mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 31, 2018 8:55 am**

Έστω n φυσικοί αριθμοί $x_{i}$ με $i\in [1,....,n]$ . Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\sum_{i=1}^{n}2^{x_{i}}$ είναι πολλαπλάσιο του $2^{n}-1$ .
Ζητώ συγγνώμη.Ξέχασα να δώσω ότι οι $2^{x_{i}}$
διαιρούμενοι με τον $2^{n}-1$ αφήνουν διαφορετικά υπόλοιπα και ότι οι $x_{i}$ διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 31, 2018 10:50 am**

Καλημέρα. Κάτι δεν μου πάει καλά με την εκφώνηση.

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 31, 2018 8:55 am
Έστω n φυσικοί αριθμοί και $x_{i}$ φυσικοί με $i\in [0,1,....,n]$

Έτσι όπως είναι διατυπωμένο φαίνεται σαν να έχουμε δύο κατηγορίες φυσικών. Τους $x_{i}$ και κάποιους άλλους που δεν

δίνονται. Μάλλον θες να πεις:

Έστω $x_{i}$ φυσικοί με i=1,....,n

.

Το συμπέρασμα δεν ισχύει. Πάρε για παράδειγμα n=2

και $x_{1}=x_{2}=1$ . Τότε $\sum_{i=1}^{2}2^{x_{i}}=4$

και $2^{2}-1=3$ που δεν διαιρεί τον

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 31, 2018 8:21 pm**

Επειδή $2^n \equiv 1 \bmod 2^n-1$ , τότε $a \equiv b \bmod n \Rightarrow 2^a \equiv 2^b \bmod (2^n-1)$ . Αφού οι

αριθμοί που έχουμε αφήνουν διαφορετικά υπόλοιπα modulo 2^n-1

αναγκαστικά είναι ισότιμοι με τους $2^0,2^1,\ldots,2^{n-1}$ .

Άρα το άθροισμά τους είναι ισότιμο με $2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1 \bmod (2^n-1)$ . Δηλαδή είναι όντως πολλαπλάσιο του 2^n-1

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 01, 2018 9:44 am**

Θα χρησιμοποιήσω κι εγώ modulo. Έστω $2^{x_{i}}\equiv u_{j}mod(2^{n}-1)$ όπου $u_{j}$ τα υπόλοιπα της δαίρεσης των $2^{x_{i}}$ με τον $2^{n}-1$ και τα υπόλοιπα αυτά έχουν πλήθος $2^{n}-1$ . Έπεται ότι $\sum_{i=1}^{n}2^{x_{i}}\equiv \sum_{j=1}^{2^{n}-1}u_{j}mod(2^{n}-1)$ . Όμως $\sum_{j=1}^{2^{n}-1}u_{j}=u_{1}+u_{2}+...+u_{2^{n}-1}=0+1+...+(2^{n}-2)=\frac{(2^{n}-1)(2^{n}-2)}{2}=(2^{n}-1)(2^{n-1}-1)$ . Άρα $\sum_{j=1}^{2^{n}-1}u_{j}\equiv 0mod(2^{n}-1)$ δηλαδή $\sum_{i=1}^{n}2^{x_{i}}\equiv 0mod(2^{n}-1)$ , που είναι το ζητούμενο.

mathematica.gr

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα