Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Πρόβλημα 1
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το αντιδιαμετρικό του . Σημειώνουμε με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία και με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α)
(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο προς την διέρχεται από το μέσο του .
Πρόβλημα 3
Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί , με:
Να προσδιορίσετε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού .
Πρόβλημα 4
Έχουμε δύο στοίβες με και νομίσματα, αντίστοιχα. Δύο παίκτες, η Άννα και ο Βασίλης, παίζουν ένα παιχνίδι παίρνοντας νομίσματα εναλλάξ, σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
Ο παίκτης, του οποίου είναι η σειρά να παίξει, επιλέγει μία στοίβα που έχει τουλάχιστον δύο νομίσματα, παίρνει από αυτήν νομίσματα, όπου , και τοποθετεί στην άλλη στοίβα ένα νόμισμα. Οι παίκτες μπορούν, αν επιθυμούν, να επιλέγουν διαφορετικό και διαφορετική στοίβα σε κάθε γύρο και ο παίκτης που δεν μπορεί να συνεχίσει το παιχνίδι, σύμφωνα με τον κανόνα, χάνει. Αν η Άννα παίζει πρώτη, να προσδιορίσετε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το αντιδιαμετρικό του . Σημειώνουμε με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία και με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α)
(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο προς την διέρχεται από το μέσο του .
Πρόβλημα 3
Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί , με:
Να προσδιορίσετε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού .
Πρόβλημα 4
Έχουμε δύο στοίβες με και νομίσματα, αντίστοιχα. Δύο παίκτες, η Άννα και ο Βασίλης, παίζουν ένα παιχνίδι παίρνοντας νομίσματα εναλλάξ, σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
Ο παίκτης, του οποίου είναι η σειρά να παίξει, επιλέγει μία στοίβα που έχει τουλάχιστον δύο νομίσματα, παίρνει από αυτήν νομίσματα, όπου , και τοποθετεί στην άλλη στοίβα ένα νόμισμα. Οι παίκτες μπορούν, αν επιθυμούν, να επιλέγουν διαφορετικό και διαφορετική στοίβα σε κάθε γύρο και ο παίκτης που δεν μπορεί να συνεχίσει το παιχνίδι, σύμφωνα με τον κανόνα, χάνει. Αν η Άννα παίζει πρώτη, να προσδιορίσετε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Είναι,
Η ισότητα ισχύει όταν και στη συνέχεια εύκολα
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Eφαρμόζουμε την πασίγνωστη ανισότητα , όπου θετικά ,τρεις φορές...
Έχουμε ότι
Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις τρεις παραπάνω ανισότητες καταλήγουμε εύκολα στη ζητούμενη.
Με πρόλαβε ο Γιώργος , δεν πειράζει...
τελευταία επεξεργασία από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ σε Σάβ Μαρ 24, 2018 2:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Για κάποιο λόγο η δημοσίευσή μου αναρτήθηκε τρεις φορές. Όποιος μπορεί ας διαγράψει τις δύο.
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Πρόβλημα 3
τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του εμφανίζονται περιοδικά με σείρα αντίστοιχα για το τα για το τα και για το μόνο το .
και άρα το τελειώνει σε ,το σε ,το σε και το σε άρα το τελειώνει σε . άρα το τελειώνει σε άρα το σε . Το τελειώνει σε το σε και το σε δηλαδή το τελείωνει σε
τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του εμφανίζονται περιοδικά με σείρα αντίστοιχα για το τα για το τα και για το μόνο το .
και άρα το τελειώνει σε ,το σε ,το σε και το σε άρα το τελειώνει σε . άρα το τελειώνει σε άρα το σε . Το τελειώνει σε το σε και το σε δηλαδή το τελείωνει σε
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
α)Soteris έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 24, 2018 1:15 pm
Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και το αντιδιαμετρικό του . Σημειώνουμε με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία και με το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α)
(β) Η παράλληλη ευθεία από το σημείο προς την διέρχεται από το μέσο του .
β) Από το α) ερώτημα το είναι εγγράψιμο, άρα:
οπότε το είναι ισοσκελές και Θα δείξω ότι το είναι μέσο του Αρκεί να δείξω ότι το
είναι ορθόκεντρο του Πράγματι, (ενώνει τα μέσα των πλευρών), άρα και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες