EGMO 2018/5

#1

Έστω $\Gamma$ ο περιγγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου ABC

. Ένας κύκλος $\Omega$ εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα

και επίσης εφάπτεται στον κύκλο $\Gamma$ σε ένα σημείο που βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία

με το σημείο

. Η διχοτόμος της γωνίας $\angle BCA$ τέμνει τον $\Omega$ σε δύο διαφορετικά σημεία

και

.

Αποδείξτε ότι $\angle ABP = \angle QBC$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Έστω

το έκκεντρο του τριγώνου, και K,L

τα σημεία τομής του κύκλου $(\Gamma)$ με την

και τον $\Omega$ αντίστοιχα.

Τότε το

είναι το κέντρο της ομοιοθεσίας που μεταφέρει τον κύκλο $\Omega)$ στον κύκλο $(\Gamma)$ .

Η ομοιοθεσία αυτή , μεταφέρει το

στο σημείο $M \equiv LK \cap \Gamma$ , και την

σε μία παράλληλη ευθεία, διερχόμενη από το

, που εφάπτεται στον $\Gamma$ .

Εύκολα πλέον με angle-chasing, MA=MB=MI

(γνωστό θεώρημα).

Έτσι, $\widehat{MBK}=x=\widehat{MCB}=\widehat{MLB} \Rightarrow \widehat{MBK}=\widehat{MLB}$ , άρα $MB^2=MK \cdot ML=MQ \cdot MP$ , άρα $MB^2=MQ \cdot MP \Rightarrow \widehat{MBQ}=\widehat{MPB}$ .

Όμως, $x+\widehat{ABQ}=\widehat{MBQ}=\widehat{MPB}=x+\widehat{PBC} \Rightarrow \widehat{ABQ}=\widehat{PBC} \Rightarrow \widehat{ABP}=\widehat{QBC}$ .

: EGMO5.png (33.97 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

EGMO 2018/5

EGMO 2018/5

Re: EGMO 2018/5

Μέλη σε σύνδεση