Άσκηση με πολυώνυμα

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Άσκηση με πολυώνυμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Μαρ 25, 2018 8:27 pm

Έστω a,b,c τρεις ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους και έστω P ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα: P(a)=b , P(b)=c , P(c)=a . (Δηλώνω εξαρχής ότι δεν γνωρίζω τη λύση.)



Λέξεις Κλειδιά:
Datis-Kalali
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
Τοποθεσία: Λευκωσία

Re: Άσκηση με πολυώνυμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Datis-Kalali » Κυρ Μαρ 25, 2018 8:43 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:27 pm
Έστω a,b,c τρεις ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους και έστω P ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα: P(a)=b , P(b)=c , P(c)=a . (Δηλώνω εξαρχής ότι δεν γνωρίζω τη λύση.)
Έστω ότι υπάχει τέτοια πολυώνυμα, είναι γνωστό ότι
a-b \vert P(a)-P(b) , b-c \vert P(b)-P(c) και c-a\vert P(c)-P(a), δηλαδη
a-b\vert b-c , b-c \vert c-a και c-a \vert a-b
Έτσι c-a=a-b , b-c=c-a και a-b=b-c δηλαδή a=b=c , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν τέτιοια πολυώνυμα


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση με πολυώνυμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 25, 2018 9:58 pm

Datis-Kalali έγραψε:
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:43 pm
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:27 pm
Έστω a,b,c τρεις ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους και έστω P ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι είναι αδύνατον να ισχύουν ταυτόχρονα: P(a)=b , P(b)=c , P(c)=a . (Δηλώνω εξαρχής ότι δεν γνωρίζω τη λύση.)
Έστω ότι υπάχει τέτοια πολυώνυμα, είναι γνωστό ότι
a-b \vert P(a)-P(b) , b-c \vert P(b)-P(c) και c-a\vert P(c)-P(a), δηλαδη
a-b\vert b-c , b-c \vert c-a και c-a \vert a-b
Έτσι c-a=a-b , b-c=c-a και a-b=b-c δηλαδή a=b=c , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν τέτιοια πολυώνυμα
Θέλει λίγη δουλεία ακόμα.

Εκείνο που βγαίνει είναι ότι a-b=+_{-}1,b-c=+_{-}1,c-a=+_{-}1

Συμπλήρωμα.
το παραπάνω που έγραψα δεν είναι σωστό.

το σωστό είναι

Από την a-b\vert b-c,b-c\vert c-a,c-a\vert a-b

προκύπτει ότι

\left | a-b \right |=\left | b-c \right |=\left | c-a \right |

θεωρώντας μια διάταξη των a,b,c προκύπτει a=b=c


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες