EGMO 2018/2
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
EGMO 2018/2
Θεωρήστε το σύνολο
(α) Αποδείξτε ότι κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ενός ή περισσοτέρων στοιχείων του , τα
οποία δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικά.
(β) Για κάθε ακέραιο , συμβολίζουμε με τον ελάχιστο ακέραιο έτσι ώστε το να μπορεί να γράφεται ως γινόμενο σε πλήθος στοιχείων του , τα οποία δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικά.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη ακεραίων με και
(Τα ζεύγη και είναι διαφορετικά όταν ή .)
(α) Αποδείξτε ότι κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ενός ή περισσοτέρων στοιχείων του , τα
οποία δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικά.
(β) Για κάθε ακέραιο , συμβολίζουμε με τον ελάχιστο ακέραιο έτσι ώστε το να μπορεί να γράφεται ως γινόμενο σε πλήθος στοιχείων του , τα οποία δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικά.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη ακεραίων με και
(Τα ζεύγη και είναι διαφορετικά όταν ή .)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: EGMO 2018/1/2
Καλησπέρα.
α. Παρατηρούμε ότι ,αν ,τότε ,από όπου έπεται το ζητούμενο.
β. Αν ο αριθμός γράφεται ως γινόμενο στοιχείων και ο αριθμός ως γινόμενο στοιχείων,τότε είναι προφανές ότι ο γράφεται ως γινόμενο στοιχείων.Άρα για όλα τα .Παρατηρούμε τώρα ότι για κάθε .Πράγματι,ο μεγαλύτερος αριθμός του συνόλου είναι το οπότε χρειάζονται τουλάχιστον αριθμοί.Αφού ,έπεται ο ισχυρισμός.Θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την καλή ιδιότητα των δυνάμεων του ,να γράφονται δηλαδή ως γινόμενα "λίγων" στοιχείων,κοιτώντας στους αριθμούς της μορφής και εξετάζοντας τους διαιρέτες τους.Οι αριθμοί είναι πρώτοι οπότε δεν έχουν δύο διαιρέτες μεγαλύτερους ή ίσους του ενώ ο αριθμός γράφεται ως ,όμως είναι εύκολο να δούμε ότι .Εξετάζουμε τώρα τον αριθμό .Παρατηρούμε ότι ,οπότε (στην πραγματικότητα ).Όμως,είναι προφανές ότι ,και εύκολο να δούμε ότι άρα .Ο αριθμός θα αποτελέσει τη βάση για τη συνέχεια της απόδειξης.Θεωρούμε τα ζεύγη της μορφής τα οποία προφανώς είναι άπειρα σε πλήθος.Από τη σχέση που αποδείξαμε παραπάνω,έπεται ότι .Από την άλλη, και (θα το εξηγήσουμε παρακάτω),οπότε ,και το ζητούμενο έπεται.
Θα εξηγήσουμε λίγο περισσότερο τις σχέσεις και .Για την πρώτη,υποθέτουμε ότι το είναι γινόμενο τεσσάρων στοιχείων του (αποκλείεται να είναι γινόμενο τριών στοιχείων καθώς το μέγιστο από αυτά είναι το ).Κάποιο από αυτά τα στοιχεία θα πρέπει να έχει αριθμητη πολλαπλάσιο του οπότε η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το στοιχείο είναι η .Τα υπόλοιπα στοιχεία έχουν γινόμενο το πολύ ,οπότε η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι ,άτοπο.Από την άλλη το γράφεται ως ,οπότε το ζητούμενο έπεται.Για τη δεύτερη σχέση,παρατηρούμε ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τουλάχιστον στοιχεία,αφού η μέγιστη τιμή του γινομένου στοιχείων είναι .Από την άλλη,η μέγιστη τιμή του γινομένου στοιχείων είναι ,και η αμέσως επόμενη είναι η ,οπότε είναι αδύνατον να εκφράσουμε το ως γινόμενο στοιχείων.Τέλος,παρατηρούμε ότι ( δυάρια),οπότε έπεται ότι .
α. Παρατηρούμε ότι ,αν ,τότε ,από όπου έπεται το ζητούμενο.
β. Αν ο αριθμός γράφεται ως γινόμενο στοιχείων και ο αριθμός ως γινόμενο στοιχείων,τότε είναι προφανές ότι ο γράφεται ως γινόμενο στοιχείων.Άρα για όλα τα .Παρατηρούμε τώρα ότι για κάθε .Πράγματι,ο μεγαλύτερος αριθμός του συνόλου είναι το οπότε χρειάζονται τουλάχιστον αριθμοί.Αφού ,έπεται ο ισχυρισμός.Θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την καλή ιδιότητα των δυνάμεων του ,να γράφονται δηλαδή ως γινόμενα "λίγων" στοιχείων,κοιτώντας στους αριθμούς της μορφής και εξετάζοντας τους διαιρέτες τους.Οι αριθμοί είναι πρώτοι οπότε δεν έχουν δύο διαιρέτες μεγαλύτερους ή ίσους του ενώ ο αριθμός γράφεται ως ,όμως είναι εύκολο να δούμε ότι .Εξετάζουμε τώρα τον αριθμό .Παρατηρούμε ότι ,οπότε (στην πραγματικότητα ).Όμως,είναι προφανές ότι ,και εύκολο να δούμε ότι άρα .Ο αριθμός θα αποτελέσει τη βάση για τη συνέχεια της απόδειξης.Θεωρούμε τα ζεύγη της μορφής τα οποία προφανώς είναι άπειρα σε πλήθος.Από τη σχέση που αποδείξαμε παραπάνω,έπεται ότι .Από την άλλη, και (θα το εξηγήσουμε παρακάτω),οπότε ,και το ζητούμενο έπεται.
Θα εξηγήσουμε λίγο περισσότερο τις σχέσεις και .Για την πρώτη,υποθέτουμε ότι το είναι γινόμενο τεσσάρων στοιχείων του (αποκλείεται να είναι γινόμενο τριών στοιχείων καθώς το μέγιστο από αυτά είναι το ).Κάποιο από αυτά τα στοιχεία θα πρέπει να έχει αριθμητη πολλαπλάσιο του οπότε η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτό το στοιχείο είναι η .Τα υπόλοιπα στοιχεία έχουν γινόμενο το πολύ ,οπότε η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι ,άτοπο.Από την άλλη το γράφεται ως ,οπότε το ζητούμενο έπεται.Για τη δεύτερη σχέση,παρατηρούμε ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τουλάχιστον στοιχεία,αφού η μέγιστη τιμή του γινομένου στοιχείων είναι .Από την άλλη,η μέγιστη τιμή του γινομένου στοιχείων είναι ,και η αμέσως επόμενη είναι η ,οπότε είναι αδύνατον να εκφράσουμε το ως γινόμενο στοιχείων.Τέλος,παρατηρούμε ότι ( δυάρια),οπότε έπεται ότι .
Γιώργος Γαβριλόπουλος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2018/1/2
Μία λύση.Demetres έγραψε: ↑Τετ Απρ 11, 2018 4:13 pmΘεωρήστε το σύνολο
(α) Αποδείξτε ότι κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως γινόμενο ενός ή περισσοτέρων στοιχείων του , τα
οποία δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικά.
(β) Για κάθε ακέραιο , συμβολίζουμε με τον ελάχιστο ακέραιο έτσι ώστε το να μπορεί να γράφεται ως γινόμενο σε πλήθος στοιχείων του , τα οποία δεν είναι κατ’ ανάγκη διαφορετικά.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη ακεραίων με και
(Τα ζεύγη και είναι διαφορετικά όταν ή .)
(α) Προφανώς,
(β) Επιλέγουμε .
Αποδεικνύουμε πρώτα τo εξής Λήμμα.
Λήμμα
Για κάθε ακέραιο , είναι .
Απόδειξη
Προφανώς, ο κάθε όρος του γινομένου είναι , οπότε .
Θέλουμε να δείξουμε .
Όμως, παρατηρούμε ότι , οπότε (1).
Επίσης, από το λήμμα (2).
Επίσης, παρατηρούμε ότι, πάλι από το Λήμμα, (3).
Άρα, από (1), (2), (3) .
Άρα, υπάρχουν άπειρα ζεύγη , με ,ώστε να ισχύει το ζητούμενο.
Με πρόλαβε ο Γιώργος (gavrilos).
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: EGMO 2018/1/2
Το α) είναι προφανές αφού:
Για το β) αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος αφού τότε το δουλεύει επίσης.
Μία κατάλληλη επιλογή είναι να πάρουμε , και με δοκιμές βρίσκουμε αφού και και .
**Δεν είχα κάνει ανενέωση και βλέπω τώρα ότι ταυτίζομαι με το Γιώργο παραπάνω.
Για το β) αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος αφού τότε το δουλεύει επίσης.
Μία κατάλληλη επιλογή είναι να πάρουμε , και με δοκιμές βρίσκουμε αφού και και .
**Δεν είχα κάνει ανενέωση και βλέπω τώρα ότι ταυτίζομαι με το Γιώργο παραπάνω.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: EGMO 2018/1/2
Ορέστη, εδώ πρέπει να δείξεις ότι μία από τις ανισότητες είναι αυστηρή. Στην πραγματικότητα πρέπει να δείξεις δηλαδή ότι
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2018/1/2
Σε ευχαριστώ Σιλουανέ για την διόρθωση.
Αρκεί να δείξουμε ότι .
Έστω .
Τότε, έστω , με το πλήθος των παραγόντων που υπάρχουν στο γινόμενο.
Προφανώς, (*).
Τότε, , με , άρα , που γράφεται ισοδύναμα .
Αν , με απευθείας έλεγχο, , άρα , άτοπο.
Αν τώρα , έστω με , οπότε η ανισότητα γίνεται , άτοπο.
Άρα, , οπότε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2018/1/2
Ίδιες σκέψεις αλλά το βάζω για να τονίσω ότι δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε σχεδόν κανένα πέρα από τα προφανή και .
Είναι απλό ότι και . Άρα και άρα . Ισχυρίζομαι ότι . Σε αντίθετη περίπτωση, πρέπει . Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει αφού το μεγαλύτερο γινόμενο τριών στοιχείων του ισούται με ενώ το δεύτερο μεγαλύτερο ισούται με .
Άρα έχουμε ένα ζεύγος όπου δεν επιτυγχάνεται η ισότητα. Τα υπόλοιπα όπως του Σιλουανού.
Είναι απλό ότι και . Άρα και άρα . Ισχυρίζομαι ότι . Σε αντίθετη περίπτωση, πρέπει . Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει αφού το μεγαλύτερο γινόμενο τριών στοιχείων του ισούται με ενώ το δεύτερο μεγαλύτερο ισούται με .
Άρα έχουμε ένα ζεύγος όπου δεν επιτυγχάνεται η ισότητα. Τα υπόλοιπα όπως του Σιλουανού.
Re: EGMO 2018/1/2
Δημήτρη, ωραία λύση! Δεν την είχα δει και στο artofproblemsolving, μέχρι που έβαλα κάτι παρόμοιο κάποιος σήμερα το πρωί. Το ενδιαφέρον είναι όντως ότι σου χρειάζεται μόνο το και το .
Ένα ερώτημα στο οποίο δεν έχω απάντηση. Είναι η φραγμένη;
Ένα ερώτημα στο οποίο δεν έχω απάντηση. Είναι η φραγμένη;
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες