Σελίδα 1 από 1

Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm
από Soteris
Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{(\alpha^2\gamma+\beta)(\beta^2\alpha+\gamma)(\gamma^2\beta+\alpha)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\geqslant 8}
Πότε ισχύει η ισότητα;

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{({\rm O}, R)} και \displaystyle{{\rm \Delta}} το αντιδιαμετρικό του \displaystyle{{\rm A}}. Σημειώνουμε με \displaystyle{{\rm \Delta}_1} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm AB}} και με \displaystyle{{\rm \Delta}_2} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm A\Gamma}}. Αν \displaystyle{{\rm I}} είναι το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{{\rm A\Gamma, B\Delta}} και \displaystyle{{\rm K, N}} τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{{\rm \Delta_1\Delta_2, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) \displaystyle{\angle{\rm \Delta_1AI}=\angle{\rm \Delta_1\Delta_2I}}

(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο \displaystyle{{\rm N}} προς την \displaystyle{{\rm A\Delta}} διέρχεται από το μέσο του \displaystyle{{\rm AK}}.

Πρόβλημα 3

Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί \displaystyle{\alpha, \beta}, με: \displaystyle{\alpha=2^{2018}+3^{2018}+4^{2018}+5^{2018}, \beta=\dfrac{3^{2019}-3}{2}}

Να προσδιορίσετε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού \displaystyle{K=\alpha^2+\beta^2+\alpha\beta}.

Πρόβλημα 4

Έχουμε δύο στοίβες με \displaystyle{2000} και \displaystyle{2018} νομίσματα, αντίστοιχα. Δύο παίκτες, η Άννα και ο Βασίλης, παίζουν ένα παιχνίδι παίρνοντας νομίσματα εναλλάξ, σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ο παίκτης, του οποίου είναι η σειρά να παίξει, επιλέγει μία στοίβα που έχει τουλάχιστον δύο νομίσματα, παίρνει από αυτήν \displaystyle{t} νομίσματα, όπου \displaystyle{2\leqslant t\leqslant 4}, και τοποθετεί στην άλλη στοίβα ένα νόμισμα. Οι παίκτες μπορούν, αν επιθυμούν, να επιλέγουν διαφορετικό \displaystyle{t} και διαφορετική στοίβα σε κάθε γύρο και ο παίκτης που δεν μπορεί να συνεχίσει το παιχνίδι, σύμφωνα με τον κανόνα, χάνει. Αν η Άννα παίζει πρώτη, να προσδιορίσετε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 24, 2018 1:52 pm
από george visvikis
Soteris έγραψε:
Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm
Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{(\alpha^2\gamma+\beta)(\beta^2\alpha+\gamma)(\gamma^2\beta+\alpha)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\geqslant 8}
Πότε ισχύει η ισότητα;
Είναι, \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\alpha ^2}\gamma  + \beta  \ge 2\alpha \sqrt {\beta \gamma } \\ 
{\beta ^2}\alpha  + \gamma  \ge 2\beta \sqrt {\alpha \gamma } \\ 
{\gamma ^2}\beta  + \alpha  \ge 2\gamma \sqrt {\alpha \beta }  
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ \otimes  ({\alpha ^2}\gamma  + \beta )({\beta ^2}\alpha  + \gamma )({\gamma ^2}\beta  + \alpha ) \ge 8{\alpha ^2}{\beta ^2}{\gamma ^2}

Η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle {\alpha ^2}\gamma  = \beta ,{\beta ^2}\alpha  = \gamma ,{\gamma ^2}\beta  = \alpha \mathop  \Rightarrow \limits^ \otimes  \alpha \beta \gamma  = 1 και στη συνέχεια εύκολα \displaystyle \alpha  = \beta  = \gamma  = 1

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 24, 2018 1:54 pm
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Soteris έγραψε:
Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm
Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha, \beta, \gamma} θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{(\alpha^2\gamma+\beta)(\beta^2\alpha+\gamma)(\gamma^2\beta+\alpha)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\geqslant 8}
Πότε ισχύει η ισότητα;
Eφαρμόζουμε την πασίγνωστη ανισότητα a+b\geq2 \sqrt{ab} , όπου a,b θετικά ,τρεις φορές...
Έχουμε ότι
a^{2}\gamma +\beta \geq2 \sqrt{a^{2}\cdot \gamma\cdot \beta }
\beta^{2}a + \gamma\geq2 \sqrt{\beta^{2}\cdot a\cdot \gamma  }
 \gamma^{2}\beta + a\geq2 \sqrt{ \gamma^{2}\cdot\beta \cdot a }

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις τρεις παραπάνω ανισότητες καταλήγουμε εύκολα στη ζητούμενη.

Με πρόλαβε ο Γιώργος , δεν πειράζει...

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 24, 2018 1:57 pm
από george visvikis
Για κάποιο λόγο η δημοσίευσή μου αναρτήθηκε τρεις φορές. Όποιος μπορεί ας διαγράψει τις δύο.

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 24, 2018 2:30 pm
από sokpanvas
Πρόβλημα 3
τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του 2 εμφανίζονται περιοδικά με σείρα 2,4,8,6 αντίστοιχα για το 3 τα 3,9,7,1 για το 4 τα 4,6 και για το 5 μόνο το 5 .
2018\equiv 2 mod4 και 0 mod2 άρα το 2^{2018} τελειώνει σε 4 ,το 3^{2018} σε 9 ,το 4^{2018} σε 6 και το 5^{2018} σε 5 άρα το a τελειώνει σε 4. 2019\equiv 3 mod 4 άρα το 3^{2019} τελειώνει σε 7 άρα το b σε 2. Το a^2 τελειώνει σε 6 το b^2 σε 4 και το ab σε 8 δηλαδή το K τελείωνει σε 8

Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 24, 2018 7:00 pm
από george visvikis
Soteris έγραψε:
Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma}} εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{({\rm O}, R)} και \displaystyle{{\rm \Delta}} το αντιδιαμετρικό του \displaystyle{{\rm A}}. Σημειώνουμε με \displaystyle{{\rm \Delta}_1} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm AB}} και με \displaystyle{{\rm \Delta}_2} το συμμετρικό του \displaystyle{{\rm \Delta}} ως προς την ευθεία \displaystyle{{\rm A\Gamma}}. Αν \displaystyle{{\rm I}} είναι το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{{\rm A\Gamma, B\Delta}} και \displaystyle{{\rm K, N}} τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{{\rm \Delta_1\Delta_2, B\Gamma}}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) \displaystyle{\angle{\rm \Delta_1AI}=\angle{\rm \Delta_1\Delta_2I}}

(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο \displaystyle{{\rm N}} προς την \displaystyle{{\rm A\Delta}} διέρχεται από το μέσο του \displaystyle{{\rm AK}}.
Γ' Παγκύπριος  JBΜΟ 2018.png
Γ' Παγκύπριος JBΜΟ 2018.png (22.18 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές
α) \displaystyle {D_1}\widehat A{I} = {D_1}\widehat AB + B\widehat AC = B\widehat AD + I\widehat D{D_2} = B\widehat CD + \omega  = {D_1}\widehat {{D_2}}D + D\widehat {{D_2}}I = {D_1}\widehat {{D_2}}I

β) Από το α) ερώτημα το AD_1ID_2 είναι εγγράψιμο, άρα: \displaystyle A\widehat {{D_2}}{D_1} = A\widehat I{D_1} = {D_2}\widehat IA = {D_2}\widehat {{D_1}}A,

οπότε το AD_1D_2 είναι ισοσκελές και \displaystyle AK \bot {D_1}{D_2}. Θα δείξω ότι το P είναι μέσο του AK. Αρκεί να δείξω ότι το K

είναι ορθόκεντρο του ABC. Πράγματι, \displaystyle BK||D{D_2} (ενώνει τα μέσα των πλευρών), άρα \displaystyle BK \bot AC και το ζητούμενο έπεται.