystyle{2018} νομίσματα, αντίστοιχα. Δύο παίκτες, η Άννα και ο Βασίλης, παίζουν ένα παιχνίδι παίρνοντας νομίσματα εναλλάξ, σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ο παίκτης, του οποίου είναι η σειρά να παίξει, επιλέγει μία στοίβα που έχει τουλάχιστον δύο νομίσματα, παίρνει από αυτήν \displaystyle{t} νομίσματα, όπου \displaystyle{2\leqslant t\leqslant 4}, και τοποθετεί στην άλλη στοίβα ένα νόμισμα. Οι παίκτες μπορούν, αν επιθυμούν, να επιλέγουν διαφορετικό \displaystyle{t} και διαφορετική στοίβα σε κάθε γύρο και ο παίκτης που δεν μπορεί να συνεχίσει το παιχνίδι, σύμφωνα με τον κανόνα, χάνει. Αν η Άννα παίζει πρώτη, να προσδιορίσετε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 24, 2018 1:52 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm
Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{(\alpha^2\gamma+\beta)(\beta^2\alpha+\gamma)(\gamma^2\beta+\alpha)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\geqslant 8}
Πότε ισχύει η ισότητα;
Είναι, \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\alpha ^2}\gamma  + \beta  \ge 2\alpha \sqrt {\beta \gamma } \\ 
{\beta ^2}\alpha  + \gamma  \ge 2\beta \sqrt {\alpha \gamma } \\ 
{\gamma ^2}\beta  + \alpha  \ge 2\gamma \sqrt {\alpha \beta }  
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \otimes  ({\alpha ^2}\gamma  + \beta )({\beta ^2}\alpha  + \gamma )({\gamma ^2}\beta  + \alpha ) \ge 8{\alpha ^2}{\beta ^2}{\gamma ^2}

Η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle {\alpha ^2}\gamma  = \beta ,{\beta ^2}\alpha  = \gamma ,{\gamma ^2}\beta  = \alpha \mathop  \Rightarrow \limits^ \otimes  \alpha \beta \gamma  = 1 και στη συνέχεια εύκολα \displaystyle \alpha  = \beta  = \gamma  = 1


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 961
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Μαρ 24, 2018 1:54 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm
Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{(\alpha^2\gamma+\beta)(\beta^2\alpha+\gamma)(\gamma^2\beta+\alpha)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\geqslant 8}
Πότε ισχύει η ισότητα;
Eφαρμόζουμε την πασίγνωστη ανισότητα a+b\geq2 \sqrt{ab} , όπου a,b θετικά ,τρεις φορές...
Έχουμε ότι
a^{2}\gamma +\beta \geq2 \sqrt{a^{2}\cdot \gamma\cdot \beta }
\beta^{2}a + \gamma\geq2 \sqrt{\beta^{2}\cdot a\cdot \gamma  }
 \gamma^{2}\beta + a\geq2 \sqrt{ \gamma^{2}\cdot\beta \cdot a }

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις τρεις παραπάνω ανισότητες καταλήγουμε εύκολα στη ζητούμενη.

Με πρόλαβε ο Γιώργος , δεν πειράζει...
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Σάβ Μαρ 24, 2018 2:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 24, 2018 1:57 pm

Για κάποιο λόγο η δημοσίευσή μου αναρτήθηκε τρεις φορές. Όποιος μπορεί ας διαγράψει τις δύο.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Μαρ 24, 2018 2:30 pm

Πρόβλημα 3
τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του 2 εμφανίζονται περιοδικά με σείρα 2,4,8,6 αντίστοιχα για το 3 τα 3,9,7,1 για το 4 τα 4,6 και για το 5 μόνο το 5 .
2018\equiv 2 mod4 και 0 mod2 άρα το 2^{2018} τελειώνει σε 4 ,το 3^{2018} σε 9 ,το 4^{2018} σε 6 και το 5^{2018} σε 5 άρα το a τελειώνει σε 4. 2019\equiv 3 mod 4 άρα το 3^{2019} τελειώνει σε 7 άρα το b σε 2. Το a^2 τελειώνει σε 6 το b^2 σε 4 και το ab σε 8 δηλαδή το K τελείωνει σε 8


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9426
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 24, 2018 7:00 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{({\rm O}, R)} και \displaystyle{{\rm \Delta}} το αντιδιαμετρικό του \displaystyle{{\rm A}}. Σημειώνουμε με \displaystyle{{\rm \Delta}_1} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm AB}} και με \displaystyle{{\rm \Delta}_2} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm A\Gamma}}. Αν \displaystyle{{\rm I}} είναι το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{{\rm A\Gamma, B\Delta}} και \displaystyle{{\rm K, N}} τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{{\rm \Delta_1\Delta_2, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) \displaystyle{\angle{\rm \Delta_1AI}=\angle{\rm \Delta_1\Delta_2I}}

(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο \displaystyle{{\rm N}} προς την \displaystyle{{\rm A\Delta}} διέρχεται από το μέσο του \displaystyle{{\rm AK}}.
Γ' Παγκύπριος  JBΜΟ 2018.png
Γ' Παγκύπριος JBΜΟ 2018.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές
α) \displaystyle {D_1}\widehat A{I} = {D_1}\widehat AB + B\widehat AC = B\widehat AD + I\widehat D{D_2} = B\widehat CD + \omega  = {D_1}\widehat {{D_2}}D + D\widehat {{D_2}}I = {D_1}\widehat {{D_2}}I

β) Από το α) ερώτημα το AD_1ID_2 είναι εγγράψιμο, άρα: \displaystyle A\widehat {{D_2}}{D_1} = A\widehat I{D_1} = {D_2}\widehat IA = {D_2}\widehat {{D_1}}A,

οπότε το AD_1D_2 είναι ισοσκελές και \displaystyle AK \bot {D_1}{D_2}. Θα δείξω ότι το P είναι μέσο του AK. Αρκεί να δείξω ότι το K

είναι ορθόκεντρο του ABC. Πράγματι, \displaystyle BK||D{D_2} (ενώνει τα μέσα των πλευρών), άρα \displaystyle BK \bot AC και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες